रेखीय समीकरण प्रणालीमा छलफल प्रश्नको उदाहरण
रेखीय समीकरण प्रणाली (SLE) माध्यमिक र तृतीयक दुवै तहमा गणितमा प्रायः सिकाइने आधारभूत अवधारणा हो। भौतिक विज्ञान र अर्थशास्त्रदेखि इन्जिनियरिङसम्म विभिन्न क्षेत्रहरूमा यसको व्यापक प्रयोगको कारणले गर्दा SLE मा निपुणता हासिल गर्नु महत्त्वपूर्ण छ। यस लेखमा, हामी रेखीय समीकरण प्रणाली र तिनीहरूका समाधानहरूका धेरै उदाहरणहरू छलफल गर्नेछौं। हामी बुझ्न सजिलो बनाउन प्रतिस्थापन, उन्मूलन, र म्याट्रिक्स विधिहरू प्रयोग गर्नेछौं।
नमुना प्रश्न र छलफल
उदाहरण प्रश्न १: प्रतिस्थापन विधि
प्रश्न:
प्रतिस्थापन विधि प्रयोग गरेर निम्न समीकरण प्रणाली समाधान गर्नुहोस्:
१. \(२x + ३y = ८\)
२. \(x – २y = -३\)
समाधान:
१. पहिलो चरण भनेको कुनै एक चरको समीकरण समाधान गर्नु हो। उदाहरणका लागि, हामी \(x\) को लागि दोस्रो समीकरण समाधान गर्न सक्छौं:
\[ x – २y = -३ \]
\[ x = २y – ३ \]
२. पहिलो समीकरणमा \(x = 2y – 3\) लाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ २(२y – ३) + ३y = ८ \]
\[ ४ वर्ष – ६ + ३ वर्ष = ८ \]
\[ ७ वर्ष – ६ = ८ \]
\[ ७ वर्ष = १४ \]
\[ वाई = २ \]
३. अब, \(y = 2\) लाई समीकरण \(x = 2y – 3\) मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ x = २(२) – ३ \]
\[ x = ४ – ३ \]
\[ x = २ \]
त्यसैले, समीकरण प्रणालीको समाधान \( x = 1 \) र \( y = 2 \) हो।
उदाहरण प्रश्न २: उन्मूलन विधि
प्रश्न:
उन्मूलन विधि प्रयोग गरेर निम्न समीकरण प्रणाली समाधान गर्नुहोस्:
१. \(२x + ३y = ८\)
२. \(५x – y = ९\)
समाधान:
१. पहिलो चरण भनेको दुवै समीकरणहरूमा चरहरू मध्ये एकको गुणांक समान बनाउनु हो। हामी दोस्रो समीकरणलाई २ ले गुणन गरेर \(y\) को गुणांक समान बनाउन सक्छौं:
\[ २(५x – y) = २(९) \]
\[ १०x – २y = १८ \]
२. \(y\) हटाउन दुई समीकरणहरू जोड्नुहोस्:
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ २.८२x = १ \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
३. पहिलो समीकरणमा \( x = \frac{30}{13} \) लाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ ३\बायाँ(\frac{30}{13}\दायाँ) + २y = १२ \]
\[ \frac{90}{13} + २y = १२ \]
\[ २y = १२ – \frac{90}{13} \]
\[ २y = \frac{१५६}{१३} – \frac{९०}{१३} \]
\[ २y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
त्यसैले, समीकरण प्रणालीको समाधान \( x = \frac{30}{13} \) र \( y = \frac{33}{13} \) हुन्।
उदाहरण प्रश्न ३: म्याट्रिक्स विधि (गाउसियन उन्मूलन)
प्रश्न:
म्याट्रिक्स विधि प्रयोग गरेर निम्न समीकरण प्रणाली समाधान गर्नुहोस्:
१. \(x + y + z = ६\)
२. \(२x – y + ३z = १४\)
३. \(४x + २y – z = २\)
समाधान:
१. समीकरण प्रणालीको संवर्धित म्याट्रिक्स रूप:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
२ र -१ र ३ र | र १४ \\
४ र २ र -१ र | र २
\अन्त{pmatrix} \]
२. गौसियन उन्मूलन प्रक्रिया:
– दोस्रो पङ्क्तिलाई पहिलो पङ्क्तिको दोब्बर घटाएर दोस्रो पङ्क्तिको नतिजामा परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
२ र -१ र ३ र | र १४ \\
४ र २ र -१ र | र २
\अन्त{pmatrix} \]
– पहिलो पङ्क्तिको चार गुणा घटाएर तेस्रो पङ्क्तिको नतिजामा तेस्रो पङ्क्तिलाई परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
२ र -१ र ३ र | र १४ \\
० र -२ र -५ र | र -२२
\अन्त{pmatrix} \]
– तेस्रो पङ्क्तिलाई तेस्रो पङ्क्तिको नतिजा र दोस्रो पङ्क्तिको दुई-तिहाइ भागमा परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
२ र -१ र ३ र | र १४ \\
० र ० र -४ र | & -२०
\अन्त{pmatrix} \]
- तेस्रो पङ्क्तिलाई -४ ले भाग गरेर तेस्रो पङ्क्तिको नतिजामा परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
२ र -१ र ३ र | र १४ \\
० र ० र १ र | र ५
\अन्त{pmatrix} \]
– दोस्रो पङ्क्तिलाई दोस्रो पङ्क्ति र तेस्रो पङ्क्तिको नतिजामा रूपान्तरण गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
० र -३ र ० र | र -३ \\
० र ० र १ र | र ५
\अन्त{pmatrix} \]
- दोस्रो पङ्क्तिलाई -३ ले भाग गरेर दोस्रो पङ्क्तिको नतिजामा परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
१ र १ र १ र | र ६ \\
० र ० र १ र | र ५
\अन्त{pmatrix} \]
– पहिलो पङ्क्तिलाई दोस्रो पङ्क्ति र तेस्रो पङ्क्ति घटाएर पहिलो पङ्क्तिको नतिजामा परिवर्तन गर्नुहोस्:
\[ \सुरु{pmatrix}
१ र १ र १ र | र ६ \\
१ र १ र १ र | र ६ \\
० र ० र १ र | र ५
\अन्त{pmatrix} \]
त्यसैले, समीकरण प्रणालीका समाधानहरू \( x = 0 \), \( y = 1 \), र \( z = 5 \) हुन्।
केसिम्पुलन
गणितमा महारत हासिल गर्न रेखीय समीकरण प्रणालीहरू समाधान गर्ने तरिकाहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ। प्रतिस्थापन, उन्मूलन, र म्याट्रिक्स विधिहरूले सही समाधान खोज्न विभिन्न दृष्टिकोणहरू प्रदान गर्दछ। निरन्तर अभ्यास र अवधारणाहरूको ठोस बुझाइको साथ, जो कोहीले पनि यी प्रविधिहरूमा महारत हासिल गर्न सक्छन् र तिनीहरूलाई विभिन्न सन्दर्भहरूमा लागू गर्न सक्छन्। आशा छ, यस लेखमा छलफल गरिएका उदाहरणहरूले पाठकहरूलाई रेखीय समीकरणहरूको प्रणालीहरू राम्रोसँग बुझ्न र महारत हासिल गर्न मद्दत गर्नेछन्।
