गणितीय परिक्रमणको छलफल गर्ने उदाहरण समस्याहरू
पेन्डाहुलुआन
परिक्रमा भनेको गणितमा, विशेष गरी ज्यामितिमा बारम्बार देखिने ज्यामितीय रूपान्तरण हो। परिक्रमा भनेको घडीको दिशामा वा घडीको विपरीत दिशामा विशिष्ट कोणबाट वस्तुलाई विशिष्ट बिन्दु (परिक्रमा केन्द्र) वरिपरि घुमाउनु हो। कम्प्युटर ग्राफिक्स, भौतिक विज्ञान र इन्जिनियरिङ जस्ता क्षेत्रहरूमा परिक्रमा अवधारणाको प्रयोग महत्त्वपूर्ण छ। यस लेखले गणितमा परिक्रमाका विभिन्न उदाहरणहरू र छलफलहरूको अन्वेषण गर्नेछ।
परिक्रमण बुझ्दै
परिक्रमा भनेको एउटा रूपान्तरण हो जसले वस्तुको प्रत्येक बिन्दुलाई निश्चित बिन्दु, जसलाई परिक्रमा केन्द्र भनिन्छ, वरिपरि निश्चित कोणद्वारा निश्चित दिशामा घुमाएर सार्छ। कोण θ र परिक्रमा केन्द्र (a, b) भएको परिक्रमाका लागि सामान्य संकेतनलाई R_(a, b)(θ) को रूपमा लेख्न सकिन्छ।
उत्पत्ति (0, 0) मा परिक्रमा केन्द्र भएको θ डिग्रीले घुमाइएको बिन्दु P(x, y) को लागि, परिक्रमा पछि P' (x', y') को नयाँ निर्देशांकहरू सूत्र प्रयोग गरेर प्राप्त गरिनेछ:
- x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
घुमाउने समस्याहरूको केही उदाहरणहरूको छलफलसहित अगाडि बढौं।
नमुना प्रश्न र छलफल
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: बिन्दु A(3, 4) लाई उत्पत्ति (0, 0) मा घुमाउने केन्द्र राखेर घडीको विपरीत दिशामा ९० डिग्री घुमाएपछि यसको नयाँ निर्देशांकहरू निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल: ९० डिग्री कोण घडीको विपरीत दिशामा घुमाउने सूत्र प्रयोग गर्दै:
- x' = x cos(90°) - y sin(90°) = 3(0) - 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
त्यसैले, परिक्रमण पछि A' को नयाँ निर्देशांकहरू (-4, 3) हुन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: बिन्दु B(2, -1) लाई घडीको दिशामा १८० डिग्री घुमाइएको छ र परिक्रमाको केन्द्र उत्पत्ति (0, 0) मा रहन्छ। परिक्रमण पछि बिन्दु B को नयाँ निर्देशांकहरू निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल: घडीको दिशामा वा घडीको विपरीत दिशामा १८० डिग्री घुमाउँदा उही परिणाम आउँछ, अर्थात् बिन्दुको निर्देशांकहरू (-x, -y) मा परिवर्तन हुन्छन्।
– x' = -x = -२
– y' = -y = १
त्यसैले, B' का नयाँ निर्देशांकहरू (-2, 1) हुन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: एउटा बिन्दु C(-३, ५) लाई २७० डिग्री घडीको विपरीत दिशामा घुमाइन्छ र परिक्रमाको केन्द्र उत्पत्ति (०, ०) मा हुन्छ। परिक्रम पछि बिन्दु C निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल: २७० डिग्री घडीको विपरीत दिशामा घुम्नु भनेको ९० डिग्री घडीको दिशामा घुम्नु बराबर हो।
- x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
त्यसैले, परिक्रमण पछि C' को नयाँ निर्देशांकहरू (5, -3) हुन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: बिन्दु D(5, 5) लाई उत्पत्ति (0, 0) मा परिक्रमा केन्द्र राखेर ४५ डिग्री घुमाएपछि यसको नयाँ निर्देशांकहरू निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल: ४५ डिग्री कोणको साथ परिक्रमा सूत्र प्रयोग गर्दै:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
त्यसैले, परिक्रमण पछि D' को नयाँ निर्देशांकहरू (0, 5√2) हुन्।
उत्पत्तिमा नभएको परिक्रमण केन्द्र भएको परिक्रमण
परिक्रमाहरू सधैं उत्पत्तिको वरिपरि गरिन्छन् भन्ने छैन। उदाहरणका लागि, मानौं हामी परिक्रमा केन्द्र (h, k) भएको बिन्दु घुमाउन चाहन्छौं। यो गर्नको लागि, हामीले निम्नानुसार निर्देशांकहरू समायोजन गर्न आवश्यक छ:
१. बिन्दुलाई यसरी अनुवाद गर्नुहोस् कि (h, k) उत्पत्ति बन्छ।
२. परिक्रमण सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्।
३. मूल स्थितिमा फर्कनुहोस्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: बिन्दु E(5, 7) लाई घडीको विपरीत दिशामा ९० डिग्री घुमाइएको छ र परिक्रमाको केन्द्र बिन्दु (2, 3) मा छ। परिक्रमण पछि बिन्दु E को नयाँ निर्देशांकहरू निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
१. परिक्रमा केन्द्रको सापेक्षमा बिन्दु E लाई उत्पत्तिमा अनुवाद गर्नुहोस् (२, ३):
– नयाँ बिन्दु E' = (५ – २, ७ – ३) = (३, ४)
२. नयाँ बिन्दु वरिपरि ९० डिग्री घडीको विपरीत दिशामा घुमाउनुहोस्:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
त्यसैले, परिक्रमण पछि निर्देशांकहरू (-४, ३) हुन्।
३. परिक्रमा केन्द्रको सापेक्षमा मूल स्थितिमा फिर्ता अनुवाद (२, ३):
– अन्तिम बिन्दु E' = (-४ + २, ३ + ३) = (-२, ६)
त्यसैले, परिक्रमा पछि बिन्दु E को नयाँ निर्देशांकहरू (-2, 6) हुन्।
केसिम्पुलन
विभिन्न अनुप्रयोगहरूमा गणितीय परिक्रमणहरूको विश्लेषण र बुझाइ महत्त्वपूर्ण छ। माथिका उदाहरणहरू र छलफलहरू मार्फत, पाठकहरूले परिक्रमण सूत्रहरू कसरी काम गर्छन् र तिनीहरूलाई विभिन्न परिस्थितिहरूमा कसरी लागू गर्न सकिन्छ भनेर बुझ्ने अपेक्षा गरिन्छ। यो अभ्यासले आधारभूत गणितलाई मात्र बलियो बनाउँदैन तर ज्यामितीय रूपान्तरणहरू समावेश गर्ने अन्य क्षेत्रहरूमा पनि उपयोगी छ।
