समूह डेटाको भिन्नता र मानक विचलनको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
पेन्डाहुलुआन
तथ्याङ्कमा, भिन्नता र मानक विचलन दुई सांख्यिकीय मापनहरू हुन् जुन माध्यबाट डेटाको फैलावट, वा प्रसार बुझ्नको लागि महत्त्वपूर्ण छन्। भिन्नताले डेटा माध्यबाट कति टाढा फैलिएको छ भनेर मापन गर्दछ, जबकि मानक विचलन भिन्नताको वर्गमूल हो, जसले मूल डेटा जस्तै एकाइहरूमा मापन प्रदान गर्दछ।
परिभाषा
– भिन्नता (σ² वा S²): प्रत्येक डेटा मान र डेटाको माध्य बीचको भिन्नताको वर्गहरूको औसत हो।
– मानक विचलन (σ वा S): भिन्नताको वर्गमूल हो।
समूह डेटाको भिन्नता र मानक विचलनको लागि सूत्र
समूह डेटाको लागि, हामी प्रत्येक कक्षामा डेटाको आवृत्ति प्रयोग गर्छौं। यहाँ सूत्र छ:
भेरियन
\[ S^2 = \frac{ \योगफल f_i \बायाँ( x_i – \bar{x} \दायाँ)^2 }{ N-1 } \]
मानक विचलन
\[ S = \sqrt{S^2} \]
कहाँ:
– \( f_i \) = प्रत्येक कक्षाको आवृत्ति।
– \( x_i \) = प्रत्येक कक्षाको मध्यबिन्दु।
– \( \bar{x} \) = समूह डेटाको औसत।
– \( N \) = कुल डेटा संख्या।
नमुना प्रश्न र छलफल
मानौं हामीसँग वर्गहरूमा समूहबद्ध मानिसहरूको समूहको तौल डेटा छ।
| तौल अन्तराल (किग्रा) | आवृत्ति (च) |
|————————|————–|
| ७० – ७४ | ३ |
| ७० – ७४ | ३ |
| ७० – ७४ | ३ |
| ७० – ७४ | ३ |
| ७० – ७४ | ३ |
पहिलो चरण भनेको प्रत्येक वर्गको मध्यबिन्दु ( \( x_i \) ) निर्धारण गर्नु हो र त्यसपछि मध्य (\( \bar{x} \)) गणना गर्नु हो।
१. मध्यबिन्दु गणना गर्दै ( \( x_i \) )
\[ \text{मध्यबिन्दु} = \frac{\text{तल्लो सीमा} + \text{माथिल्लो सीमा}}{2} \]
| तौल अन्तराल (किग्रा) | आवृत्ति (f) | मध्यबिन्दु ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| ७० – ७४ | ३ | ७२ |
| ७० – ७४ | ३ | ७२ |
| ७० – ७४ | ३ | ७२ |
| ७० – ७४ | ३ | ७२ |
| ७० – ७४ | ३ | ७२ |
२. औसत गणना गर्दै ( \( \bar{x} \) )
\[ \बार{x} = \फ्राक{ \योगफल f_i x_i }{N } \]
कुल डेटा संख्या \( N \):
\[ N = २ + ५ + ८ + ७ + ३ = २५ \]
\[ \योगफल f_i x_i = (२ \गुणा ५२) + (५ \गुणा ५७) + (८ \गुणा ६२) + (७ \गुणा ६७) + (३ \गुणा ७२) \]
\[ = १०४ + २८५ + ४९६ + ४६९ + २१६ = १५७० \]
त्यसैले, औसत (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ १५७० }{ २५ } = ६२.८ \]
३. भिन्नता गणना गर्दै (\( S^2 \) )
हामीले \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) गणना गर्नु पर्छ:
\[
\begin{align} सुरु गर्नुहोस्
(x_i – \bar{x})^२: र (५२ – ६२.८)^२ = ११८.८४ \\
& (६७ – ६२.८)^२ = १७.६४ \\
& (६७ – ६२.८)^२ = १७.६४ \\
& (६७ – ६२.८)^२ = १७.६४ \\
& (७२ – ६२.८)^२ = ८४.६४
\अन्त्य{पङ्क्तिबद्ध गर्नुहोस्}
\]
आवृत्ति द्वारा गुणन:
\[
\begin{align} सुरु गर्नुहोस्
f_i (x_i – \bar{x})^2: र २ \गुणा ११८.८४ = २३७.६८ \\
& ५ \ गुणा ३३.६४ = १६८.२ \
& ८ \गुणा ०.६४ = ५.१२ \
& ७ \ गुणा १७.६४ = १२३.४८ \
र ३ \ गुणा ८४.६४ = २५३.९२
\अन्त्य{पङ्क्तिबद्ध गर्नुहोस्}
\]
\[
\योगफल f_i (x_i – \bar{x})^२ = २३७.६८ + १६८.२ + ५.१२ + १२३.४८ + २५३.९२ = ७८८.४
\]
अब हामी भिन्नता (\( S^2 \)) गणना गर्न सक्छौं:
\[ S^2 = \frac{ ७८८.४ }{ २५ – १ } = \frac{ ७८८.४ }{ २४ } \लगभग ३२.८५ \]
४. मानक विचलन गणना गर्दै (\( S \) )
मानक विचलन ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ ३२.८५ } \लगभग ५.७३ \]
केसिम्पुलन
माथिको उदाहरण डेटाबाट, हामीसँग छ:
- औसत शरीरको तौल गणना गर्दै: ६२.८ किलोग्राम
- भिन्नता गणना गर्दै: ३२.८५ किलोग्राम²
- मानक विचलन गणना गर्दै: ५.७३ किलोग्राम
मानक विचलनको व्याख्या यो हो कि औसतबाट तौल डेटाको औसत विचलन लगभग ५.७३ किलोग्राम हुन्छ। यसले औसतको सापेक्षमा डेटाको फैलावटलाई संकेत गर्दछ, जसले हाम्रो डेटा कति परिवर्तनशील छ भनेर अनुमान गर्न मद्दत गर्न सक्छ।
तथ्याङ्क, अनुसन्धान र परीक्षणमा काम गर्नेहरूका लागि, विशेष गरी तथ्याङ्क, अनुसन्धान र परीक्षणमा काम गर्नेहरूका लागि भिन्नता र मानक विचलनको पूर्ण बुझाइ महत्त्वपूर्ण छ, किनकि उनीहरूले समूह वा वितरणको रूपमा डेटा बुझ्ने प्रयास गर्छन्। यी दुई मापनहरू कसरी गणना र व्याख्या गर्ने भनेर जान्दा हातमा रहेको डेटाको आधारमा राम्रो निर्णय लिने कार्यमा मद्दत गर्न सक्छ।
