भेक्टरहरू र तिनीहरूको सञ्चालनको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
भेक्टरहरू गणित र भौतिकशास्त्रमा एक आधारभूत अवधारणा हो, जुन विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रहरूमा बारम्बार प्रयोग गरिन्छ। भेक्टरहरूले परिमाण र दिशा दुवै भएका परिमाणहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्छन्। तल भेक्टरहरूसँग सम्बन्धित केही उदाहरण समस्याहरू र स्केलरहरूद्वारा जोड, घटाउ, र गुणन जस्ता विभिन्न कार्यहरूको छलफलहरू छन्। यस लेखले भेक्टरहरूसँग सम्बन्धित समस्याहरू कसरी समाधान गर्ने भन्ने बारे गहन बुझाइ प्रदान गर्नेछ।
१. भेक्टर थप
उदाहरण प्रश्न ३
घटक रूपमा दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
क = (३, ४)
ख = (१, २)
भेक्टर A र B थप्दाको परिणाम गणना गर्नुहोस्।
छलफल
दुई भेक्टरहरूको सम्बन्धित घटकहरू थपेर भेक्टर जोड गरिन्छ। यसरी, हामी गणना गर्न सक्छौं
\[
A + B = (३ + १, ४ + २) = (४, ६)
\]
त्यसैले, A र B भेक्टरहरू थप्दाको परिणाम (4, 6) हुन्छ।
२. भेक्टर घटाउ
उदाहरण प्रश्न ३
घटक रूपमा दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
C = (५, ७)
घ = (२, ३)
भेक्टर D बाट भेक्टर C घटाउने परिणाम गणना गर्नुहोस्।
छलफल
भेक्टर घटाउ दुई भेक्टरहरूको सम्बन्धित घटकहरू घटाएर गरिन्छ। यसरी, हामी गणना गर्न सक्छौं
\[
C – D = (५ – २, ७ – ३) = (३, ४)
\]
त्यसैले, भेक्टरहरू C र D घटाउँदाको परिणाम (3, 4) हुन्छ।
३. स्केलरद्वारा भेक्टरहरूको गुणन
उदाहरण प्रश्न ३
भेक्टर E = (4, -2) र स्केलर k = 3 दिइएको छ। भेक्टर E लाई स्केलर k ले गुणन गर्दाको परिणाम गणना गर्नुहोस्।
छलफल
भेक्टरको स्केलरले गुणन गर्दा भेक्टरको प्रत्येक घटकलाई स्केलरले गुणन गरिन्छ। यसरी, हामी गणना गर्न सक्छौं
\[
k E = 3 (4, -2) = (3 4, 3 -2) = (12, -6)
\]
त्यसैले, भेक्टर E लाई स्केलर k ले गुणन गर्दाको परिणाम (12, -6) हुन्छ।
४. डट उत्पादन
उदाहरण प्रश्न ३
घटक रूपमा दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
F = (१, ३)
G = (४, २)
भेक्टर F र G को डट गुणन गणना गर्नुहोस्।
छलफल
दुई भेक्टरहरूको डट गुणनफल तिनीहरूको सम्बन्धित घटकहरूको गुणनको योगफल हो। यसरी, हामी गणना गर्न सक्छौं
\[
F \cdot G = (१ ४) + (३ २) = ४ + ६ = १०
\]
त्यसैले, भेक्टर F र G को डट गुणनफल १० हो।
५. क्रस उत्पादन
उदाहरण प्रश्न ३
3D मा दुई भेक्टरहरू दिइएका छन्:
H = (२, -३, १)
म = (१, ४, -२)
भेक्टर H र I को क्रस गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल
दुई त्रि-आयामी भेक्टरहरूको क्रस गुणनफल दुवै भेक्टरका घटकहरू भएको म्याट्रिक्सको निर्धारकद्वारा उत्पादन गरिन्छ। परिणामस्वरूप भेक्टरमा निम्न घटकहरू हुन्छन्:
\[
H \पटक I = \सुरु{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
० र -२ र ० \\
४ र १ र -२ \\
\अन्त{vmatrix}
\]
निर्धारक गणना गरेर, हामी पाउँछौं:
\[
H \पटक I = (\mathbf{i}((-3)(-2) – (1)(4)) – \mathbf{j}(2(-2) – (1)(1)) + \mathbf{k}(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 - 4) - \mathbf{j}(-4 - 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (२, ५, ११)
\]
त्यसैले, भेक्टर H र I को क्रस गुणनफल (2, 5, 11) हो।
६. भेक्टरको लम्बाइ वा परिमाण
उदाहरण प्रश्न ३
भेक्टर J = (6, 8) दिइएको छ। भेक्टर J को लम्बाइ (परिमाण) गणना गर्नुहोस्।
छलफल
भेक्टरको लम्बाइ (परिमाण) सूत्र प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ:
\[
\| J \| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
यस अवस्थामा, \( x = 6 \) र \( y = 8 \), ताकि:
\[
\| जे \ | = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
त्यसैले, भेक्टर J को लम्बाइ (परिमाण) १० हो।
७. युनिट भेक्टर
उदाहरण प्रश्न ३
दिइएको भेक्टर K = (-5, 12)। K को एकाइ भेक्टर पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल
एकाइ भेक्टर भनेको १ लम्बाइ भएको भेक्टर हो। भेक्टरको एकाइ भेक्टर पत्ता लगाउन, हामीले भेक्टरको प्रत्येक घटकलाई भेक्टरको लम्बाइ (परिमाण) ले भाग गर्नुपर्छ। भेक्टर K को लम्बाइ यसरी गणना गर्न सकिन्छ:
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
त्यसपछि एकाइ भेक्टर K हो:
\[
\टोपी{K} = \बायाँ(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\दायाँ)
\]
त्यसैले, भेक्टर K को एकाइ भेक्टर \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\) हो।
केसिम्पुलन
माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामीले विभिन्न सन्दर्भहरूमा भेक्टरहरू र तिनीहरूको सञ्चालन कसरी काम गर्छ भनेर देखेका छौं। भेक्टर जोड र घटाउमा सम्बन्धित घटकहरू थप्ने र घटाउने समावेश छ। भेक्टर गुणन स्केलर वा डट उत्पादन रूपमा गर्न सकिन्छ, र 3D भेक्टरहरूको लागि क्रस उत्पादन रूपमा पनि गर्न सकिन्छ। हामी भेक्टरको लम्बाइ पनि निर्धारण गर्न सक्छौं र यसको एकाइ भेक्टर फेला पार्न सक्छौं।
यी आधारभूत अवधारणाहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ किनभने भेक्टरहरू भौतिक विज्ञान, इन्जिनियरिङ, र कम्प्युटर ग्राफिक्स सहित विभिन्न क्षेत्रहरूमा असंख्य अनुप्रयोगहरूमा प्रयोग गरिन्छ। पर्याप्त अभ्यासको साथ, हामी यी अपरेशनहरूमा निपुण हुन सक्छौं र तिनीहरूलाई थप जटिल विश्लेषण र समस्या समाधानमा लागू गर्न सक्छौं।
