आर्किमिडीज सिद्धान्त बारे लेख
ठूलो पिण्ड भएको जहाज डुब्दैन, जबकि सानो आकारको ढुङ्गा डुब्न सक्छ। किन त्यस्तो? यदि तपाईंले उछालको अवधारणा र आर्किमिडीजको सिद्धान्त बुझ्नुभयो भने उत्तर सीधा छ।
दैनिक जीवनमा, हामीले पाउँछौं कि तरल पदार्थमा घुसाइएका वस्तुहरू, जस्तै ढुङ्गा, तरल पदार्थमा नभएको वस्तुहरूको तुलनामा कम तौल हुन्छ। तपाईंलाई जमिनबाट ढुङ्गा उठाउन गाह्रो लाग्न सक्छ, तर एउटै ढुङ्गा समुद्री पानीको तलबाट सजिलै उठाइन्छ। यो उछाल बलको कारणले हो। विभिन्न गहिराइमा तरल पदार्थको चापमा भिन्नताका कारण उछाल आउँछ। गहिराइसँगै तरल पदार्थको चाप बढ्छ, तरल पदार्थ जति बाक्लो हुन्छ, तरल पदार्थको चाप त्यति नै बढी हुन्छ। जब कुनै वस्तु तरल पदार्थमा घुसाइन्छ, वस्तुको माथिको तरल पदार्थ र वस्तुको तलको तरल पदार्थ बीचको चापमा भिन्नता हुन्छ। वस्तुको तल रहेको तरल पदार्थको चाप वस्तुको माथिको तरल पदार्थ भन्दा बढी हुन्छ।
चित्रमा, तपाईंले पानीमा तैरिरहेको वस्तु देख्न सक्नुहुन्छ। वस्तुको तल रहेको तरल पदार्थको चाप वस्तुको माथि रहेको तरल पदार्थ भन्दा बढी हुन्छ। यो किनभने वस्तु मुनि रहेको तरल पदार्थको गहिराइ वस्तु माथि रहेको तरल पदार्थ भन्दा बढी हुन्छ (p2 > घ1).
h १ को गहिराइमा तरल पदार्थको चापको मात्रा निम्नानुसार छ:
h १ को गहिराइमा तरल पदार्थको चापको मात्रा निम्नानुसार छ:
F २ = वस्तुको तल रहेको तरल पदार्थले लगाउने बल, F १ = वस्तुको माथि रहेको तरल पदार्थले लगाउने बल, A = वस्तुको सतह क्षेत्रफल
F 2 र F 1 बीचको भिन्नता भनेको वस्तुमा तरल पदार्थले दिने कुल बल हो, जसलाई हामी उछाल बल भनेर चिन्छौं। उछालको मात्रा यस प्रकार छ:
F उछाल = F २ − F १
F उछाल = (ρ gh 2 A) - (ρ gh 1 A)
F उछाल = ρ g A (h 2 − h 1 )
F उछाल = ρ F g A h
F उछाल = ρ F g V
ρ F = तरल पदार्थको घनत्व, g = गुरुत्वाकर्षण प्रवेग, V = तरल पदार्थमा रहेका वस्तुहरूको आयतन
त्यसो भए, हामी माथिको उछाल (F उछाल) को मात्रा बताउने समीकरण लेख्न सक्छौं:
F उछाल = ρ F g V → m = ρ V
F उछाल = m F g
F उछाल = w F
m F g = w F = डुबाइएको वस्तुको आयतन जत्तिकै आयतन भएको तरल पदार्थको तौल।
माथिको समीकरणको आधारमा, हामी भन्न सक्छौं कि उछाल बल विस्थापित भइरहेको तरल पदार्थको तौल बराबर हुन्छ, विस्थापित तरल पदार्थको आयतन तरल पदार्थमा डुबाइएको वस्तुको आयतन बराबर हुन्छ।
यदि वस्तु तरल पदार्थमा घुसाइन्छ, तैरिरहेको हुन्छ, जहाँ घुसाइएको वस्तुको भाग केवल एक भाग मात्र हुन्छ,
त्यसपछि विस्थापित हुने तरल पदार्थको आयतन = तरल पदार्थमा डुबेको वस्तुको भागको आयतन। वस्तु जेसुकै होस् र यसको आकार कस्तो होस्, सबैले एउटै कुरा अनुभव गर्नेछन्। यो आर्किमिडीज (२८७-२१२ ईसा पूर्व) को कार्य परिणाम हो, जसलाई आर्किमिडीजको सिद्धान्त भनिन्छ।
आर्किमिडीजको सिद्धान्तले भन्छ कि:
जब कुनै वस्तुलाई पूर्ण वा आंशिक रूपमा तरल पदार्थमा डुबाइन्छ, तरल पदार्थले वस्तुलाई माथितिरको बल (उत्थान बल) दिन्छ, जहाँ माथितिरको बल (उत्थान बल) को मात्रा विस्थापित हुने तरल पदार्थको तौल बराबर हुन्छ।
आर्किमिडीजको कथा
२८७-२१२ ईसापूर्वको बीचमा बाँचेका आर्किमिडीजलाई राजा हिरोन द्वितीयले राजाको लागि बनाइएको मुकुट शुद्ध सुनको बनेको छ कि छैन भनेर अनुसन्धान गर्न आदेश दिएका थिए। मुकुट शुद्ध सुनको बनेको छ वा मुकुटमा अन्य धातुहरू छन् भनेर पत्ता लगाउन, आर्किमिडीज सुरुमा अलमल्लमा परे। समस्या यो हो कि मुकुटको आकार अनियमित छ र पहिले यसलाई नष्ट गर्न सकिँदैन ताकि मुकुट शुद्ध सुनको बनेको छ वा छैन भनेर निर्धारण गर्न सकियोस्।
मुकुट शुद्ध सुनबाट बनेको छ कि छैन भनेर निर्धारण गर्ने विचार भनेको पहिले मुकुटको तौल निर्धारण गर्नु र त्यसपछि यसलाई सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षणसँग तुलना गर्नु हो। यदि मुकुट शुद्ध सुनबाट बनेको छ भने, मुकुटको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण = सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण।
कुनै वस्तुको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण भनेको हावामा रहेको वस्तुको तौल र वस्तुको आयतन बराबर आयतन भएको पानीको तौल बीचको अनुपात हो। गणितीय रूपमा लेखिएको:
वस्तुहरूको आयतन जत्तिकै आयतन भएको पानीको तौल कसरी निर्धारण गर्ने?
आर्किमिडीजका अनुसार, कुनै वस्तुको आयतन जत्तिकै आयतन भएको पानीको तौल = वस्तु डुब्दा उत्तेजित हुने बलको मात्रा (वस्तुको सम्पूर्ण भाग पानीमा डुबाइन्छ)। यो पानीमा तौल गर्दा हराएको वस्तुको तौल जस्तै हो। त्यसैले:
क्राउनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण निर्धारण गर्न, क्राउनलाई पहिले हावामा तौलिन्छ (हावामा क्राउनको तौल)। त्यसपछि क्राउनलाई पानीमा हालिन्छ र त्यसपछि क्राउनको घटेको तौल प्राप्त गर्न फेरि तौलिन्छ। त्यसैले:
मुकुटको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण प्राप्त गरिसकेपछि, यसलाई सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षणसँग तुलना गरिन्छ। सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण = १९.३। यदि मुकुटको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण = सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण हो भने, मुकुट शुद्ध सुनबाट बनेको हुन्छ। तर यदि मुकुट शुद्ध सुनबाट बनेको छैन भने, मुकुटको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण सुनको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण जस्तै हुँदैन।
जहाज किन डुब्दैन?
यदि कुनै वस्तुको घनत्व पानीको घनत्व भन्दा सानो छ भने, वस्तु तैरनेछ। यसको विपरीत, यदि कुनै वस्तुको घनत्व पानीको घनत्व भन्दा बढी छ भने, वस्तु डुब्नेछ। धेरैजसो जहाजहरू फलाम र इस्पातबाट बनेका हुन्छन्। फलाम र इस्पातको घनत्व = ७.८ x १० ३ किलोग्राम /मीटर ३ जबकि पानीको घनत्व = १.०० x १० ३ किलोग्राम/मीटर ३। यस्तो देखिन्छ कि फलाम र इस्पातको घनत्व पानीको घनत्व भन्दा बढी छ। यस अवस्थामा, फलाम र इस्पातको विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण = ७.८। जहाज डुब्नु पर्छ। जहाज किन डुब्दैन? जहाजको कुल घनत्व पानी वा समुद्री पानीको घनत्व भन्दा सानो छ।
उदाहरण समस्या १:
४० किलोग्राम तौल भएको ढुङ्गा एउटा पोखरीको फेदमा छ। यदि ढुङ्गाको आयतन = ०.२ वर्गमिटर छ भने, ढुङ्गा उठाउन आवश्यक पर्ने न्यूनतम बल कति हुन्छ?
ज्ञात:
ढुङ्गाको पिण्ड (m) = ४० किलोग्राम
ढुङ्गाको आयतन (V) = ०.०२ m ३
पानीको घनत्व = १००० किलोग्राम/वर्गमिटर ३
गुरुत्वाकर्षणको प्रवेग (g) = १० m/s २
चाहिएको: न्यूनतम F
समाधान:
F उछाल = w F
F उछाल = m F g → m = pV
F उछाल = ρ F g V
F उछाल = (१००० किलोग्राम/मीटर ३ )(१० मिटर/सेकेन्ड २ )(०.०२ मिटर ३ )
F उछाल = २०० किलोग्राम m/s २
F उछाल = २०० N
ढुङ्गाको तौल (w) = मिलीग्राम
ढुङ्गाको तौल = (४० किलोग्राम)(१० मिटर/सेकेन्ड २ )
ढुङ्गाको तौल = ४०० किलोग्राम m/s २
ढुङ्गाको तौल = ४०० नाइट्रेट
ढुङ्गा उठाउन आवश्यक पर्ने न्यूनतम बल :
ढुङ्गाको तौल – उछाल बल = ४०० N – २०० N = २०० N
उदाहरण समस्या १:
पानीमा वस्तुको तौल = ५००० किलोग्राम वर्गमिटर/सेकेन्ड २ र पानीमा वस्तुको तौल = ४००० किलोग्राम वर्गमिटर/सेकेन्ड २। यदि वस्तुको घनत्व = २००० किलोग्राम वर्गमिटर ३ छ भने , वस्तुको पिण्ड र आयतन कति हुन्छ? g = १० वर्गमिटर २
समाधान
गुरुत्वाकर्षणको प्रवेग (g) = १० m/s २
वस्तुको घनत्व = २००० किलोग्राम/वर्गमिटर ३
पानीको घनत्व = १००० किलोग्राम/वर्गमिटर ३
हावामा वस्तुको तौल = ५००० किलोग्राम m/s २
पानीमा वस्तुको तौल = ४००० किलोग्राम m/s २
उछाल बल (F उछाल) = हावामा वस्तुको तौल - पानीमा वस्तुको तौल
F उछाल = ५००० किलोग्राम m/s २ – ४००० किलोग्राम m/s २
F उछाल = १००० किलोग्राम m/s २
F उछाल = विस्थापित पानीको भार
F उछाल = (पानीको पिण्ड)(g)
F उछाल = (विस्थापित पानीको आयतन) (पानीको घनत्व) (g)
विस्थापित पानीको आयतन = पानीमा रहेको वस्तुको आयतन
वस्तुको आयतन = ०.१ मिटर ३
वस्तुको पिण्ड = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000 kg / m 3 ) (0.1 m 3 )
m = २०० किलोग्राम
वस्तुको पिण्ड = २०० किलोग्राम
उदाहरण समस्या १:
यदि एउटा बेलुनले ५०० किलोग्राम भार उठाउनु पर्छ भने कति परिमाणको हेलियम चाहिन्छ?
समाधान:
हेलियमको घनत्व = ०.१७८६ किलोग्राम/वर्गमिटर ३
हावाको घनत्व = १.२९३ किलोग्राम/वर्गमिटर ३
उतारचढाव बल = विस्थापित हावाको तौल = वस्तुको तौल + हेलियमको तौल
उतारचढाव बल = वस्तुको तौल + हेलियमको तौल
उतारचढाव बल = (भारको द्रव्यमान)(g) + (हिलियमको द्रव्यमान)(g)
उछाल बल = (भारको द्रव्यमान + हेलियमको द्रव्यमान) g —- समीकरण १
उतारचढाव बल = विस्थापित हावाको भार
उछाल बल = (विस्थापित हावाको पिण्ड)(g) —- समीकरण २
हामी समीकरण १ र समीकरण २ लाई संयोजन गर्छौं:
(भारको द्रव्यमान + हेलियमको द्रव्यमान)(g) = (विस्थापित हावाको द्रव्यमान)(g)
भारको द्रव्यमान + हेलियमको द्रव्यमान = विस्थापित हावाको द्रव्यमान
५०० किलोग्राम + (ρ हेलियम)(V हेलियम) = (ρ पानी)(V पानी)
५०० किलोग्राम = (ρ पानी)(V पानी) – (ρ हेलियम)(V हेलियम)
विस्थापित हावाको आयतन (V वायु) = बेलुनमा रहेको हेलियमको आयतन (V हीलियम)
500 kg = (ρ पानी - ρ हीलियम) (V)
यो पृथ्वीको सतहमा तौल उठाउन आवश्यक पर्ने हेलियमको न्यूनतम आयतन हो। बेलुन माथि तैरिनका लागि, हेलियमको आयतन थप्नु आवश्यक छ। हावाको घनत्व उचाइसँगै घट्दै जाने भएकाले हेलियमको आयतन बढाउनु पर्छ।
