Twee lichamen met dezelfde versnelling – Toepassing van Newtons bewegingswetten: problemen en oplossingen

1. Twee massa's m₁ ₌ 2 kg en m₂ ₌ 5 kg bevinden zich op een hellend vlak en zijn met elkaar verbonden door een touw, zoals weergegeven in de figuur. De wrijvingscoëfficiënt tussen m₁ _en het hellende vlak is 0.2 en de wrijvingscoëfficiënt tussen m₂ _en het hellende vlak is 0.1.

(a) Bepaal hun versnelling

(b) Bepaal de trekkracht

Bekend:

Massa 1 (m ₁ ) = 2 kg

Massa 2 (m ₂ ) = 4 kg

Coëfficiënt van kinetische wrijving tussen m ₁ en het hellende vlak (μ _k1 ) = 0.2

Coëfficiënt van kinetische wrijving tussen m ₂ en hellend vlak (μ _k2 ) = 0.1

Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 9.8 m/ ^s²

a) De grootte en richting van de versnelling

w ₁ = gewicht 1 = m ₁ g = (2 kg)(9.8 m/s ² ) = 19.6 Newton

w _1x = w ₁ sin 30 ^o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newton

w _1y = w ₁ cos 30 ^o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newton

N ₁ = De normaalkracht op m ₁ = w _1y = 17 Newton

F _k1 = De kracht van de kinetische wrijving op m ₁ = μ _k1 N ₁ = (0.2)(17 N) = 3.4 Newton

---

w ₂ = gewicht 2 = m ₂ g = (4 kg)(9.8 m/s ² ) = 39.2 Newton

w _2x = w ₂ sin 60 ^o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newton

w _2y = w ₂ cos 60 ^o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newton

N ₂ = De normaalkracht op m ₂ = w _2y = 19.6 Newton

F _k2 = De kracht van de kinetische wrijving op m ₂ = μ _k2 N ₂ = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newton

---

De grootte van de versnelling:

∑ F _x = ma _x

w _2x > w _1x , dus de richting van de versnelling is gelijk aan de richting van w _2x.

Krachten die in dezelfde richting wijzen als de versnelling zijn positief, en krachten die in tegengestelde richting wijzen ten opzichte van de versnelling zijn negatief.

w_2x - F_k2 - T₂ + T₁ - in_1x - F_k1 = (m₁ + m₂) om_x

w _2x – F _k2 – w _1x – F _k1 = (m ₁ + m ₂ ) a _x

34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a _x

18.94 N = (6 kg) a _x

a _x = 18.94 N : 6 kg

a _x = 3.16 m/s ²

Grootte van de versnelling = 3.16 m/s² ^. Richting van de versnelling = richting van T1 ₌ richting van _w2x

b) Grootte van de trekkracht

Pas de tweede wet van Newton toe op object 2:

w _2x – F _k2 – T ₂ = m ₂ a _x

34.1 N – 1.96 N – T ₂ = (4 kg)(3.16 m/s ² )

32.14 N – T ₂ = 12.64 N

T ₂ = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newton

De trekkracht = T = T ₁ = T ₂ = 19.5 Newton

[irp]

2. m ₁ = 4 kg, m ₂ = 2 kg. Bepaal (a) de grootte en richting van de versnelling, (b) de grootte van de trekkracht die m ₁ en m _{2 verbindt} , en (c) de grootte van de trekkracht die de katrol en het dak verbindt.

Het resultaat

w ₁ = m ₁ g = (4 kg)(9.8 m/s ² ) = 39.2 Newton

w ₂ = m ₂ g = (2 kg)(9.8 m/s ² ) = 19.6 Newton

a) Grootte en richting van de versnelling

∑ F _y = mei _y

w ₁ > w ₂ , dus de richting van het object is gelijk aan de richting van het gewicht 1 ( w ₁ ) . Krachten die dezelfde richting hebben als de versnelling zijn positief en krachten die de tegenovergestelde richting hebben van de versnelling zijn negatief.

w ₁ – T ₁ + T ₂ – w ₂ = (m ₁ + m ₂ ) a _y

w ₁ – w ₂ = (m ₁ + m ₂ ) a _y

39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) per _jaar

19.6 N = (6 kg) a _y

a _y = 19.6 N : 6 kg

a _y = 3.26 m/s ²

Grootte van de versnelling = 3.26 m/s² ^. Richting van de versnelling = richting van _w₁.

b) Grootte van de trekkracht die m ₁ en m _{2 verbindt}

Pas de tweede wet van Newton toe op m ₂ :

∑ F _y = mei _y

w ₁ – T ₁ = m ₁ a _y

39.2 N – T ₁ = (4 kg)( 3.26 m/s ² )

39.2 N – T ₁ = 13.04 N

T ₁ = 39.2 N – 13.04 N

T ₁ = 26.16 Newton

Grootte van de trekkracht die de objecten verbindt = T = T ₁ = T ₂ = 26.16 Newton

c) Grootte van de trekkracht die de katrol met het dak verbindt.

De katrol is in rust:

∑ F _y = mei _y —— a _y = 0

∑ F _y = 0

Opwaartse krachten zijn positief, neerwaartse krachten zijn negatief:

T ₃ – T ₁ – T ₂ = 0

T3 = _T1 + _T2

T ₁ en T ₂ hebben dezelfde grootte , T ₁ = T ₂ = T = 26.16 N :

T ₃ = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newton

[irp]

3. Blok 1 (m1 ₌ 10 kg) en blok 2 (m2 ₌ 15 kg) zijn verbonden door een koord over een wrijvingsloze katrol. De coëfficiënt van de statische wrijving tussen blok 2 en de helling is 0.6. De coëfficiënt van de kinetische wrijving tussen blok 2 en de helling is 0.42. Bepaal (a) de grootte van de minimale kracht F die op de objecten wordt uitgeoefend zodat de objecten naar boven versnellen. (b) Bepaal de grootte van de trekkracht.

Het resultaat

w ₁ = Het gewicht van het blok 1 = m ₁ g = (10 kg)(9.8 m/s ² ) = 98 Newton

w ₂ = Het gewicht van het blok 2 = m ₂ g = (15 kg)(9.8 m/s ² ) = 147 Newton

w _2y = w ₂ cos 30 ^o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newton

w _2x = w ₂ sin 30 ^o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newton

N ₂ = De normaalkracht op het blok 2 = w _2y = 127.89 Newton

F _k2 = De kracht van de kinetische wrijving op het blok 2 = μ _k2 N ₂ = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newton

F _s2 = De kracht van de statische wrijving op het blok 2 = μ _s2 N ₂ = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newton

a) De grootte van de minimale kracht F die op de objecten wordt uitgeoefend, zodat de objecten naar boven versnellen.

∑ F _x = ma _x —— a _x = 0

∑ F _x = 0

Opwaartse en rechtse krachten zijn positief, neerwaartse en linkse krachten zijn negatief.

F – F _k2 – w _2x – w ₁ – T ₂ + T ₁ = 0

F – F _k2 – w _2x – w ₁ = 0

F = F _k2 + w _2x + w ₁

F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N

F = 225.2 Newton

b) De grootte van de trekkracht

Pas de bewegingswetten van Newton toe op blok 1:

∑ F _y = mei _y —— a _y = 0

∑ F _y = 0

T ₁ – w ₁ = 0

T ₁ = w ₁ = 98 Newton

Pas de bewegingswetten van Newton toe op blok 2:

F – F _k2 – w _2x – T ₂ = 0

T ₂ = F – F _k2 – w _2x

T ₂ = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N

T ₂ = 98 Newton

Grootte van de trekkracht = T ₁ = T ₂ = T = 98 Newton

[irp]

4. Blok 1 (m ₁ = 16 kg) ligt op een horizontaal oppervlak en blok 2 (m ₂ = 12 kg) ligt op een glad hellend vlak. Ze zijn met elkaar verbonden door een koord dat over een kleine, wrijvingsloze katrol loopt. Blok 3 (m ₃ = 5 kg) ligt op blok 2. De coëfficiënt van de kinetische wrijving tussen blok 2 en het horizontale oppervlak is 0,4. De coëfficiënt van de statische wrijving tussen blok 2 en blok 3 is 0,3.

(a) Wanneer het systeem vanuit rust wordt losgelaten, schuiven blok 3 en blok 2 dan nog steeds samen?

(b) Als er blok 3 is, wat is dan de versnelling van blok 1 en blok 2?

oplossing:

a) Wanneer het systeem vanuit ruststand wordt losgelaten, schuiven blok 3 en blok 2 dan nog steeds samen?

w ₁ = Het gewicht van het blok 1 = m ₁ g = (16 kg)(9.8 m/s ² ) = 156.8 Newton

w _1x = w ₁ sin 60 ^o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newton

w _1y = w ₁ cos 60 ^o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newton

N ₁ = De normaalkracht die het hellende vlak op blok 1 uitoefent = w _1y = 78.4 Newton

w ₃ = Het gewicht van het blok 3 = m ₃ g = (5 kg)(9.8 m/s ² ) = 49 Newton

N ₂₃ = De normaalkracht die blok 2 op blok 3 uitoefent = w ₃ = 49 Newton

N ₃₂ = De normaalkracht die blok 3 op blok 2 uitoefent = N ₂₃ = w ₃ = 49 Newton

(N ₂₃ en N ₃₂ vormen een actie-reactiepaar )

F _s23 = De kracht van de statische wrijving die blok 2 op blok 3 uitoefent = μ _s N ₂₃ = (0.3)(49 N) = 14.7 Newton

F _s32 = De kracht van de statische wrijving die blok 3 op blok 2 uitoefent = F _{s 23} = 14.7 Newton

(F _s23 en F _s32 vormen een actie-reactiepaar )

w ₂ = Het gewicht van het blok 2 = m ₂ g = (12 kg)(9.8 m/s ² ) = 117.6 Newton

N ₂ = De normaalkracht die het horizontale oppervlak op het object uitoefent = w ₂ + N ₃₂ = 117.6 Newton + 49

Newton = 166.6 Newton

F _k2 = De kracht van de kinetische wrijving op het blok 2 = μ _k N ₂ = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newton

Pas de bewegingswetten van Newton toe op blok 3:

∑ F _x = ma _x

F _s23 = m ₃ a _x

—–> F_s23 =_s N₂₃ =_s w₃ =_s m₃ g

μ _s m ₃ g = m ₃ a _x

μ _s g = a _x

a _x = (0.3)(9.8 m/s² ⁾ = 2.94 m/ ^s²

De maximale versnelling van blok 3, zodat blok 3 en blok 2 nog steeds samen schuiven, is 2.94 m/ ^s².

Nu berekenen we de grootte van de versnelling van het systeem nadat het vanuit rust is losgelaten.

De richting van de verplaatsing van het blok = de richting van de versnelling van het blok = de richting van T ₂ = de richting van w _1x.

∑ F _x = ma _x

w_1x - T₁ + T₂ - F_k2 - F_s32 + F_s23 = (m₁ + m₂ + m₃) om_x

w _1x – F _k2 = (m ₁ + m ₂ + m ₃ ) a _x

136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a _x

69.76 N = (33 kg) a _x

a _x = 2.11 m/s ²

a _x is positief, wat betekent dat de richting van de blokverplaatsing of de richting van de versnelling gelijk is aan de richting van T ₂ of de richting van w _1x.

De grootte van de versnelling is 2.11 m/s² ^, lager dan 2.94 m/s² ^, dus we kunnen concluderen dat blok 3 en blok 2 nog steeds samen schuiven nadat ze vanuit rust zijn losgelaten.

b) De grootte van de versnelling van blok 1 en blok 2

∑ F _x = ma _x

w _1x – F _k2 = (m ₁ + m ₂ ) a _x

—–> F_k2 =_k N₂ =_k w₂ =_k m₂ g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s²)²) = 47.04 Newton

136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a _x

89.36 N = (28 kg) a _x

a _x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s ²

[wpdm_package id = '493 ′]

1. Massa en gewicht
2. Normale kracht
3. Newton's tweede bewegingswet
4. Wrijvingskracht
5. Beweging op een horizontaal oppervlak zonder wrijvingskracht
6. De beweging van twee lichamen met dezelfde versnelling op een ruw horizontaal oppervlak met wrijvingskracht.
7. Beweging op een hellend vlak zonder wrijvingskracht
8. Beweging op het ruwe hellende vlak met wrijvingskracht
9. Beweging in een lift
10. De beweging van lichamen wordt mogelijk gemaakt door touwen en katrollen.
11. Twee lichamen met dezelfde versnellingsgrootte.
12. Het nemen van een vlakke bocht – dynamiek van cirkelbeweging
13. Het nemen van een hellende bocht – dynamiek van cirkelbeweging
14. Gelijkmatige beweging in een horizontale cirkel
15. Middelpuntzoekende kracht bij eenparige cirkelbeweging