यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण - समस्या र समाधानहरू
१. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार, चिल्लो झुकेको समतलको माथिबाट m-kg ब्लक निस्कन्छ । बिन्दु M मा रहेको ब्लकको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा र गतिज ऊर्जा बीचको तुलना...
समाधान
बिन्दु M मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा:
PE M = मिलीग्राम (१/३ घन्टा) = १/३ मिलीग्राम घन्टा
बिन्दु M मा गतिज ऊर्जा:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
१/३ मिलीग्राम : २/३ मिलीग्राम
१२/२४ : १२/३६
1: 2
२. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार, A को उचाइबाट चिप्लिरहेको आइस स्कीयर। यदि प्रारम्भिक वेग = ० र गुरुत्वाकर्षणको कारणले प्रवेग १० ms -२ छ भने, बिन्दु B मा स्कीयरको वेग कति हुनेछ?
ज्ञात:
सुरुवाती वेग (v o ) = ०
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s २
उचाइमा परिवर्तन = ५० मिटर – १० मिटर = ४० मिटर
चाहिएको: बिन्दु B मा स्कीयरको गति
समाधान:
ऊर्जाको यान्त्रिक संरक्षणको सिद्धान्तले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा बताउँछ।
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = बिन्दु B मा सम्भाव्य ऊर्जा (उचाइ = ४० मिटर)
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = बिन्दु B मा गतिज ऊर्जा
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = घ
½ v t २ = (१०)(५०-१०)
½ v t २ = (१०)(४०)
½ बराबर २ = ४००
v t २ = (२)(४००) = ८००
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
३. कुनै वस्तु सुरुवाती गति बिना नै A को बिन्दुबाट चिप्लन थाल्छ। यदि घर्षण बल छैन भने, सबैभन्दा कम बिन्दुमा वस्तुको वेग कति हुन्छ?
ज्ञात:
वस्तुको पिण्ड = m
सुरुवाती वेग (v o ) = ०
उचाइ (घण्टा) = ५ मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s २
चाहिएको: अन्तिम वेग (v t )
समाधान:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (ME 1 ) = बिन्दु A मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (ME 2 ) = गतिज ऊर्जा (KE) = ½ mv t 2
सबैभन्दा कम बिन्दु (v t ) मा वस्तुको वेग कति हुन्छ ?
ऊर्जाको यान्त्रिक संरक्षणको सिद्धान्त लागू गर्दा प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा भन्ने बुझिन्छ।
EM1 = EM2
२०० मिटर = ½ mv t २
२०० = ½ बराबर २
५६ = वी ट २
v t = १० मिटर/सेकेन्ड
४. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार २ किलोग्रामको बल बिन्दु A बाट खस्छ (g = १० ms -२ )। बिन्दु B मा पुगेपछि, गतिज ऊर्जा = सम्भावित ऊर्जाको २ गुणा। पृथ्वीको सतहभन्दा माथि बिन्दु B को उचाइ कति छ?
ज्ञात:
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० मिलिसेकेन्ड -२
बिन्दु A (h A ) को उचाइ = 90 मिटर
चाहिएको: बिन्दु B को उचाइ (h B )
समाधान:
बिन्दु B मा आइपुग्दा, बिन्दु B मा रहेको बलको गतिज ऊर्जा = बिन्दु B मा रहेको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जाको २ गुणा हुन्छ।
EK = २ EP
½ mv २ = २ मिलीग्राम घन्टा B
½ v २ = २ घ बी
v २ = २(२)(१०) घन्टा ख
v २ = ४० घण्टा ख
बिन्दु A बाट मुक्त खसेपछि बिन्दु B मा आइपुग्दा बलको वेग (v) :
v २ = २ घ = २(१०)(९०–घन्टा ख ) = २०(९०–घन्टा ख )
माथिको समीकरणमा v २ लाई यस समीकरणमा v २ ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
v २ = ४० घण्टा ख
२०(९०–घण्टा ख ) = ४० घण्टा ख
१८००–२० घण्टा ख = ४० घण्टा ख
१८०० = ४० घण्टा ख + २० घण्टा ख
१८०० = ६० घण्टा ख
h ख = १८०० / ६०
h B = ३० मिटर
५. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार १ किलोग्रामको बल निस्कन्छ र बिन्दु A बाट बिन्दु C मा सर्छ। यदि गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग = १० ms -२ छ भने, बिन्दु C मा आइपुग्दा बलको गतिज ऊर्जा कति हुन्छ?
ज्ञात:
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s २
उचाइमा परिवर्तन (h) = ०.७५ मिटर
प्रारम्भिक सम्भाव्य ऊर्जा (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
चाहिएको: बिन्दु C मा बलको गतिज ऊर्जा
समाधान:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (ME o ) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (ME t )
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE o ) + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE t ) + अन्तिम गतिज ऊर्जा (KE t )
२४ जुल + ० = ० + केई ट
२४ जुल = KE t
बिन्दु C मा बलको गतिज ऊर्जा = ७.५ जुल।
६. तलको चित्रमा देखाइए अनुसार २ किलोग्रामको बल बिन्दु A बाट निस्कन्छ। वक्र समतल सहज छ। यदि गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग १० ms -२ छ भने , बिन्दु B मा बलको गतिज ऊर्जा कति हुन्छ?
ज्ञात:
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s २
उचाइमा परिवर्तन (h) = १२० सेमी = १.२ मिटर
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = २४ जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
चाहिएको: बिन्दु B मा बलको गतिज ऊर्जा
समाधान:
बिन्दु A मा रहेको यान्त्रिक ऊर्जा (प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा) = बिन्दु B मा रहेको यान्त्रिक ऊर्जा (अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा)
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (ME o ) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (ME t )
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE o ) + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (PE t ) + अन्तिम गतिज ऊर्जा (KE t )
२४ जुल + ० = ० + केई ट
२४ जुल = KE t
बिन्दु C मा बलको गतिज ऊर्जा (KE) = २४ जुल।
७. कुनै वस्तुमा स्थिर यान्त्रिक ऊर्जा, बढी गतिज ऊर्जा र कम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ। त्यो वस्तु...
A. आराम गर्दा
B. माथितिर सर्नुहोस्
C. तलतिर सर्नुहोस्
घ. माथितिर द्रुत गतिमा बढेको
समाधान:
गतिज ऊर्जा बढ्दै गइरहेको छ अर्थात् वस्तुको गति बढ्दै गइरहेको छ र गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा कम छ अर्थात् माटोको सतहबाट वस्तुको उचाइ कम छ। यो तब हुन्छ जब वस्तु निश्चित उचाइबाट तल जमिनमा सर्छ।
गति र गतिज ऊर्जा बीचको सम्बन्ध गतिज ऊर्जा सूत्रद्वारा देखाइएको छ:
KE = ½ mv २
सूत्रको विवरण: KE = गतिज ऊर्जा, m = द्रव्यमान, v = गति
उचाइ र गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा बीचको सम्बन्ध गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा सूत्रद्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ:
PE = mgh
सूत्रको विवरण: PE = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा, m = द्रव्यमान, g = गुरुत्वाकर्षणको प्रवेग, h = उचाइ
सहि उत्तर C हो।
- यान्त्रिक ऊर्जा भनेको के हो?
- उत्तर: यान्त्रिक ऊर्जा भनेको वस्तुको गतिज ऊर्जा र सम्भाव्य ऊर्जाको योगफल हो। गतिज ऊर्जा वस्तुको गतिसँग सम्बन्धित हुन्छ, जबकि सम्भाव्य ऊर्जा यसको स्थिति वा कन्फिगरेसनसँग सम्बन्धित हुन्छ।
- यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको सिद्धान्तले के भन्छ?
- उत्तर: सिद्धान्तले भन्छ कि केवल रूढिवादी बलहरू कार्य गर्ने पृथक प्रणालीमा, कुल यान्त्रिक ऊर्जा स्थिर रहन्छ। यसको अर्थ गतिज र सम्भावित ऊर्जाको योग समयसँगै परिवर्तन हुँदैन।
- रूढिवादी र गैर-रूढिवादी शक्तिहरूले यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणलाई कसरी असर गर्छन्?
- उत्तर: गुरुत्वाकर्षण जस्तै रूढिवादी बलहरूले प्रणालीको कुल यान्त्रिक ऊर्जालाई परिवर्तन गर्दैनन्। तिनीहरूले सम्भावित ऊर्जालाई गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण गर्न सक्छन् वा यसको विपरीत, तर योगफल स्थिर रहन्छ। घर्षण जस्तै गैर-रूढिवादी बलहरूले यान्त्रिक ऊर्जालाई नष्ट गर्न सक्छन्, सामान्यतया यसलाई तापीय ऊर्जामा रूपान्तरण गर्छन्।
- घर्षणसँग सम्बन्धित वास्तविक परिदृश्यहरूमा यान्त्रिक ऊर्जा किन संरक्षित हुँदैन?
- उत्तर: घर्षण एक गैर-रूढीवादी बल हो। वस्तुहरू एकअर्कातिर सर्दा, घर्षणले प्रणालीको केही यान्त्रिक ऊर्जालाई तापीय ऊर्जामा रूपान्तरण गर्छ, जसले गर्दा प्रणालीको कुल यान्त्रिक ऊर्जामा कमी आउँछ।
- घुमिरहेको पेन्डुलममा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण कसरी प्रदर्शन गरिन्छ?
- उत्तर: हावा प्रतिरोध (गैर-रूढिवादी बल) को अभावमा, पेन्डुलम माथितिर घुम्दा, यसको गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। यसको घुमाउरोपनको उच्चतम बिन्दुमा, यसमा अधिकतम सम्भाव्य ऊर्जा र न्यूनतम गतिज ऊर्जा हुन्छ। यो तलतिर फर्कँदा, यो सम्भाव्य ऊर्जा फेरि गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। ऊर्जाका रूपहरू अन्तर्क्रिया भए तापनि कुल यान्त्रिक ऊर्जा स्थिर रहन्छ।
- बाहिरी शक्तिको अनुपस्थितिमा पनि किन उफ्रिने बल अन्ततः स्थिर हुन्छ?
- उत्तर: जब बल उफ्रिन्छ, यसको सबै गतिज ऊर्जा सम्भाव्य ऊर्जामा परिणत हुँदैन। केही ऊर्जा हराउँछ, प्रायः ध्वनिको रूपमा वा बलको विकृतिको रूपमा, र विशेष गरी बलको सामग्री भित्र आन्तरिक घर्षणको कारणले। यी खेलमा गैर-रूढीवादी बलहरूका रूपहरू हुन्, जसले बललाई प्रत्येक उछालसँगै आराममा नआएसम्म यसको यान्त्रिक ऊर्जा घटाउँछ।
- रोलर कोस्टरमा, सबैभन्दा बढी र सबैभन्दा कम यान्त्रिक ऊर्जा कहाँ हुन्छ?
- उत्तर: यदि हामीले हावा प्रतिरोध र घर्षणलाई बेवास्ता गर्यौं भने रोलर कोस्टरको कुल यान्त्रिक ऊर्जा स्थिर रहन्छ। यद्यपि, उच्चतम बिन्दुमा, सम्भाव्य ऊर्जा अधिकतम हुन्छ जबकि गतिज ऊर्जा न्यूनतम हुन्छ। यो तल झर्दै जाँदा, सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ, त्यसैले सबैभन्दा कम बिन्दुमा, गतिज ऊर्जा अधिकतम हुन्छ र सम्भाव्य ऊर्जा न्यूनतम हुन्छ।
- ग्रहहरूको कक्षा बुझ्न यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणले कसरी मद्दत गर्छ?
- उत्तर: सूर्य जस्तै ताराको परिक्रमा गर्ने ग्रहहरूमा गतिज ऊर्जा (आफ्नो गतिको कारणले) र गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (सूर्यको सापेक्षमा यसको स्थितिको कारणले) दुवै हुन्छ। ग्रह सूर्यको नजिक जाँदा, यसको गति बढ्छ, यसको गतिज ऊर्जा बढ्छ जबकि यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा घट्छ, र यसको विपरीत। अन्य बलहरू (अन्य ग्रहहरू जस्तै) नगण्य छन् भनी मान्दै ग्रहको कुल यान्त्रिक ऊर्जा समयसँगै स्थिर रहन्छ।
- स्थिर कक्षमा रहेको उपग्रह पृथ्वीमा किन खस्दैन?
- उत्तर: गुरुत्वाकर्षणको कारणले गर्दा उपग्रह वास्तवमा पृथ्वीतिर तानिएको भए तापनि, यसको अगाडिको गतिज ऊर्जाले यसलाई आफ्नो कक्षामा चलिरहन्छ। यो गतिज ऊर्जा र गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जाको सन्तुलनले उपग्रहलाई स्थिर यान्त्रिक ऊर्जाको साथ स्थिर कक्षामा राख्छ।
- यदि कुनै स्कीयर घर्षणरहित पहाडको टुप्पोबाट आराम गरेर सुरु गर्छिन् र त्यसपछि तल स्की गर्छिन् भने, तल उनको गति पहाडबाट केही तल सुरु भएको गतिको तुलनामा कस्तो हुनेछ?
- उत्तर: घर्षणरहित पहाडमा, स्कीयरको कुल यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षित हुन्छ। यदि उनी माथिबाट सुरु गर्छिन् भने, उनीसँग सुरु गर्नको लागि आधा तल सुरु गर्ने भन्दा बढी सम्भाव्य ऊर्जा हुनेछ। यो सम्भाव्य ऊर्जा तल ओर्लने बित्तिकै पूर्ण रूपमा गतिज ऊर्जामा परिणत हुनेछ। यसरी, यदि उनी माथिबाट सुरु गर्छिन् भने तलबाट छिटो हुनेछिन् यदि उनी आधा तल सुरु गर्छिन् भने भन्दा।
