रेखीय समीकरण र असमानता प्रणालीहरूको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
रेखीय समीकरण र असमानता प्रणालीहरू गणितमा एक महत्त्वपूर्ण विषय हो जुन अर्थशास्त्र, विज्ञान र इन्जिनियरिङ जस्ता विभिन्न क्षेत्रहरूमा व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ। यस लेखमा, हामी रेखीय समीकरण र असमानता प्रणालीहरूसँग सम्बन्धित उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूलाई कसरी समाधान गर्ने भन्ने बारे विस्तृत रूपमा छलफल गर्नेछौं।
रेखीय समीकरणहरूको प्रणालीको परिभाषा
रेखीय समीकरणहरूको प्रणालीमा दुई वा बढी रेखीय समीकरणहरू हुन्छन् जुन एकअर्कासँग सम्बन्धित हुन्छन्। उदाहरणहरू हुन्:
\[
\सुरु{केसहरू}
२x + ३y = ५ \\
४x – y = १
\अन्त{केसहरू}
\]
यस प्रणालीलाई समाधान गर्ने लक्ष्य भनेको \(x\) र \(y\) को मानहरू फेला पार्नु हो जसले दुवै समीकरणहरूलाई एकैसाथ सन्तुष्ट पार्छ।
रेखीय समीकरण प्रणाली समाधान गर्ने विधिहरू
रेखीय समीकरण प्रणालीहरू समाधान गर्ने धेरै तरिकाहरू छन्, जसमा समावेश छन्:
१. प्रतिस्थापन विधि
२. उन्मूलन विधि
३. म्याट्रिक्स विधि (उल्टो वा गौस-जोर्डन)
उदाहरण प्रश्न १: प्रतिस्थापन विधि
प्रतिस्थापन विधि प्रयोग गरेर निम्न प्रणाली समाधान गरौं:
\[
\सुरु{केसहरू}
x + २y = १० \\
४x – y = १
\अन्त{केसहरू}
\]
Langkah-langkah:
१. समीकरणहरू मध्ये एउटामा चरहरू मध्ये एउटालाई अलग गर्नुहोस्।
पहिलो समीकरणबाट, हामी \(x\) लाई अलग गर्छौं:
\[
x = १० – २ वर्ष
\]
२. भेटिएको अभिव्यक्तिलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
दोस्रो समीकरणमा \(x = १० – २y\) लाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
३(१० – २y) – y = ५
\]
\(y\) को लागि समाधान गर्नुहोस्:
\[
३० – ६ वर्ष – वाई = ५
\]
\[
३० – ७ वर्ष = ५
\]
\[
-७ वर्ष = -२५
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
३. अन्य चरहरू फेला पार्न फेला परेका मानहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\(x\) को लागि अभिव्यक्तिमा \(y = \frac{25}{7}\) लाई फेरि प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
x = १० – २\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = १० – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
त्यसैले, प्रणालीको समाधान \( x = \frac{20}{7} \) र \( y = \frac{25}{7} \) हुन्।
उदाहरण प्रश्न २: उन्मूलन विधि
अर्को, निम्न प्रणाली समाधान गर्न उन्मूलन विधि प्रयोग गरौं:
\[
\सुरु{केसहरू}
२x + ३y = ५ \\
4x + 6y = 24
\अन्त{केसहरू}
\]
यस अवस्थामा, हामी देख्छौं कि दोस्रो समीकरण पहिलो समीकरणको गुणन हो। प्रणाली घटाउन, हामी पहिलो समीकरणलाई २ ले गुणन गर्न सक्छौं र त्यसपछि दोस्रो समीकरणबाट घटाउन सक्छौं:
१. पहिलो समीकरणलाई २ ले गुणन गर्नुहोस्:
\[
२(२x + ३y) = २ \cdot १२
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
२. दोस्रो समीकरणबाट गुणन गरिएको पहिलो समीकरण घटाउनुहोस्:
\[
(४x + ६y) – (४x + ६y) = २४ – २४
\]
\[
0 = 0
\]
यसले \(0 = 0\) दिन्छ, जसले प्रणालीमा अनन्त समाधानहरू छन् र यी समीकरणहरू निर्भर छन् भन्ने संकेत गर्छ।
उदाहरण प्रश्न ३: रेखीय असमानताहरू
रेखीय असमानताहरूले रेखीय समीकरणहरू जस्तै सिद्धान्तहरू पालना गर्छन्, तर असमानता चिन्हहरू समावेश गर्दछ जस्तै \(<, \leq, >, \geq\)। एउटा साधारण उदाहरण हेरौं:
\[
\सुरु{केसहरू}
३x – y < ७ \\ २x + y \geq ४ \end{cases} \] चरणहरू: १. हामी यस प्रणालीको समाधान क्षेत्र निर्धारण गर्न ग्राफिकल विधि प्रयोग गर्छौं। प्रत्येक असमानताको ग्राफ बनाउनुहोस्। २. सीमा रेखा निर्धारण गर्न असमानतालाई समीकरणमा रूपान्तरण गर्नुहोस्: \(३x - y < ७\) को लागि, सीमा रेखा \(३x - y = ७\) हो।
