Artikel over de vergelijking van Poiseuille
De vergelijking van Poiseuille werd ontdekt door Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Zoals uitgelegd, kan elke vloeistof worden beschouwd als een ideale vloeistof. Een ideale vloeistof heeft geen viscositeit. Als we aannemen dat een ideale vloeistof door een pijp stroomt, beweegt elk deel van de vloeistof met dezelfde snelheid (v). In tegenstelling tot de ideale vloeistof heeft de vloeistof die we in het dagelijks leven tegenkomen viscositeit. Omdat een vloeistof viscositeit heeft, varieert de snelheid van elk deel van de vloeistof wanneer deze bijvoorbeeld door een pijp stroomt. De vloeistoflaag in het midden beweegt sneller (lage v), terwijl de vloeistoflaag die aan de pijp vastzit, niet beweegt (v = 0). Van het midden tot de rand van de pijp beweegt elk deel van de vloeistof dus met een andere snelheid. Om dit te verduidelijken, bekijk de onderstaande afbeelding.
R = de straal van de pijp/buis
v 1 = vloeistofdebiet in het midden / buisas
v 2 = vloeistofdebiet op een afstand r 2 van de rand van de buis
v 3 = vloeistofdebiet r 3 vanaf de rand van de buis
v 4 = vloeistofdebiet r 4 vanaf de rand van de buis
r = afstand
Om ervoor te zorgen dat de stroomsnelheid van elk deel van de vloeistof gelijk is, moet er een drukverschil zijn aan beide uiteinden van de pijp of buis waar de vloeistof doorheen stroomt. Met vloeistof wordt hier een echte vloeistof bedoeld, bijvoorbeeld water of olie die door een pijp stroomt, bloed dat door een bloedvat stroomt, enzovoort. Naast het bevorderen van een soepele stroming van een echte vloeistof, kan het drukverschil er ook voor zorgen dat vloeistoffen door leidingen van verschillende hoogtes kunnen stromen.
Jean Louis Marie Poiseuille, een voormalig Frans wetenschapper die geïnteresseerd was in de fysische aspecten van de menselijke bloedsomloop, onderzocht hoe factoren zoals drukverschillen, de dwarsdoorsnede van de buis en de buisgrootte de werkelijke vloeistofstroom beïnvloeden. De resultaten die Jean Louis Marie Poiseuille verkreeg, staan bekend als de vergelijking van Poiseuille.
De vergelijking van Poiseuille kan worden afgeleid met behulp van een eerder berekende vergelijking voor de viscositeitscoëfficiënt. We gebruiken de viscositeitsvergelijking omdat de gevallen vergelijkbaar zijn, hoewel ze niet identiek zijn. Bij het afleiden van de vergelijking voor de viscositeitscoëfficiënt bekijken we de stroming van een reële vloeistoflaag tussen twee parallelle platen, waarbij de vloeistof kan bewegen door de aantrekkingskracht (F). Het verschil is dat de vergelijking van Poiseuille die we zullen afleiden de factoren beschrijft die de stroming van een reële vloeistof in een pijp/buis beïnvloeden, terwijl de vloeistofstroom wordt veroorzaakt door het drukverschil. Daarom moet de vergelijking voor de viscositeitscoëfficiënt opnieuw worden aangepast.
Vloeistof kan stromen als gevolg van een drukverschil (vloeistof stroomt van een plaats met hoge druk naar een plaats met lage druk), dan vervangen we F door p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Bij het afleiden van de vergelijking voor de viscositeitscoëfficiënt bekijken we de stroming van een reële vloeistoflaag tussen twee parallelle platen. Elk deel van de vloeistof verandert zijn snelheid over een afstand l. In dit geval verandert de vloeistofstroom regelmatig van de as van de buis naar de rand van de buis. De vloeistof in de as van de buis stroomt met een hogere snelheid (v). Hoe verder van de rand, hoe lager de vloeistofsnelheid. De straal van de buis is de afstand tussen de as van de buis en de rand van de buis = R. De afstand tussen elk deel van de vloeistof en de rand van de buis is r. Omdat de hoeveelheid van elk deel van de vloeistof groot is en de afstand tot de rand van de buis ook verschilt, schrijven we het als volgt:
v 1 = de snelheid van de vloeistof op afstand r 1 van de rand van de buis (r 1 = R)
v 2 = de snelheid van de vloeistof op een afstand r 2 van de rand van de buis (r 2 < r 1 )
v 3 = de snelheid van de vloeistof op afstand r 3 van de rand van de buis (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = de snelheid van de vloeistof op afstand r 4 van de rand van de buis (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
……………………………………… ..
v n = de vloeistofstroom op afstand rn vanaf de rand van de buis (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
De hoeveelheid van elk deel van de vloeistof is enorm, en we weten ook niet precies hoeveel het daadwerkelijk is, dus volstaat het om het met het symbool n weer te geven. Elk deel van de vloeistof verandert de snelheid (v) regelmatig, van de as van de buis (r 1 = R) naar de rand van de buis (rn). Van de as van de buis (r 1 = R) naar de rand van de buis (rn) neemt de snelheid van elk deel van de vloeistof af (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
Uit bovenstaande uitleg kunnen we afleiden dat de vloeistofstroom van R naar rn afneemt. Pijplengte = L. Verkregen vergelijking:
Omdat we de snelheid van de vloeistofstroom onderzoeken , wordt vergelijking 2 als volgt:
Dit is de vergelijking voor de stroomsnelheid van een vloeistof op een afstand r van de buis met een straal R. Als de afbeelding hierboven verwarrend is... Houd er dan rekening mee dat de vloeistof door een buis stroomt, dus we moeten de stroomsnelheid van het vloeistofvolume bekijken.
In de buis bevindt zich vloeistof. We verdelen de vloeistof bijvoorbeeld in kleine deeltjes, waarbij elk deeltje een oppervlakte-eenheid dA heeft, op een bepaalde afstand van de buisas en met een stroomsnelheid v. Mathematisch kan dit als volgt worden weergegeven:
dA 1 = vloeistofdeel 1, dat zich op een afstand van dr 1 van de buisas bevindt
dA 2 = vloeistofdeel 2, dat zich op een afstand van dr 2 van de buisas bevindt
dA 3 = vloeistofdeel 3, dat zich op een afstand van dr 3 van de buisas bevindt
..................................
dAn = vloeistofdeeltje n, dat een afstand van dn van de buisas is.
Omdat er veel vloeistofdeeltjes zijn, worden die vaak aangeduid met het symbool n, wat praktischer is. Het volumestroomdebiet van elk vloeistofdeeltje kan wiskundig als volgt worden weergegeven:
Elk deel van de vloeistof bevindt zich op een afstand van r = 0 tot r = R (R = buisradius). Met andere woorden, de afstand van elk deel van de vloeistof varieert wanneer deze vanaf de buisas wordt gemeten. We zullen de vergelijking voor het volumestroomdebiet van de vloeistof in de buis afleiden:
Q = Debiet, R = straal van een pijp of buis, η = viscositeitscoëfficiënt, P 1 – p 2 = Drukverschil tussen de twee uiteinden van de pijp, L = pijplengte, p 1 -p 2 / L = Drukgradiënt (vloeistofstroom is altijd in de richting van de drukval)
Op basis van de bovenstaande Poiseuille-vergelijking blijkt dat het debiet van het vloeistofvolume (Q) evenredig is met de buisradius (R4 ) , de drukgradiënt (p2 – p1 / L) en omgekeerd evenredig met de viscositeit. Als de buisradius wordt toegevoegd (viscositeitscoëfficiënt en vaste drukgradiënt), dan neemt de stroomsnelheid van de vloeistof toe met een factor 16.
Bij het ontwerpen van een pijpleiding wordt de volgende vergelijking gebruikt: de vloeistofafvoer is evenredig met R⁴ ( R = buisradius). De radius van de spuit of de pijpvingers moet zorgvuldig worden berekend. Als we bijvoorbeeld de radius van de naald verdubbelen (r x 2), neemt de vloeistofafvoer toe met een factor 16, afhankelijk van de druk die de duim uitoefent.
De Poiseuille-vergelijking laat ook zien dat de straal (r⁴ ) omgekeerd evenredig is met het drukverschil tussen de twee uiteinden van de buis. Bloed stroomt bijvoorbeeld eerst door een bloedvat met een binnenstraal van r. Als de slagaders vernauwen (bijvoorbeeld r/2 = de straal van de bloedvaten wordt tweemaal zo klein),
Dan is een drukverschil van 16 keer nodig om de bloedstroom weer zoals voorheen te laten verlopen (zodat de stroomsnelheid constant blijft).
