यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम

कार्य-गतिज ऊर्जा प्रमेय बताउँछ कि कुनै वस्तुमा कुल बलले गरेको कुल काम वा प्रयास वस्तुको गतिज ऊर्जामा भएको परिवर्तन बराबर हुन्छ। यदि कुल बलले सकारात्मक काम गर्छ (कुल बल विस्थापनको दिशामा हुन्छ), भने वस्तुको गतिज ऊर्जा बढ्छ। यसको विपरीत, यदि कुल बलले नकारात्मक काम गर्छ (कुल बल विस्थापनको विपरीत दिशामा हुन्छ), भने वस्तुको गतिज ऊर्जा घट्छ।

W_कुल = एके₂ - इके₁ = ½ मिलिमिटर₂² – ½ माइक्रोभिट₁²

यदि मात्र रूढिवादी शैली केवल ती जो वस्तुमा काम गर्छन् जस्तै अवस्थामा स्वतन्त्र रूपमा खस्ने वस्तुहरू, त्यसपछि कुल बल रूढिवादी बल बराबर हुन्छ। कार्य-गतिज ऊर्जा प्रमेय कथनलाई कुल कार्यमा रूपान्तरण गर्न सकिन्छ, वा रूढिवादी बलले गरेको काम गतिज ऊर्जामा परिवर्तन बराबर हुन्छ। यदि रूढिवादी बलले सकारात्मक काम गर्छ (रूढिवादी बल विस्थापनको दिशामा हुन्छ), तब वस्तुको गतिज ऊर्जा बढ्छ। यसको विपरीत, यदि रूढिवादी बलले नकारात्मक काम गर्छ (रूढिवादी बल विस्थापनको विपरीत दिशामा हुन्छ), तब वस्तुको गतिज ऊर्जा घट्छ।

W_c = एके₂ - इके₁ = ½ मिलिमिटर₂² – ½ माइक्रोभिट₁²

कुनै वस्तुमा रूढिवादी बलले गर्ने काम वस्तुको सम्भाव्य ऊर्जामा हुने नकारात्मक परिवर्तन बराबर हुन्छ। यदि रूढिवादी बलले सकारात्मक काम गर्छ भने, सम्भाव्य ऊर्जा घट्छ। यसको विपरीत, यदि रूढिवादी बलले नकारात्मक काम गर्छ भने, सम्भाव्य ऊर्जा बढ्छ।

W_c = – (इपी₂ - इपी₁) = – मिलीग्राम (घण्टा₂ - h₁) = – मघ₂ + मघ₁ = मघ₁ - मघ₂

अघिल्लो समीक्षाको आधारमा, कुनै वस्तुमा रूढिवादी बलले गरेको काम र वस्तुको गतिज र सम्भावित ऊर्जामा हुने परिवर्तनहरू बीच सम्बन्ध देखिन्छ। यदि रूढिवादी बलले सकारात्मक काम गर्छ भने, गतिज ऊर्जा बढ्छ, जबकि सम्भावित ऊर्जा घट्छ। यदि रूढिवादी बलले नकारात्मक काम गर्छ भने, गतिज ऊर्जा घट्छ, जबकि सम्भावित ऊर्जा बढ्छ।

 W_c = डब्ल्यू_c

EK₂ - इके₁ = ईपी₁ - इपी₂

EP₁ + इके₁ = ईपी₂ + इके₂

EM₁ = ईएम₂

जानकारी:

EM₁ = प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा, EM₂ = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा, EP₁ = प्रारम्भिक सम्भाव्य ऊर्जा, EP₂ = अन्तिम सम्भाव्य ऊर्जा, EK₁ = प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा, EK₂ = अन्तिम गतिज ऊर्जा

समस्याहरूको उदाहरण

1. चिल्लो झुकाव भएको समतलको माथि (A मा) कुनै प्रारम्भिक वेग बिना नै ब्लक छोडिन्छ। ब्लक झुकावको तल (E मा) सर्छ।

यदि AB = BC = CD = DE हो भने, C, D र E मा ब्लकहरूको गतिको अनुपात... हो।

छलफल

यो ज्ञात छ:

AB + BC + CD + DE = १

१/४ + १/४ + १/४ + १/४ = १

सोधियो: C, D र E मा ब्लकहरूको गतिको तुलना।

उत्तर:

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले बताउँछ कि प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा

माथिल्लो भागमा, ब्लक आराममा छ, त्यसैले यसको गतिज ऊर्जा शून्य छ र यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा अधिकतम छ। यो माथिबाट झुकावको तल सर्दै जाँदा, यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा घट्दै जान्छ र गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। जब यो झुकावको तल पुग्छ, यसको गतिज ऊर्जा अधिकतम हुन्छ र यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा शून्य हुन्छ।

बिन्दु A मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg

बिन्दु A मा गतिज ऊर्जा = १/२ mv² = १/२ मिटर (०²) = 0

बिन्दु B मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg

बिन्दु B मा गतिज ऊर्जा = १/२ mv²

बिन्दु C मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg

बिन्दु C मा गतिज ऊर्जा = १/२ mv²

बिन्दु D मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg

बिन्दु D मा गतिज ऊर्जा = १/२ mv²

बिन्दु E मा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = mg (0) = 0

बिन्दु E मा गतिज ऊर्जा = १/२ mv²

बिन्दु A मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = ४/४ मिलीग्राम + ० = ४/४ मिलीग्राम = मिलीग्राम

बिन्दु B मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = 3/4 mg + 1/2 mv²

बिन्दु C मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = २/४ मिलीग्राम + १/२ mv²

बिन्दु D मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = १/४ मिलीग्राम + १/२ mv²

बिन्दु E मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = ० + १/२ mv² = १/२ मिलिभेट²

C मा ब्लकको गति:

बिन्दु C मा यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (स्थिर यान्त्रिक ऊर्जा)

२/४ मिलीग्राम + १/२ मिलीग्राम² = ४/४ मिलीग्राम

१/२ एमभी² = ४/४ मिलीग्राम – २/४ मिलीग्राम

१/२ एमभी² = ४/४ मिलीग्राम

१/२ एमभी² = ४/४ मिलीग्राम

mv² = मिलीग्राम

v² = छ

v = √ग्राम

D मा ब्लकको गति:

बिन्दु D मा यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (स्थिर यान्त्रिक ऊर्जा)

२/४ मिलीग्राम + १/२ मिलीग्राम² = ४/४ मिलीग्राम

१/२ एमभी² = ४/४ मिलीग्राम – २/४ मिलीग्राम

१/२ एमभी² = ४/४ मिलीग्राम

२५/१५ भोल्ट² = ३/४ ग्राम

v² = २ (३/४) ग्राम

v² = (६/४) ग्राम

v² = (६/४) ग्राम

v² = १.५ ग्राम

v = √१.५ ग्राम

E मा ब्लकको गति:

बिन्दु E मा यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (स्थिर यान्त्रिक ऊर्जा)

१/२ एमभी² = मिलीग्राम

२५/१५ भोल्ट² = छ

v² = १.५ ग्राम

v = √१.५ ग्राम

C, D र E मा ब्लकहरूको गतिको तुलना:

√छ: √१.५ ग्राम: √२ ग्राम

√१ : √१.५ : √२ (२ ले गुणन गर्नुहोस्)

√२ : √३ : √४

√२ : √३ : २

2. धेरै राम्रो छ!

बिन्दु A बाट दुई वस्तुहरू ट्र्याकमा ओर्लिन्छन्। पहिलो वस्तुको पिण्ड m हो।₁ = ५ किलोग्राम र दोस्रो वस्तु m₂ = १५ किलोग्राम। यदि गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग g = १० मिलिसेकेन्ड हो भने^-2, त्यसपछि गतिज ऊर्जाको अनुपात Ek₁ : एक₂ बिन्दु B मा छ...

क. २:३

ख. ३:२

ग. ४:९

घ. ९:४

ङ. १०० : ६१

छलफल

यो ज्ञात छ कि:

वस्तुको पिण्ड १ (मि.₁) = ४ किलोग्राम

वस्तुको पिण्ड १ (मि.₂) = ४ किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²

बिन्दु A र B बीचको दूरी (h) = ४० मिटर – ३० मिटर = १० मिटर

सोधियो: गतिज ऊर्जाको तुलना Ek₁ : एक₂ बिन्दु B मा

उत्तरहरू:

A मा रहेको वस्तुको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा बिन्दु B बाट मापन गरिन्छ:

EP₁ = m₁ घ = (५ किलोग्राम)(१० मि/सेकेन्ड)²)(१० मिटर) = ५०० जुल

EP₂ = m₂ घ = (५ किलोग्राम)(१० मि/सेकेन्ड)²)(१० मिटर) = ५०० जुल

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले बताउँछ कि प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा

EP₁ = एके₁

५०० जुल = EK₁

EP₂ = एके₂

५०० जुल = EK₂

EK₁ : एके₂

500: 1500

5: 15

1: 3

सही उत्तर B हो।

3. तस्वीर हेर त!

m द्रव्यमान भएको मार्बल बिन्दु A बाट प्रारम्भिक वेग बिना नै चिल्लो अर्धवृत्ताकार समतलमा गुड्छ। बिन्दु B मा मार्बलको वेग...

A. २ मिलिसेकेन्ड^-1

B. 2√√ मि.सेकेन्ड^-1

C. √10 मि.सेकेन्ड^-1

D. 2√√ मि.सेकेन्ड^-1

E. √5 मि.सेकेन्ड^-1

छलफल

यो ज्ञात छ कि:

बिन्दु A र B (h) बीचको उचाइको भिन्नता = ४ मिटर – २ मिटर = २ मिटर

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²

मार्बलको पिण्ड (m) = m

सोधियो: बिन्दु B मा मार्बलको गति

उत्तरहरू:

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = बिन्दु A मा यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा = mgh = (m)(10)(2) = 20m

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = बिन्दु B मा यान्त्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा = १/२ mv²

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा

२० मिटर = १/२ मिलिभ्वाट²

२८ = १/२ बराबर²

२ (२८) = v²

२ = वी²

v = √√

v = √(४)(१०)

v = २√१० मिटर/सेकेन्ड

सही उत्तर B हो।

4। Sतलको चित्रमा देखाइएझैं एउटा बल चिप्लो बाटोमा सर्छ।

यदि बिन्दु A मा बलको गति 6 ms छ भने^-1, बिन्दु B मा छ √६५ मिलिसेकेन्ड^-1, र g = १० मिलिसेकेन्ड^-2, त्यसपछि ट्र्याकको तलबाट बिन्दु B को उचाइ… हुन्छ।

A. १०० मिटर

B. 0,5√2 m

C. १७५ मिटर

D. √2 m

पूर्व. ३०० मिटर

छलफल

यो ज्ञात छ कि:

बिन्दु A (v) मा बलको गति_A) = १ मिलिसेकेन्ड^-1

बिन्दु B (v) मा बलको गति_B) = √६५ मिलिसेकेन्ड^-1

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० मिलिसेकेन्ड^-2

उचाइ A (घन्टा)_A) = २.५ मिटर

उचाइ B (h_B) = घन्टा

सोधियो: Kट्र्याकको तलबाट बिन्दु B को उचाइ

उत्तरहरू:

ट्रयाक चिप्लो छ, त्यसैले त्यहाँ घर्षण छैन। त्यसकारण, वस्तुमा काम गर्ने एक मात्र बल गुरुत्वाकर्षण हो। गुरुत्वाकर्षण एक रूढिवादी बल हो। रूढिवादी बलले गर्ने काम ट्रयाकको आकारमा निर्भर गर्दैन बरु स्थिति परिवर्तनमा निर्भर गर्दछ।

त्यसैले हामी गणना गर्न सक्छौं ट्र्याकको तलबाट बिन्दु B को उचाइ यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमको सूत्र प्रयोग गर्दै।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा

जब बिन्दु A मा, बल अझै चलिरहेको छैन, त्यसैले यसको वेग शून्य हुन्छ। बलको वेग शून्य हुन्छ, त्यसैले यसको गतिज ऊर्जा शून्य हुन्छ। गतिज ऊर्जा: EK = 1/2 mv² = १/२ मिटर (०) = ०.

तर बल अग्लो छ। आधारबाट ५.६ मिटर टाढा भएकोले बलमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ। गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा: EP = mgh = m (१०)(५.६) = ५६ मिटर

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = ५६ मिटर + ० = ५६ मिटर

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

जब बिन्दु B मा, बलको उचाइ h छ। Eगुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा: EP = mgh = m (१०) h = १० mh

बिन्दु B बिन्दु A भन्दा धेरै तल छ त्यसैले बल अझै पनि निश्चित गतिमा चलिरहेको छ। बल अझै पनि निश्चित गतिमा चलिरहेको छ त्यसैले बलमा गतिज ऊर्जा छ। गतिज ऊर्जा: EK = 1/2 mv² = १/२ मिटर (√92)² = १/२ मिटर (९२) = ४६ मिटर

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = १० mh + ४६ m = m (१० h + ४६)

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा

५६ मि = मि (१० घण्टा + ४६)

५६ = १० घन्टा + ४६

५६ – ४६ = १० घण्टा

९०० = १९.६ घन्टा

h = १०/१० = १ मिटर

सही उत्तर C हो।

प्रश्न स्रोत:

सिनियर हाई स्कूल/भोकेसनल हाई स्कूलको लागि राष्ट्रिय परीक्षा भौतिकशास्त्र प्रश्नहरू