Den kalles Poiseuille-ligningen fordi den ble oppdaget av avdøde Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Som forklart, kan alle væsker betraktes som ideelle væsker. Ideelle væsker har ikke viskositet. Hvis vi forestiller oss en ideell væske som strømmer i et rør, beveger hver del av væsken seg med samme hastighet (v). I motsetning til ideelle væsker har virkelige væsker, eller væskene vi møter i hverdagen, viskositet. Fordi de har viskositet, varierer hastigheten til hver del av væsken når de strømmer i et rør, for eksempel. Væskelaget i midten beveger seg raskere (v er stort), mens væskelaget som er festet til røret ikke beveger seg, dvs. fortsatt (v = 0). Så fra midten til kanten av røret beveger hver del av væsken seg med forskjellige hastigheter. For å gjøre det lettere for deg å forstå, se på bildet nedenfor ...
Informasjon :
R = radius av rør
v1 = væskestrømningshastighet i rørets sentrum/akse
v2 = væskestrømningshastighet ved en avstand r2 fra kanten av røret
v3 = væskestrømningshastighet ved en avstand r3 fra kanten av røret
v4 = væskestrømningshastighet ved en avstand r4 fra kanten av røret
r = avstand
For å sikre at strømningshastigheten til hver væske er den samme, må det være en trykkforskjell i begge ender av ethvert rør eller rør som væsken strømmer gjennom. Med væske mener vi her ekte væsker, for eksempel vann eller olje som strømmer gjennom et rør, blod som strømmer gjennom blodårer, osv. I tillegg til å hjelpe en ekte væske med å strømme jevnt, kan trykkforskjeller også tillate væsker å strømme i rør i forskjellige høyder.
Jean Louis Marie Poiseuille, en tidligere fransk vitenskapsmann interessert i de fysiske aspektene ved menneskelig blodsirkulasjon, utførte forskning for å undersøke hvordan faktorer som trykkforskjeller, tverrsnittsarealet av et rør og størrelsen på røret påvirker hastigheten til en reell væske. Resultatene oppnådd av Jean Louis Marie Poiseuille er kjent som Poiseuille-ligningen.
Poiseuille-ligningen kan utledes ved hjelp av den tidligere utledede viskositetskoeffisientligningen. Vi bruker viskositetsligningen fordi tilfellet er likt, men ikke identisk. Når vi utleder viskositetskoeffisientligningen, vurderer vi strømningen av et reelt væskelag mellom to parallelle plater, og væsken er i stand til å bevege seg på grunn av strekkraften (F). Forskjellen er at Poiseuille-ligningen vi skal utlede faktisk angir faktorene som påvirker strømningen av en reell væske i et rør, og væsken strømmer på grunn av trykkforskjeller. Derfor må viskositetskoeffisientligningen justeres på nytt.
Væsker kan strømme på grunn av trykkforskjeller (væsker strømmer fra steder med høyt trykk til steder med lavt trykk), så vi erstatter F med p1 - s2 (p1 > p2).
Når vi utleder ligningen for viskositetskoeffisienten, betrakter vi strømningen av et reelt væskelag mellom to parallelle plater. Hver del av væsken opplever en regelmessig hastighetsendring med en avstand l. I dette tilfellet endres væskestrømningshastigheten regelmessig fra rørets akse til kanten av røret. Væsken ved rørets akse strømmer med større hastighet (v). Jo lenger mot kanten, desto mindre reduseres væskehastigheten. Rørets radius = avstanden mellom rørets akse og kanten av røret = R. Avstanden mellom hver del av væsken og kanten av røret = r. Siden antallet av hver del av væsken er veldig stort, og avstanden deres fra kanten av røret også varierer, skriver vi det ganske enkelt slik:
v1 = væskens hastighet i avstanden r1 fra rørkanten (r1 = R)
v2 = væskens hastighet i avstanden r2 fra rørkanten (r2 < r1)
v3 = væskens hastighet i avstanden r3 fra rørkanten (r3 < r2 < r1)
v4 = væskens hastighet i avstanden r4 fra rørkanten (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = væskehastighet i avstanden rn fra rørkanten (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Antallet av hver del av væsken er veldig stort, og vi vet heller ikke nøyaktig hvor mye det faktisk er, så det er nok å skrive det med symbolet n. Hver del av væsken opplever en regelmessig endring i hastighet (v), fra rørets akse (r1 = R) til rørets kant (rn). Fra rørets akse (r1 = R) til rørets kant (rn) blir hastigheten til hver del av væsken mindre (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Fra forklaringen ovenfor kan vi få en idé om at fra R til rn synker væskehastigheten. Lengden på røret = L. Ligningen som oppnås er:
Fordi det vi vurderer er væskestrømmens hastighet (v), blir ligning 2:
Dette er ligningen for væskestrømningshastigheten i avstanden r fra et rør med radius R. Hvis du er forvirret når du ser på bildet ovenfor ... Vær oppmerksom på at væsken strømmer i et rør, så vi må gjennomgå volumstrømningshastigheten til væsken.
Inne i røret er det en væske. For eksempel deler vi væsken inn i svært små biter, hvor hver bit har en arealenhet dA, er avstand fra rørets akse og har en strømningshastighet v. Matematisk kan dette skrives som følger:
dA1 = væskeseksjon 1, som er en avstand på 1 fra røraksen
dA2 = væskeseksjon 2, som er en avstand på 2 fra røraksen
dA3 = væskeseksjon 3, som er en avstand på 3 fra røraksen
..................................
dA n = væskeseksjon n, som er avstanden dA n fra røraksen
Det er så mange væskedeler at det er praktisk å bare skrive dem med symbolet n. Volumstrømningshastigheten til hver væskedel kan skrives matematisk som følger:
Hvert væskestykke har en avstand på r = 0 til r = R (R = rørets radius). Med andre ord varierer avstanden til hvert væskestykke målt fra rørets akse. Hvis vi fikler med kalkulus (integrasjon), får vi ligningen for volumstrømningshastigheten til væsken i røret:
Informasjon :
Q = Debet
R = Innvendig radius av rør eller rør
η = Viskositetskoeffisient
P1 - s2 = Trykkforskjell mellom de to endene av røret
L = Lengde på rør
p1-p2/L = Trykkgradient (væskestrømmen går alltid i retning av synkende trykk)
Basert på Poiseuille-ligningen ovenfor ser det ut til at volumstrømningshastigheten til væsken, også kjent som utløp (Q), er proporsjonal med fjerdepotensen av rørets radius (R).4), trykkgradient (p2 - s1 /L) og er omvendt proporsjonal med viskositeten. Hvis rørets radius økes (viskositetskoeffisient og trykkgradient forblir konstante), øker væskestrømmen med en faktor på 16.
Det grunnleggende konseptet med å designe rør, sprøyter osv. bruker denne ligningen. Væskeutslipp er proporsjonalt med R4 (R = radiusen til røret). Sprøytens radius eller radiusen til røret må beregnes nøye. Hvis vi for eksempel dobler nålens radius (r x 2), vil utstrømningen av væsken som sprayer = øke tommelens trykkraft med 16 ganger.
Poiseuilles ligning viser også at radiusens fjerde potens (r4), er omvendt proporsjonal med trykkforskjellen mellom de to endene av røret. For eksempel strømmer blodet i utgangspunktet i et blodkar med en indre radius på r. Hvis det er en innsnevring av blodkaret (for eksempel r/2 = blodkarets indre radius reduseres med 2 ganger), er det nødvendig med en trykkforskjell på 16 ganger for å få blodet til å strømme som før (slik at utstrømningen eller blodvolumstrømmen forblir konstant).
