एकल डेटाको भिन्नता र मानक विचलन
तथ्याङ्क भनेको डेटाको सङ्कलन, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुतीकरण र संगठनको अध्ययन गर्ने विज्ञान हो। तथ्याङ्कको एउटा महत्त्वपूर्ण पक्ष भनेको हामी डेटामा परिवर्तनशीलता कसरी मापन र बुझ्छौं भन्ने हो। परिवर्तनशीलताका दुई महत्त्वपूर्ण मापनहरू भिन्नता र मानक विचलन हुन्। यस लेखले भिन्नता र मानक विचलनलाई गहिराइमा छलफल गर्नेछ, एकल डेटा सेटमा केन्द्रित हुँदै, परिभाषाहरू, सूत्रहरू, गणना चरणहरू व्याख्या गर्दै, र अवधारणाहरू स्पष्ट पार्न व्यावहारिक उदाहरणहरू प्रदान गर्नेछ।
भिन्नता र मानक विचलनको परिभाषा
भेरियन
भिन्नता भनेको डेटा औसतबाट कति टाढा फैलिएको छ भन्ने मापन हो। यसले डेटा सेटमा विविधता वा भिन्नताको सिंहावलोकन प्रदान गर्दछ। गणितीय शब्दहरूमा, भिन्नता भनेको प्रत्येक डेटा वस्तुको यसको औसतबाट विचलनहरूको वर्गहरूको औसत हो।
मानक विचलन
मानक विचलन, जसलाई मानक विचलन पनि भनिन्छ, भिन्नताको वर्गमूल हो। यसले मूल डेटा जस्तै एकाइहरूमा डेटाको वितरणको बारेमा जानकारी प्रदान गर्दछ, जसले वास्तविक जीवनको सन्दर्भमा व्याख्या गर्न सजिलो बनाउँछ।
सूत्र र गणनाहरू
भेरियन
आकार n को एकल डेटा सेटको भिन्नता (σ^2) गणना गर्न, हामी निम्न सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ \सिग्मा^२ = \फ्राक{\योग_{i=1}^{n} (x_i – \बार{x})^2}{n} \]
कहाँ:
– \( x_i \) ith डेटा मान हो।
– \( \bar{x} \) डेटाको औसत वा औसत हो।
– n सेटमा रहेको डेटाको संख्या हो।
– (x_i – \bar{x})^2 भनेको प्रत्येक डेटा र यसको माध्य बीचको भिन्नताको वर्ग हो।
मानक विचलन
मानक विचलन (σ) भिन्नताको वर्गमूल हो, त्यसैले सूत्र यो हो:
\[ \सिग्मा = \sqrt{\सिग्मा^2} \]
गणना चरणहरू
चरण १: डेटाको औसत गणना गर्नुहोस् (औसत)
पहिलो चरण भनेको डेटा सेटको औसत (औसत) गणना गर्नु हो। सबै डेटा मानहरू थपेर र डेटा मानहरूको संख्याले भाग गरेर औसत गणना गरिन्छ।
\[ \बार{x} = \फ्राक{\योग_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
चरण २: औसत विरुद्ध प्रत्येक डेटा सेटको भिन्नता गणना गर्नुहोस्
औसत प्राप्त गरेपछि, अर्को चरण भनेको प्रत्येक डेटा मान र औसत (विचलन) बीचको भिन्नता गणना गर्नु हो।
\[ d_i = x_i – \बार{x} \]
चरण ३: प्रत्येक विचलनको वर्गीकरण गर्नुहोस्
अर्को, प्रत्येक विचलनको वर्ग गर्नुहोस्।
\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
चरण ४: सबै वर्गीय विचलनहरूको योगफल
अघिल्लो चरणबाट सबै वर्ग परिणामहरू जोड्नुहोस्।
\[ \योगफल d_i^2 = \योगफल_{i=1}^{n} (x_i – \बार{x})^2 \]
चरण ५: भिन्नता गणना गर्नुहोस्
भिन्नता प्राप्त गर्न विचलनहरूको वर्गहरूको योगफललाई डेटाको संख्या (n) ले भाग गर्नुहोस्।
\[ \सिग्मा^२ = \फ्राक{\योगफल d_i^२}{n} \]
चरण ६: मानक विचलन गणना गर्नुहोस्
अन्तमा, भिन्नताको वर्गमूल लिएर मानक विचलन गणना गर्नुहोस्।
\[ \सिग्मा = \sqrt{\सिग्मा^2} \]
कोन्तोह पेरहिटुङ्गन
भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्ने अवधारणालाई स्पष्ट पार्न, निम्न उदाहरण हेरौं। मानौं हामीसँग निम्न एकल डेटा सेट छ: ४, ८, ६, ५, ३।
चरण १: डेटाको औसत गणना गर्नुहोस्
\[ \bar{x} = \frac{४ + ८ + ६ + ५ + ३}{५} = \frac{२६}{५} = ५.२ \]
चरण २: औसत विरुद्ध प्रत्येक डेटा सेटको भिन्नता गणना गर्नुहोस्
प्रत्येक डेटा मान र औसत बीचको भिन्नता:
– (३ – ५.२) = -२.२
– (६ – ५.२) = ०.८
– (६ – ५.२) = ०.८
– (३ – ५.२) = -२.२
– (३ – ५.२) = -२.२
चरण ३: प्रत्येक विचलनको वर्गीकरण गर्नुहोस्
प्रत्येक विचलनको वर्ग:
– (-२.२)^२ = ४.८४
– ०.८^२ = ०.६४
– ०.८^२ = ०.६४
– (-२.२)^२ = ४.८४
– (-२.२)^२ = ४.८४
चरण ४: सबै वर्गीय विचलनहरूको योगफल
\[ \योगफल d_i^२ = १.४४ + ७.८४ + ०.६४ + ०.०४ + ४.८४ = १४.८ \]
चरण ५: भिन्नता गणना गर्नुहोस्
\[ \सिग्मा^२ = \फ्राक{१४.८}{५} = २.९६ \]
चरण ६: मानक विचलन गणना गर्नुहोस्
\[ \सिग्मा = \sqrt{२.९६} \लगभग १.७२ \]
त्यसैले, यस उदाहरणमा, डेटाको भिन्नता २.९६ छ, र मानक विचलन लगभग १.७२ छ।
व्याख्या
भिन्नता र मानक विचलनले डेटाको फैलावटको बारेमा महत्त्वपूर्ण जानकारी प्रदान गर्दछ। माथिको उदाहरणमा, २.९६ को भिन्नताले औसतबाट डेटा मानहरूको औसत वर्ग विचलन २.९६ हो भनेर संकेत गर्दछ। १.७२ को मानक विचलनले औसतमा, डेटा मानहरू औसतबाट १.७२ एकाइले विचलित हुन्छन् भन्ने संकेत गर्दछ।
मानक विचलनलाई व्याख्या गर्न सजिलो छ किनभने यसमा मूल डेटा जस्तै एकाइहरू छन्। उदाहरणका लागि, आय तथ्याङ्कको सन्दर्भमा, यदि डेटामा $५०० को मानक विचलन छ भने, यसको अर्थ औसत आय औसत आयबाट $५०० ले विचलित हुन्छ।
दैनिक जीवनमा प्रयोग
भिन्नता र मानक विचलन बुझ्ने कुरा विभिन्न क्षेत्रहरूमा लागू गर्न सकिन्छ। वित्तमा, लगानी जोखिम मापन गर्न मानक विचलन प्रयोग गर्न सकिन्छ। शिक्षामा, यसलाई विद्यार्थीहरू बीचको परीक्षण स्कोरमा भिन्नताको मूल्याङ्कन गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। निर्माणमा, यसले उत्पादन भिन्नता मापन गरेर गुणस्तर नियन्त्रणमा मद्दत गर्न सक्छ।
केसिम्पुलन
डेटा सेटमा परिवर्तनशीलता बुझ्नको लागि भिन्नता र मानक विचलन दुई महत्त्वपूर्ण सांख्यिकीय उपकरणहरू हुन्। भिन्नता गणना गरेर, हामी डेटा कति फैलिएको छ भनेर निर्धारण गर्न सक्छौं। मानक विचलन, जुन भिन्नताको वर्गमूल हो, ले थप सहज व्याख्या प्रदान गर्दछ र मूल डेटा जस्तै एकाइहरूमा मापन गरिन्छ। यी दुई मापनहरू बुझेर र गणना गर्न सक्षम भएर, हामी डेटालाई राम्रोसँग विश्लेषण गर्न र थप सूचित निर्णयहरू गर्न सक्छौं।
