एकल र समूहीकृत डेटाको लागि मध्यस्थ गणना गर्ने प्रविधिहरू
मध्यक भनेको केन्द्रीय प्रवृत्तिको मापन हो जुन तथ्याङ्कमा बारम्बार प्रयोग गरिन्छ। औसत (औसत) भन्दा फरक, जसले सबै मानहरू थप्छ र त्यसपछि मानहरूको संख्याले भाग गर्छ, मध्यकले क्रमबद्ध डेटा सेटको "मध्यम मान" लाई जोड दिन्छ। स्थितिमा यसको केन्द्रितताको कारण, मध्यक चरम मानहरू (आउटलियरहरू) को लागि अपेक्षाकृत प्रतिरोधी हुन्छ, जस्तै जब एउटा मान अरूको तुलनामा धेरै ठूलो वा धेरै सानो हुन्छ। यसैले मध्यक आर्थिक डेटा विश्लेषण, शिक्षा, सामाजिक अनुसन्धान, र परीक्षण स्कोर मूल्याङ्कनमा पनि व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ।
यस लेखमा, हामी दुई प्रकारका डेटाको लागि मध्यक गणना गर्ने प्रविधिहरू छलफल गर्नेछौं: एकल डेटा (असमूहबद्ध) र समूहीकृत डेटा (फ्रिक्वेन्सी वितरण तालिकामा प्रस्तुत गरिएको)। सूत्रको अतिरिक्त, छलफलमा सजिलो कार्यान्वयनको लागि व्यावहारिक चरणहरू समावेश हुनेछन्।
-
१. मध्यकाको आधारभूत अवधारणा
डेटालाई सबैभन्दा सानोबाट ठूलोमा क्रमबद्ध गरिसकेपछिको मध्य मान मध्य मान हो। यदि डेटा बिन्दुहरूको संख्या बिजोर छ भने, मध्यमान सटीक मध्य मान हो। यदि डेटा बिन्दुहरूको संख्या सम छ भने, मध्यमान दुई मध्य मानहरूको औसत हो।
सहज रूपमा, मध्यकले डेटालाई दुई भागमा विभाजन गर्दछ:
- ५०% डेटा मध्यभन्दा कम (वा बराबर) छ
- ५०% डेटा मध्यभन्दा माथि (वा बराबर) छ
मध्यक क्रम-आधारित भएकोले, लगभग सधैं आवश्यक पर्ने पहिलो चरण डेटा क्रमबद्ध गर्नु हो।
-
२. एकल डेटाको लागि मध्यस्थ गणना गर्दै
एकल डेटा भनेको त्यस्तो डेटा हो जुन यथास्थितिमा प्रस्तुत गरिन्छ (उदाहरणका लागि विद्यार्थी ग्रेडहरूको सूची), समूह डेटामा जस्तो अन्तराल कक्षाहरूमा संक्षेप गरिएको हुँदैन।
A. सामान्य चरणहरू
१. डेटालाई सबैभन्दा सानो मानबाट ठूलो मानमा क्रमबद्ध गर्नुहोस्।
२. डेटाको मात्रा निर्धारण गर्नुहोस्, उदाहरणका लागि n।
३. मध्यकको स्थिति निर्धारण गर्नुहोस्:
– यदि n बिजोर छ भने, मध्यक \((n+1)/2\) स्थितिमा हुन्छ।
– यदि n सम छ भने, मध्यक भनेको \(n/2\) र \((n/2)+1\) स्थितिहरूमा डेटाको औसत हो।
B. एकल डेटाको लागि मध्यक सूत्र
- यदि n बिजोर छ भने:
\[
म = x_{(n+1)/2}
\]
यसको अर्थ मध्यक भनेको \((n+1)/2\)th क्रममा रहेको डेटा मान हो।
- यदि n सम छ भने:
\[
म = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. एकल डेटाको उदाहरण (n विषम)
डेटा: २, ३, ३, ४, ५
१) क्रमबद्ध गर्नुहोस्: २, ३, ४, ७, ९
२) n = ५ (विजोर)
३) मध्य स्थिति = \((५+१)/२ = ३\)
मध्यक = तेस्रो डेटा = ४
त्यसैले डेटाको मध्यक ७ हो।
D. एकल डेटाको उदाहरण (n सम)
डेटा: ५, ६, ७, ८
१) क्रमबद्ध गर्नुहोस्: ४, ६, ८, १०
२) n = ४ (जोर)
३) बीचको स्थान दोस्रो र तेस्रो डेटा हो
मध्यक = \((६ + ८)/२ = ७\)
त्यसैले डेटाको मध्यक ७ हो।
E. महत्त्वपूर्ण नोट: फ्रिक्वेन्सी भएको डेटा
कहिलेकाहीँ एउटै डेटा सेटलाई मान र फ्रिक्वेन्सीको रूपमा दिन सकिन्छ (जस्तै, ६० दुई पटक देखिन्छ, ७० पाँच पटक देखिन्छ)। यस अवस्थामा, डेटाको "क्रम" को आधारमा मध्यक अझै पनि पाइन्छ, तर हामी डेटा बिन्दुहरूलाई व्यक्तिगत रूपमा सूचीबद्ध नगरी मध्यक स्थिति निर्धारण गर्न संचयी आवृत्ति प्रयोग गर्न सक्छौं। सिद्धान्त एउटै छ: (n+1)/दोस्रो स्थिति (विजोर) वा (n/2) र (n/2)+पहिलो स्थिति (सम) फेला पार्नुहोस्, त्यसपछि संचित आवृत्तिको आधारमा त्यो स्थितिलाई समेट्ने मानहरू हेर्नुहोस्।
-
३. समूहीकृत डेटाको लागि मध्यस्थ गणना गर्दै
समूहीकृत डेटा भनेको वर्ग अन्तराल र तिनीहरूको फ्रिक्वेन्सीहरूमा संक्षेप गरिएको डेटा हो। उदाहरणका लागि: १५०-१५४ सेन्टिमिटर उचाइ भएका ३ जना, १५५-१५९ सेन्टिमिटर उचाइ भएका ८ जना, र यस्तै अन्य। एकल डेटाको विपरीत, समूहीकृत डेटाको मध्यक सामान्यतया ठ्याक्कै निर्धारण हुँदैन किनभने हामीलाई अन्तराल भित्रको व्यक्तिगत मानहरू थाहा हुँदैन। त्यसकारण, समूहीकृत वितरणको लागि मध्यक सूत्र प्रयोग गरेर अनुमान (अनुमान) प्रयोग गरेर मध्यक गणना गरिन्छ।
A. समूह डेटा माध्यममा महत्त्वपूर्ण शब्दहरू
सूत्र प्रयोग गर्नु अघि, हामीले धेरै घटकहरू बुझ्न आवश्यक छ:
– n = कुल आवृत्ति (डेटाको कुल संख्या)
– n/2 = संचयी मध्य स्थिति
– मध्य वर्ग = पहिलो अन्तराल वर्ग जसले संचयी आवृत्ति ≥ n/2 उत्पादन गर्दछ
– L = मध्य वर्गको तल्लो किनारा (तल्लो सीमा होइन, तर वर्ग किनारा; निरन्तर डेटाको लागि सामान्यतया ०.५ समायोजन प्रयोग गरिन्छ यदि डेटा पूर्णांक हो भने)
– F = मध्य वर्ग अगाडिको संचयी आवृत्ति
– f = मध्य वर्ग आवृत्ति
– c = वर्ग लम्बाइ (अन्तराल चौडाइ)
ख. समूह डेटाको मध्यस्थता निर्धारण गर्ने चरणहरू
१. फ्रिक्वेन्सी वितरण तालिका सिर्जना गर्नुहोस् र संचयी फ्रिक्वेन्सी स्तम्भ थप्नुहोस्।
२. n (फ्रिक्वेन्सीहरूको संख्या) गणना गर्नुहोस् र n/2 निर्धारण गर्नुहोस्।
३. मध्य वर्ग निर्धारण गर्नुहोस्, अर्थात् संचयी आवृत्तिको आधारमा n/2 स्थितिहरू समावेश गर्ने वर्ग।
४. समूह डेटाको लागि मध्य सूत्रमा मानहरू प्रविष्ट गर्नुहोस्।
C. समूह डेटाको लागि मध्यक सूत्र
\[
म = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
यो सूत्रले डेटा वर्ग अन्तरालमा समान रूपमा वितरित भएको मान्दै, मध्य वर्ग भित्र रेखीय प्रक्षेपण गर्दछ।
घ. समूह डेटाको मध्यस्थताको उदाहरण
उदाहरणका लागि, निम्न परीक्षण स्कोर डेटा:
| मान अन्तराल | आवृत्ति (f) |
|—|—:|
| ८०–८९ | ५ |
| ८०–८९ | ५ |
| ८०–८९ | ५ |
| ८०–८९ | ५ |
| ८०–८९ | ५ |
१) कुल आवृत्ति:
\[
n = ५+८+१२+१०+५ = ४०
\]
२) n/2 गणना गर्नुहोस्:
\[
n/२ = २०
\]
३) संचयी आवृत्ति:
– ८०–८९: ४०
– ६०–६९: १३+१२ = २५
– ६०–६९: १३+१२ = २५
– ८०–८९: ४०
– ८०–८९: ४०
स्थिति २० पहिलो संचयी स्कोर ≥ २०, अर्थात् ६०–६९ भएको कक्षामा छ। त्यसैले यो मध्य वर्ग हो।
४) घटकहरू निर्धारण गर्नुहोस्:
– L = मध्य वर्गको तल्लो किनारा। अन्तराल ६०–६९ को लागि, तल्लो किनारा ५९.५ हो (यदि डेटा पूर्णांक मान हो भने)।
– F = मध्य वर्ग भन्दा पहिलेको संचयी आवृत्ति = १३
– f = मध्य वर्ग आवृत्ति = १२
– c = कक्षाको लम्बाइ = १०
५) सूत्रमा प्रविष्ट गर्नुहोस्:
\[
म = ५९.५ + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
म = ५९.५ + \left(\frac{7}{12}\right)\times १०
\]
\[
म = ५९.५ + ५.८३३… = ६५.३३३…
\]
त्यसैले समूह डेटाको मध्यक लगभग ६५.३३ छ।
-
४. सामान्य गल्तीहरू
मध्यक गणना गर्दा हुने केही सामान्य गल्तीहरू:
१. एकल डेटाको लागि डेटा क्रमबद्ध नगर्नु, त्यसैले बीचको मान सही छैन।
२. n बराबर हुँदा मध्यकको स्थिति गलत तरिकाले निर्धारण गर्ने (दुई मध्य मानहरूको औसत लिनुपर्छ)।
३. समूह डेटाको लागि, मध्य वर्ग छनौट गर्नु गलत हो किनभने यसले संचयी आवृत्ति सिर्जना गर्दैन।
४. डेटा निरन्तर हुँदा तल्लो किनारा (L) वर्गको तल्लो सीमा प्रयोग गर्ने/अन्तरालहरू पूर्णांकहरू हुन्।
५. कक्षाको लम्बाइ (c) गलत तरिकाले निर्धारण गर्ने, विशेष गरी यदि अन्तरालहरू असंगत छन् भने।
-
५. पेनटअप
मध्यक केन्द्रीय प्रवृत्तिको एक सरल तर शक्तिशाली मापन हो, विशेष गरी जब डेटामा चरम मानहरू हुन्छन्। एकल डेटा सेटहरूको लागि, डेटा क्रमबद्ध गरिसकेपछि मध्यक सिधै मध्यक स्थितिबाट निर्धारण गरिन्छ, डेटा सेटहरूको विषम र सम संख्याहरूको लागि फरक उपचारको साथ। यसैबीच, समूहबद्ध डेटा सेटहरूको लागि, मध्यक वर्ग, संचयी आवृत्ति, र वर्ग लम्बाइमा आधारित इन्टरपोलेसन सूत्र प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ।
अवधारणा र चरणहरू बुझेर, तपाईं सरल डेटा र तालिकाहरूमा संक्षेप गरिएको डेटा दुवैमा द्रुत र सही रूपमा मध्य गणना गर्न सक्नुहुन्छ। धेरै विश्लेषणात्मक परिस्थितिहरूमा, मध्यक मध्यक भन्दा बढी प्रतिनिधि विकल्प हो, विशेष गरी जब डेटा वितरण असममित हुन्छ वा आउटलियरहरू समावेश गर्दछ।
यदि तपाईं चाहनुहुन्छ भने, म एकल र समूह डेटाको मध्यकको बारेमा तपाईंको बुझाइलाई बलियो बनाउन छलफलसँगै अभ्यास प्रश्नहरू पनि थप्न सक्छु।
