Bevaring av mekanisk energi – problemer og løsninger

Bevaring av mekanisk energi – problemer og løsninger

1. En m-kg-blokk slippes ut fra toppen av den glatte skråplan, som vist i figuren nedenfor. Sammenligning mellom gravitasjonspotensiell energi og kinetisk energi av blokken ved punkt M er…

Oppløsning

Gravitasjonspotensiell energi i punkt M:

PE_M = mg (1/3t) = 1/3 mgh

Kinetisk energi i punkt M:

KE_M = EP = mg (2/3 t) = 2/3 mgh

EP_M EK_M

1/3 mgh: 2/3 mgh

24.12.: 36.12.

1: 2

2. En isløper som glir fra en høyde på A, som vist i figuren nedenfor. Hvis starthastigheten = 0 og akselerasjon på grunn av tyngdekraften er 10 ms^-2, hva er da skiløperens hastighet i punkt B.

Kjent:

Starthastighet (v_o) = 0

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Høydeendringen = 50 meter – 10 meter = 40 meter

Wanted: Skiløperens hastighet i punkt B

løsning:

Prinsippet om bevaring av mekanisk energi sier at den opprinnelige mekanisk energi = den endelige mekaniske energien.

Den initiale mekaniske energien = potensiell energi i punkt B (høyde = 40 meter)

Den endelige mekaniske energien = kinetisk energi i punkt B

Den endelige mekaniske energien = Den initiale mekaniske energien

½ mv_t² = mgh

½ v_t² = gh

½ v_t² = (10)(50-10)

½ v_t² = (10)(40)

½ v_t² = 400

v_t² = (2)(400) = 800

v_t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s

3. En gjenstand begynner å gli fra et punkt A uten starthastigheten. Hvis det ikke er noen friksjonskraft, hva er objektets hastighet på det laveste punktet?

Kjent:

Masse av objekt = m

Starthastighet (v_o) = 0

Høyde (h) = 20 meter

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Ønskes: Slutthastighet (v_t)

løsning:

Initiell mekanisk energi (ME₁) = Gravitasjonspotensiell energi i punkt A (PE_A) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m

Sluttmekanisk energi (ME₂) = kinetisk energi (KE) = ½ mv_t²

Objektets hastighet på det laveste punktet (v_t)?

Anvend prinsippet om bevaring av mekanisk energi, og sier at den initiale mekaniske energien = den sluttlige mekaniske energien.

EM1 = EM₂

200 m = ½ mv_t²

200 = ½ volt_t²

400 = volum_t²

v_t = 20 m/s

4. En 2 kg ball faller fritt fra punkt A, som vist i figuren nedenfor (g = 10 ms^-2Etter å ha ankommet punkt B, er den kinetiske energien = 2 ganger den potensielle energien. Hva er høyden til punkt B over jordoverflaten.

Kjent:

Ballens masse (m) = 2 kg

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 ms^-2

Høyde på punkt A (h_A) = 90 meter

Wanted: Høyde på punkt B (h_B)

løsning:

Når ballen ankommer punkt B, er den kinetiske energien i punkt B = 2 ganger den potensielle gravitasjonsenergien i punkt B.

EK = 2 EP

½ mv² = 2 mg/h_B

½ v² = 2 gh_B

v² = 2(2)(10) timer_B

v² = 40 timer_B

Ballens hastighet (v) når den ankommer punkt B etter fritt fall fra punkt A:

v² = 2 gh = 2(10)(90–t_B) = 20(90–t_B)

Innbytter v² ved ligningen ovenfor med v² ved denne ligningen.

v² = 40 timer_B

20 (90–t_B) = 40 timer_B

1800 – 20 t_B = 40 timer_B

1800 = 40 timer_B + 20 timer_B

1800 = 60 timer_B

h_B = 1800/60

h_B = 30 meter

5. En ball på 1 kg slippes og glir ned fra punkt A til punkt C, som vist i figuren nedenfor. Hvis tyngdeakselerasjonen = 10 ms^-2, hva er ballens kinetiske energi når den ankommer punkt C.

Kjent:

Ballens masse (m) = 1 kg

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Høydeendringen (h) = 0.75 m

Den innledende potensielle energien (PE_o) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 joule

Initiell kinetisk energi (KE_o) = ½ mv_o² = ½ m (0)² = 0

Den endelige gravitasjonspotensielle energien (PE_t) = mgh = mg (0) = 0

Ønskes: Kulens kinetiske energi i punkt C

løsning:

Den innledende mekaniske energien (ME_o) = Den endelige mekaniske energien (ME_t)

Den innledende gravitasjonspotensielle energien (PE_o) + den innledende kinetiske energien (KE_o) = Den endelige gravitasjonspotensielle energien (PE_t) + den endelige kinetiske energien (KE_t)

7.5 joule + 0 = 0 + KE_t

7.5 Joule = KE_t

Kulens kinetiske energi i punkt C = 7.5 joule.

6. En 2 kg tung ball slippes ut fra punkt A, som vist i figuren nedenfor. Kurveplanet er jevnt. Hvis tyngdeakselerasjonen er 10 ms^-2, hva er ballens kinetiske energi i punkt B.

Kjent:

Ballens masse (m) = 2 kg

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Høydeendringen (h) = 120 cm = 1.2 meter

Den innledende gravitasjonspotensielle energien (PE_o) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 joule

Den innledende kinetiske energien (KE_o) = ½ mv_o² = ½ m (0)² = 0

Den endelige gravitasjonspotensielle energien (PE_t) = mgh = mg (0) = 0

Ønskes: Kulens kinetiske energi i punkt B

løsning:

Den mekaniske energien i punkt A (initiell mekanisk energi) = den mekaniske energien i punkt B (den endelige mekaniske energien)

Den innledende mekaniske energien (ME_o) = den endelige mekaniske energien (ME_t)

Den innledende gravitasjonspotensielle energien (PE_o) + den innledende kinetiske energien (KE_o) = den endelige gravitasjonspotensielle energien (PE_t) + den endelige kinetiske energien (KE_t)

24 joule + 0 = 0 + KE_t

24 Joule = KE_t

Kulens kinetiske energi (KE) i punkt C = 24 joule.

7Et objekt har en fast mekanisk energi, større kinetisk energi og en mindre gravitasjonspotensiell energi. Objektet er…

A. I hvile

B. bevege seg oppover

C. bevege seg nedover

D. Akselerert oppover

løsning:

Den kinetiske energien blir større, noe som betyr at objektets hastighet blir større, og den gravitasjonsmessige potensielle energien er mindre, noe som betyr at objektets høyde fra jordoverflaten er mindre. Dette skjer når objektet beveger seg fra en viss høyde ned til bakken.

Forholdet mellom hastighet og kinetisk energi vises av formelen for kinetisk energi:

KE = ½ mv²

Beskrivelse av formel: KE = kinetisk energi, m = masse, v = hastighet

TForholdet mellom høyde og gravitasjonspotensiell energi er representert av formelen for gravitasjonspotensiell energi:

PE = mgh

Beskrivelse av formel: PE = gravitasjonspotensiell energi, m = masse, g = tyngdeakselerasjon, h = høyde

Riktig svar er C.

1. Hva er mekanisk energi?
   • Svar: Mekanisk energi er summen av et objekts kinetiske energi og potensielle energi. Kinetisk energi er relatert til et objekts bevegelse, mens potensiell energi er relatert til dets posisjon eller konfigurasjon.
2. Hva sier prinsippet om bevaring av mekanisk energi?
   • Svar: Prinsippet sier at i et isolert system med kun konservative krefter som virker, forblir den totale mekaniske energien konstant. Det betyr at summen av kinetisk og potensiell energi ikke endres over tid.
3. Hvordan påvirker konservative og ikke-konservative krefter bevaring av mekanisk energi?
   • Svar: Konservative krefter, som tyngdekraften, endrer ikke den totale mekaniske energien til et system. De kan konvertere potensiell energi til kinetisk energi eller omvendt, men summen forblir konstant. Ikke-konservative krefter, som friksjon, kan spre mekanisk energi, vanligvis omdanne den til termisk energi.
4. Hvorfor bevares ikke mekanisk energi i virkelige scenarier som involverer friksjon?
   • Svar: Friksjon er en ikke-konservativ kraft. Når objekter beveger seg mot hverandre, omdanner friksjon noe av systemets mekaniske energi til termisk energi, noe som fører til en reduksjon i systemets totale mekaniske energi.
5. Hvordan demonstreres bevaring av mekanisk energi i en svingende pendel?
   • Svar: I fravær av luftmotstand (en ikke-konservativ kraft), når pendelen svinger oppover, omdannes dens kinetiske energi til gravitasjonspotensiell energi. På det høyeste punktet av svingen har den maksimal potensiell energi og minimal kinetisk energi. Når den svinger ned igjen, omdannes denne potensielle energien tilbake til kinetisk energi. Den totale mekaniske energien forblir konstant, selv om energiformene bytter om.
6. Hvorfor kommer en sprettende ball til slutt til ro selv i fravær av ytre krefter?
   • Svar: Når en ball spretter, blir ikke all den kinetiske energien omgjort tilbake til potensiell energi. Noe energi går tapt, ofte som lyd eller deformasjon av ballen, og spesielt på grunn av indre friksjon i ballens materiale. Dette er former for ikke-konservative krefter som er i spill, og som reduserer ballens mekaniske energi med hvert sprett inntil den kommer til ro.
7. I en berg-og-dal-bane, hvor er den høyeste og laveste mekaniske energien?
   • Svar: Den totale mekaniske energien til berg-og-dal-banen forblir konstant hvis vi ser bort fra luftmotstand og friksjon. På det høyeste punktet er imidlertid den potensielle energien på sitt maksimum, mens den kinetiske energien er på sitt minimum. Når den går nedover, omdannes potensiell energi til kinetisk energi, så på det laveste punktet er den kinetiske energien på sitt maksimum og den potensielle energien på sitt minimum.
8. Hvordan hjelper bevaring av mekanisk energi med å forstå planetbaner?
   • Svar: Planeter som går i bane rundt en stjerne som solen har både kinetisk energi (på grunn av bevegelsen sin) og gravitasjonspotensiell energi (på grunn av sin posisjon i forhold til solen). Når en planet beveger seg nærmere solen, øker dens hastighet, noe som øker dens kinetiske energi mens dens gravitasjonspotensielle energi avtar, og omvendt. Den totale mekaniske energien til planeten forblir konstant over tid, forutsatt at andre krefter (som fra andre planeter) er ubetydelige.
9. Hvorfor faller ikke en satellitt i stabil bane ned i jorden?
   • Svar: Selv om satellitten faktisk trekkes mot jorden på grunn av tyngdekraften, holder dens fremoverrettede kinetiske energi den i bevegelse i banen sin. Balansen mellom denne kinetiske energien og gravitasjonspotensiell energi holder satellitten i en stabil bane med konstant mekanisk energi.
10. Hvis en skiløper starter fra ro på toppen av en friksjonsfri bakke og deretter kjører nedover, hvordan vil farten hennes nederst sammenlignes med om hun startet halvveis nedover bakken?

• Svar: I en friksjonsfri bakke er skiløperens totale mekaniske energi bevart. Hvis hun starter helt fra toppen, vil hun ha mer potensiell energi til å begynne med enn om hun starter halvveis ned. Denne potensielle energien vil omdannes fullstendig til kinetisk energi når den går nedover. Dermed vil hun være raskere nederst hvis hun starter på toppen enn om hun starter halvveis ned.