Voorbeeldvragen over variantie en standaarddeviatie van groepsgegevens
Pendahuluan
In de statistiek zijn variantie en standaarddeviatie twee cruciale statistische maten voor het begrijpen van de spreiding van gegevens ten opzichte van het gemiddelde. Variantie meet hoe ver de gegevens van het gemiddelde zijn verspreid, terwijl de standaarddeviatie de wortel van de variantie is en een maat oplevert die dezelfde eenheden heeft als de oorspronkelijke gegevens.
Definitie
– Variantie (σ² of S²): Dit is het gemiddelde van de kwadraten van de verschillen tussen elke datawaarde en het gemiddelde van de data.
– Standaarddeviatie (σ of S): Dit is de wortel van de variantie.
Formule voor variantie en standaarddeviatie van groepsgegevens
Voor groepsgegevens gebruiken we de frequentie van de gegevens in elke klasse. Hier is de formule:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Standaardafwijking
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Waar:
– \( f_i \) = frequentie van elke klasse.
– \( x_i \) = middelpunt van elke klasse.
– \( \bar{x} \) = het gemiddelde van de groepsgegevens.
– \( N \) = totaal aantal gegevens.
Voorbeeldvragen en discussie
Stel dat we gewichtsgegevens hebben van een groep mensen, ingedeeld in klassen.
| Gewichtsinterval (kg) | Frequentie (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
De eerste stap is het bepalen van het middelpunt van elke klasse ( \( x_i \) ) en vervolgens het berekenen van het gemiddelde (\( \bar{x} \)).
1. Het middelpunt berekenen ( \( x_i \) )
\[ \text{Middelpunt} = \frac{\text{Ondergrens} + \text{Bovengrens}}{2} \]
| Gewichtsinterval (kg) | Frequentie (f) | Middelpunt ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Het gemiddelde berekenen ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Totaal aantal gegevens \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Dus, het gemiddelde (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Het berekenen van de variantie ( \( S^2 \) )
We moeten berekenen \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Vermenigvuldigen met frequentie:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 × 33.64 = 168.2 \\
& 8 × 0.64 = 5.12 \\
& 7 × 17.64 = 123.48 \\
& 3 × 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nu kunnen we de variantie (\( S^2 \)) berekenen:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Het berekenen van de standaarddeviatie ( \( S \) )
Standaardafwijking ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
conclusie
Uit de bovenstaande voorbeeldgegevens blijkt het volgende:
– Berekening van het gemiddelde lichaamsgewicht: 62.8 kg
– Berekening van de variantie: 32.85 kg²
– Berekening van de standaardafwijking: 5.73 kg
De standaarddeviatie geeft aan dat de gemiddelde afwijking van de gewichtsgegevens ten opzichte van het gemiddelde ongeveer 5.73 kg bedraagt. Dit geeft de spreiding van de gegevens ten opzichte van het gemiddelde weer, wat kan helpen om de mate van variabiliteit van onze gegevens af te leiden.
Een grondig begrip van variantie en standaarddeviatie is cruciaal, vooral voor statistici, onderzoekers en testers, omdat zij data in de vorm van groepen of verdelingen proberen te begrijpen. Weten hoe deze twee maten te berekenen en te interpreteren, kan bijdragen aan betere besluitvorming op basis van de beschikbare data.
