Vinkelmoment

Mengden av rotasjonsbevegelsen, som er identisk med massen (m) i den lineære bevegelsen, er treghetsmoment (I). Størrelsen på rotasjonsbevegelsen, som er identisk med hastigheten (v) i den lineære bevegelsen, er vinkelhastigheten (ω). Dermed har det roterende objektet et vinkelmomentum som kan beregnes ved hjelp av ligningen:

L = I ω

L = vinkelmomentum (kg/m²/s), I = treghetsmoment (kg m²), ω = vinkelhastighet (rad/s)

Eksempelproblemer med vinkelmomentum

Eksempelproblem 1.

En partikkel med en masse på 0.5 gram beveger seg i en sirkel med en konstant vinkelhastighet på 2 rad/s. Bestem partikkelens vinkelmomentum hvis radiusen til partikkelens bane er 10 cm.

Løsning:

Partikkelens treghetsmoment:

Jeg = herr²= (0.5 x 10^-3kg)(1 x 10^-1 m)²= (0.5 x 10^-3 kg)(1 x 10^-2m²) = 0.5 x 10^-5 kg m²²

Partikkelens vinkelhastighet:

ω = 2 rad/s

Partikkelens vinkelmomentum:

L = (0.5 x 10^-5kg m²²)(2 rad/s) = 1 x 10^-5 kg m²²/s

Loven om bevaring av vinkelmomentum

Loven om bevaring av vinkelmoment sier at hvis det resulterende kraftmomentet på et stivt legeme når det roterer er null, så er vinkelmomentet til det stive legemet når det roterer alltid konstant. Loven om bevaring av vinkelmoment kan utledes matematisk ved å modifisere ligningen til Newtons andre lov om vinkelmoment. Her er ligningen for Newtons andre lov om vinkelmomentet:

Vinkelmomentum 1

Hvis det resulterende kraftmomentet er null, endres ligningen ovenfor til:

Vinkelmomentum 2

I_t= det siste treghetsmomentet, I_o = det innledende treghetsmomentet, ω_t= den endelige vinkelhastigheten, ω_o = den innledende vinkelhastigheten, L_t= det endelige vinkelmomentet, L_o= det innledende vinkelmomentet.

Eksempelproblemer med loven om bevaring av vinkelmomentum

Eksempelproblem 1.

En homogen, solid sylinderformet skive roterer i utgangspunktet om sin akse med en hastighet på 4 rad/s. Skivens masse og radius er 1 kg og 0.5 m. Hvis det over platen plasseres en ring med en masse og radius på 0.2 kg og 0.1 m, og ringens sentrum,

rett over midten av skiven, vil skiven og ringen rotere sammen med vinkelhastigheten til…..

Løsning:

Treghetsmoment for solid sylinder: I = 1⁄2 mr²= 1⁄2 (1 kg) (0.5 m²)²= (0.5)(0.25) = 0.125 kg/m²²

Ringens treghetsmoment: I = mr²= (0.2 kg)(0.1 m²)²= (0.2)(0.01) = 0.002 kg/m²²

Innledende vinkelmomentum (L₁) = Endelig vinkelmomentum (L₂)

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m²²)(4 rad/s) = (0.125 kg/m²+ 0.002 kg/m²²)(ω₂)

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω₂ = 0.5 : 0.127

ω₂= 4 rad / s

Konseptuelle spørsmål og svar

Hva er vinkelmomentum?
Svar: Vinkelmomentum er et mål på rotasjonsmengden et objekt har, tatt i betraktning dets masse og form. Det er rotasjonsanalogen til lineært momentum.
Hvordan bestemmes vinkelmomentum matematisk?
Svar: Vinkelmomentum (L) er definert som $L = r \times p$ , Hvor $r$ er posisjonsvektoren fra rotasjonsaksen til applikasjonspunktet, og $p$ er det lineære momentumet.
Er vinkelmomentum en skalar eller vektorstørrelse?
Svar: Vinkelmomentum er en vektorstørrelse.
Hva er enheten for vinkelmomentum i SI-systemet?
Svar: Enheten for vinkelmoment i SI-systemet er kilogrammeter kvadrat per sekund (kg·m²/s).
Hvordan bevares vinkelmomentum?
Svar: I et lukket system uten eksterne dreiemomenter forblir det totale vinkelmomentet konstant.
Hva er prinsippet for bevaring av vinkelmomentum?
Svar: Prinsippet sier at det totale vinkelmomentet til et lukket system forblir konstant med mindre det påvirkes av et eksternt dreiemoment.
Hvordan er rotasjonen til en kunstløper relatert til vinkelmomentum?
Svar: Når en kunstløper trekker armene og beina sine tett inntil kroppen under en spinn, reduserer de treghetsmomentet sitt, noe som får dem til å spinne raskere. Dette demonstrerer bevaring av vinkelmomentum.
Hva er forholdet mellom dreiemoment og vinkelmoment?
Svar: Dreiemoment ( $τ$ ) er endringsraten til vinkelmomentumet. Matematisk sett, $τ = d L/sek$ .
Er det mulig for et objekt å ha vinkelmoment uten vinkelhastighet?
Svar: Nei, hvis et objekt har vinkelmomentum, har det vinkelhastighet. Størrelsen og retningen på vinkelmomentumet avhenger av både treghetsmomentet og vinkelhastigheten.
Hvordan påvirker treghetsmomentet vinkelmomentet?
Svar: Vinkelmomentet (L) er produktet av treghetsmomentet (I) og vinkelhastigheten (ω). US $L = I ω$ , en økning i treghetsmomentet for en gitt vinkelhastighet vil øke vinkelmomentet.
Hva er forskjellen mellom spinn og orbitalt vinkelmomentum i kvantemekanikk?
Svar: Spinnvinkelmoment er en iboende egenskap ved partikler, som elektroner, og oppstår ikke fra bevegelse i rommet. Orbitalvinkelmoment, derimot, oppstår fra bevegelsen til en partikkel rundt et sentralt punkt.
Hvilken rolle spiller vinkelmomentum i dannelsen av planetsystemer?
Svar: Når en molekylær sky kollapser og danner stjerner og planeter, fører bevaring av vinkelmomentum til at materialet flates ut til en skive rundt den nyfødte stjernen, hvorfra planeter kan dannes.
Hvordan opprettholder et gyroskop sin orientering i rommet?
Svar: Et roterende gyroskop har vinkelmoment. Når et eksternt dreiemoment prøver å endre retningen, precesserer gyroskopet, eller endrer rotasjonsaksen, i en retning vinkelrett på det påførte dreiemomentet på grunn av bevaring av vinkelmomentet.
Hva forårsaker presesjon i en snurrebass?
Svar: Presesjon i en snurrebass er forårsaket av dreiemomentet på grunn av tyngdekraften som virker på toppens massesenter, som er forskjøvet fra dens dreiepunkt. Dette dreiemomentet resulterer i en endring i retningen på toppens vinkelmomentum, noe som får den til å presesjonere.
Hvorfor flater stjerner ut ved polene sine?
Svar: Når stjerner roterer, opplever de en sentrifugalkraft som presser materie utover. Denne effekten er sterkere ved ekvator enn ved polene, noe som fører til en flat, eller oblat, form.
Hvordan er vinkelmomentum relatert til Keplers andre lov?
Svar: Keplers andre lov sier at et linjestykke som forbinder en planet og solen, feier ut like store områder i løpet av like tidsintervaller. Dette er en konsekvens av bevaring av vinkelmomentum.
Hvorfor lander en katt alltid på beina når den faller?
Svar: Katter bruker bevaring av vinkelmoment. Ved å vri kroppene sine og endre treghetsmomentene sine i luften, kan de orientere seg på nytt slik at de lander på beina uten å bryte bevaringslovene.
Hvordan er det magnetiske momentet relatert til vinkelmomentet i elektroner?
Svar: Det magnetiske momentet til et elektron oppstår fra dets spinn og orbitale vinkelmoment. Det magnetiske momentet er proporsjonalt med elektronets vinkelmoment.
Hva er vinkelmomentum i form av polarkoordinater?
Svar: I polarkoordinater, vinkelmomentum $L$ for en punktmasse kan uttrykkes som $L = m r v$ , Hvor $m$ er massen, $r$ er den radielle avstanden, og $v$ er den tangentielle hastigheten.
Hva skjer med vinkelmomentet til et lukket system når to objekter kolliderer?
Svar: I et lukket system der to objekter kolliderer, er det totale vinkelmomentet før kollisjonen lik det totale vinkelmomentet etter kollisjonen, forutsatt at ingen eksterne dreiemomenter virker på systemet.

Se også Divergerende (konkav) linse

Problemer og løsninger

1. problem: En punktmasse m = 2 kg beveger seg med en hastighet v = 3 m/s i en sirkel med radius r = 4 m. Beregn dens vinkelmomentum rundt sirkelens sentrum.

Løsning: $L = m \times r \times v$

2. problem: En solid kule med masse 3 kg og radius 0.5 m roterer rundt diameteren sin med en vinkelhastighet ω = 2 rad/s. Hva er dens vinkelmomentum?

Løsning: For en solid kule, $I = 2/5 m r^{2}$

$L = I \times ω$

3. problem: En punktmasse på 3 kg beveger seg med en hastighet på 4 m/s i en rett linje. Hva er dens vinkelmomentum rundt et punkt 5 m unna bevegelseslinjen?

Løsning:

$L = m \times v \times r$

Se også Van der Waals staters ligning

4. problem: En skive med masse 5 kg og radius 3 m roterer med en vinkelhastighet på 2 rad/s. Beregn dens vinkelmomentum.

Løsning: For en plate, $I = 1/2 m r^{2}$

$L = I \times ω$

5. problem: En stang med lengde 4 m og masse 2 kg roterer rundt den ene enden med en vinkelhastighet på 3 rad/s. Finn dens vinkelmomentum.

Løsning: For en stang rundt den ene enden, $I = 1/3 m l^{2}$

$L = I \times ω$

6. problem: Hva blir endringen i vinkelmomentum hvis et roterende legeme dobler vinkelhastigheten sin?

Løsning: Forholdet mellom vinkelmomentum (L) og vinkelhastighet (ω) er $L = I \times ω$ Hvis ω dobles, vil også vinkelmomentet dobles.

7. problem: Hvis radiusen til en sirkulær bane for en bevegelig partikkel dobles mens hastigheten holdes konstant, med hvilken faktor endres vinkelmomentet?

Løsning: Vinkelmomentum, $L = m \times r \times v$ Hvis r dobles, vil L også dobles.

8. problem: Et barn med masse 30 kg står på kanten av en karusell som står i ro. Karusellens radius er 2 m. Hvis barnet begynner å løpe med en hastighet på 2 m/s i forhold til bakken langs kanten, finn barnets vinkelmomentum i forhold til sentrum.

Løsning: $L = m \times r \times v$

9. problem: En sylinder med masse 6 kg og radius 2 m roterer om sin sentrale akse med en vinkelhastighet på 5 rad/s. Beregn vinkelmomentet.

Løsning: For en sylinder, $I = 1/2 m r^{2}$

$L = I \times ω$

Se også Kraftmoment

10. problem: Hva blir det nye vinkelmomentet til et legeme hvis treghetsmomentet halveres og vinkelhastigheten tredobles?

Løsning: Gitt $L = I \times ω$ , Hvis $I$ er halvert og $ω$ er tredoblet, den nye $L$ vil være originalen.

11. problem: En ring med masse 2 kg og radius 1 m roterer med en vinkelhastighet på 4 rad/s. Beregn dens vinkelmomentum.

Løsning: For en bøyle, $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

12. problem: En vifte har blader med lengde 0.5 m og total masse 1 kg. Hvis den roterer med en vinkelhastighet på 10 rad/s, bestem dens vinkelmomentum.

Løsning: Forutsatt at viftebladene er som stenger som roterer rundt den ene enden, $I = Trettiendedeler m l^{2}$

$L = I \times ω$

13. problem: Beregn jordens vinkelmoment rundt sin egen akse på grunn av rotasjonen. Gitt: Jordens masse , Radius $r = 6371 km$ , $ω = 7.27 \times 1 0^{-5} rad / s$ .

Løsning: Anta at jorden er en solid kule, $I = 2/5 m r^{2}$

$L = I \times ω$

$L \approx 7.07 \times 1 0^{33} kg.m^{2} / s$

14. problem: Et barn beveger seg mot midten av en roterende plattform. Øker, minker eller forblir vinkelmomentet det samme?

Løsning: Vinkelmomentet er bevart. Når barnet beveger seg mot sentrum, avtar treghetsmomentet. For å bevare vinkelmomentet øker vinkelhastigheten. Dermed forblir vinkelmomentet det samme.

15. problem: Hvis den kinetiske energien til et roterende legeme dobles, med hvilken faktor endres vinkelmomentet?

Løsning: Kinetisk energi $K = 1 / 2 I ω^{2}$ og vinkelmomentum $L = I ω$ Hvis den kinetiske energien dobles og $I$ forblir konstant, $ω^{2}$ er doblet. Dette innebærer at $ω$ økes med en faktor på √ $2$ . Dermed, $L$ øker også med en faktor på √ $2$ .

16. problem: Et sykkelhjul med radius 0.3 m har en felg med masse 1.5 kg. Hvis det roterer med en vinkelhastighet på 5 rad/s, finn dets vinkelmomentum.

Løsning: Anta at kanten er en bøyle, $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

$L = 1.5 \times 0. 3^{2} \times 5 = 6.75 kg.m^{2} / s$

17. problem: En skøyteløper trekker armene innover mens hun snurrer. Hva skjer med vinkelmomentet hennes?

Løsning: Skøyteløperens vinkelmoment er bevart. Ved å trekke armene inn reduserer hun treghetsmomentet, og dermed spinner hun raskere (økt vinkelhastighet) for å bevare vinkelmomentet.

18. problem: Et svinghjul har et treghetsmoment på 0.2 $kg.m^{2}$ og roterer med en vinkelhastighet på 10 rad/s. Finn dens vinkelmomentum.

Løsning:

$L = I \times ω$

$L = 0.2 \times 10 = 2 kg.m^{2} / s$

19. problem: Et system har et netto eksternt dreiemoment på null som virker på det. Hva kan du si om vinkelmomentet?

Løsning: Hvis det netto eksterne dreiemomentet er null, forblir systemets totale vinkelmoment konstant i henhold til bevaring av vinkelmomentet.

20. problem: En punktmasse m = 5 kg beveger seg med en hastighet v = 3 m/s vinkelrett på linjen som forbinder den med et punkt P. Hvis avstanden fra punktet P er 4 m, finn dens vinkelmomentum rundt punktet P.

Løsning:

$L = m \times r \times v$

$L = 5 \times 4 \times 3 = 60 kg.m^{2} / s$