Vectoren zijn geen gewone getallen, dus gewone vermenigvuldiging kan er niet rechtstreeks op worden toegepast. We moeten vectorvermenigvuldiging gebruiken. Er zijn twee soorten vectorvermenigvuldiging: puntvermenigvuldiging en kruisvermenigvuldiging. Puntvermenigvuldiging wordt ook wel scalaire vermenigvuldiging genoemd, omdat het een scalaire grootheid oplevert. Kruisvermenigvuldiging wordt ook wel vectorvermenigvuldiging genoemd, omdat het een vectorgrootheid oplevert. Stel, er zijn twee vectoren, namelijk A Dan BScalaire vermenigvuldiging van vectoren A Dan B verklaarde met AB KOmdat de arena gebruikmaakt van puntnotatie, wordt deze vermenigvuldiging genoemd puntproductVectorvermenigvuldiging van A Dan B verklaarde met A x BOmdat het gebruikmaakt van notatie. xAls je deze vermenigvuldiging uitvoert, wordt dit kruisvermenigvuldiging genoemd.
Bijvoorbeeld, gegeven de vector A Dan B zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. Het inwendig product tussen vectoren A Dan B geschreven als AB (A titik B).
Om het inwendig product van vectoren te definiëren A Dan B (AB), afgebeelde vector A en vectoren Doordie een hoek vormt θ. Vervolgens tekenen we de projectie van de vector. B in de richting van de vector ADeze projectie is een onderdeel van de vector. B die evenwijdig is aan de vector A, wat dezelfde grootte heeft als B cos θ.
Zo definiëren we AB als een grote vector A vermenigvuldigd met de vectorcomponenten B wat parallel loopt aan AMathematisch kunnen we het als volgt schrijven:
AB cos θ is een gewoon getal (scalar). Daarom wordt het inwendig product ook wel het scalair product genoemd. Wat als het inwendig product tussen vectoren A Dan B omgekeerd naar BA ? voordat we definiëren BAEerst tekenen we de projectie van de vector. A naar vectoren B (zie afbeelding hieronder).
Op basis van deze afbeelding kunnen we definiëren BA als een grote vector B vermenigvuldigd met de vectorcomponenten A wat parallel loopt aan BMathematisch kunnen we het als volgt schrijven:
Dotproductresultaat AB = AB cos θ en het resultaat van het inwendig product BA = BA cos θ. Omdat AB cos θ = BA cos θ, dan is het van toepassing AB = BA
Enkele belangrijke feiten over puntvermenigvuldiging:
1. Het inwendig product voldoet aan de commutatieve wet.
AB = BA
2. Het inwendig product voldoet aan de distributieve wet.
A. (B + C) = AB + AC
3. Als vectoren A en B loodrecht op elkaar staan, dan is het inwendig product AB = 0
Wanneer de vector A Dan B als ze loodrecht op elkaar staan, dan is de hoek die ze vormen 90 graden.oCos 90o = 0. Dus: AB = AB cos teta = AB cos 90o = 0. Aan de andere kant, BA = BA cos teta = BA cos 90o = 0
4. Als vector A en vector B in dezelfde richting wijzen , dan is AB = AB cos 0 0 = AB
Wanneer de vector A Dan B in dezelfde richting, dan is de gevormde hoek 0o. Cos 0 = 1. Dus, AB = AB cos teta = AB cos 0o = ABIntegendeel BA = BA cos teta = BA cos 0o = BA
(U moet niet verward worden met AB Dan BA. Groot AB = groot BABijvoorbeeld de grootte van de vector A = 2. grootte van de vector B = 3. dan AB = 2.3 = 6; dit is hetzelfde als BA = 3.2 = 6.
5. Nog een voorwaarde voor twee vectoren in dezelfde richting: als A = B , dan krijgen we AA = A² of BB = B²
6. Als vectoren A en B in tegengestelde richtingen wijzen (wanneer twee vectoren in tegengestelde richtingen wijzen, is de hoek die ze vormen 180º) , dan is het resultaat van de vermenigvuldiging AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Voorbeeld van problemen:
Vector A heeft een grootte van 4 eenheden en vector B heeft een grootte van 3 eenheden. Bepaal het inwendig product van de twee vectoren als de hoeken die de twee vectoren vormen 60º, 90º en 180º zijn.
Discussie
Omdat AB = BA , kunnen we ervoor kiezen om een van beide te gebruiken. We gebruiken bijvoorbeeld AB.
AB = AB cos theta
De afmetingen van A zijn 4 eenheden en de afmetingen van B zijn 3 eenheden.
