त्रिकोणमितीय अनुपातको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
त्रिकोणमिति गणितको एउटा शाखा हो जसले त्रिकोणहरूमा लम्बाइ र कोणहरू बीचको सम्बन्धसँग सम्बन्धित छ। त्रिकोणमितीय अनुपातले इन्जिनियरिङ, भौतिक विज्ञान, खगोल विज्ञान, र दैनिक जीवन जस्ता विभिन्न क्षेत्रहरूमा पनि महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ। यस लेखले त्रिकोणमितीय अनुपातको आधारभूत अवधारणाहरू बुझ्न मद्दत गर्न धेरै उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूका समाधानहरूको समीक्षा गर्नेछ।
समकोण त्रिभुजमा त्रिकोणमितीय अनुपातहरू
समकोण त्रिभुजमा आधारभूत अनुपातहरू बुझेर सुरु गरौं। यी अनुपातहरूलाई साइन (पाप), कोसाइन (कोस), र ट्यान्जेन्ट (ट्यान) भनेर चिनिन्छ। समकोण त्रिभुजमा, हामीले पहिचान गर्न आवश्यक पर्ने तीन महत्त्वपूर्ण पक्षहरू छन्:
१. विपरीत पक्ष: हामीले विचार गरिरहेको कोणको ठीक विपरीत पक्ष।
२. छेउछाउको पक्ष: हामीले विचार गरिरहेको कोणको छेउमा रहेको पक्ष।
३. कर्ण: समकोणको विपरीत समकोण त्रिकोणको सबैभन्दा लामो भुजा।
उदाहरण प्रश्न ३
कोण θ भएको समकोण त्रिभुज दिइएको छ, जहाँ कोण θ को विपरीत पक्षको लम्बाइ 3 एकाइ छ, छेउछाउको पक्षको लम्बाइ 4 एकाइ छ, र कर्णको लम्बाइ 5 एकाइ छ। कोण θ को sin, cos, र tan को मान पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान:
कोण θ को साइन, कोसाइन र ट्यान्जेन्ट मानहरू पत्ता लगाउन, हामी आधारभूत त्रिकोणमितीय अनुपात सूत्रहरू प्रयोग गर्छौं:
- साइन (पाप) θ = अगाडि पक्ष / हाइपोटेन्युज
\[ \पाप θ = \frac{3}{5} \]
– कोसाइन (cos) θ = साइड साइड / कर्ण
\[ \कोस θ = \फ्राक{४}{५} \]
– ट्यान्जेन्ट (ट्यान) θ = अगाडिको भाग / छेउ
\[ \ट्यान θ = \फ्राक{३}{४} \]
अन्य कोणहरूको त्रिकोणमितीय सम्बन्ध
त्रिकोणमितीय अनुपातहरू समभुज त्रिभुज र नियमित त्रिभुज सहित विभिन्न प्रकारका त्रिभुजहरूमा अन्य कोणहरूमा पनि लागू गर्न सकिन्छ। साइन नियम र कोसाइन नियम जस्ता आधारभूत नियमहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ, जुन समकोण त्रिभुज नभएका त्रिभुजहरूमा लागू हुन्छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
भुजा a = 7 cm, b = 24 cm, र कोण C = 90° भएको त्रिकोण ABC दिइएको छ। भुजा c को लम्बाइ र कोण A र B को मान पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान:
कोण C समकोण भएकोले, हामी पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गरेर भुजा c (कर्ण) को लम्बाइ पत्ता लगाउन सक्छौं:
\[ ग = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ ग = \ वर्ग {७^२ + २४^२} \]
\[ ग = \ वर्ग {४९ + ५७६} \]
\[ ग = \ वर्ग {६२५} \]
\[ ग = १० \, \पाठ{सेमी} \]
अर्को, कोण A र B को मान निर्धारण गर्न, हामी आधारभूत त्रिकोणमितीय अनुपातहरू प्रयोग गर्न सक्छौं।
कोण A को लागि, हामी कोसाइन प्रयोग गर्छौं:
\[ \cos A = \frac{\text{सम्बन्धित पक्ष}}{\text{कर्ण}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
कोण B को लागि, हामी साइन प्रयोग गर्छौं:
\[ \पाप B = \frac{\पाठ{अगाडिको पक्ष}}{\पाठ{कर्ण}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \बायाँ(\frac{24}{25}\दायाँ) \]
किनभने समकोण त्रिभुजमा समकोण बाहेक अन्य कोणहरूको योगफल ९०° हुनुपर्छ:
\[ A + B = ९०° \]
\[ A = ९०° – B \]
साइन नियम
साइन नियम निम्नानुसार भनिएको छ:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
उदाहरण प्रश्न ३
भुजा a = 8 सेमी, भुजा b = 15 सेमी, र कोण C = 60° भएको त्रिकोण दिइएको छ। साइन्सको नियम प्रयोग गरेर कोण A र भुजा c को लम्बाइ पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान:
पहिले, साइन्सको नियम प्रयोग गरेर अन्य कोणहरू मध्ये एक पत्ता लगाउनुहोस् (उदाहरणका लागि, कोण A):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
हामीले पहिले c को मान गणना गर्नुपर्छ। कोण C ६०° भएकोले, हामी कोसाइन नियम प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^२ = ८^२ + १५^२ – २ \cdot ८ \cdot १५ \cdot \cos(60°) \]
\[ c^२ = ६४ + २२५ – २४० \cdot ०.५ \]
\[ c^२ = २८९ – १२० \]
\[ ग^२ = १६९ \]
\[ ग = १० \, \पाठ{सेमी} \]
अब, हामी कोण A फेला पार्न सक्छौं:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) देखि:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ ८ \cdot \sqrt{3} = २६ \पाप A \]
\[ \पाप A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \पाप A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
अन्तमा, व्युत्क्रम साइन प्रयोग गर्दै:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]
कोसाइन नियम
कोसाइन नियमले भन्छ:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
उदाहरण प्रश्न ३
भुजा a = 9 cm, भुजा b = 12 cm, र भुजा c = 15 cm भएको त्रिभुज दिइएको छ भने कोण C पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान:
कोण C पत्ता लगाउन, हामी कोसाइन नियम प्रयोग गर्छौं:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ १५^२ = ९^२ + १२^२ – २ \cdot ९ \cdot १२ \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 - 216 \cos C \]
\[ २२५ = २२५ - २१६ \cos C \]
\[ ० = -२१६ \कोस C \]
\[ \कारण C = ० \]
यहाँबाट हामीलाई थाहा हुन्छ कि कोण C ९०° हो किनभने cos ९०° = ०।
त्रिकोणमितीय अनुपातहरू बुझ्न मद्दत गर्ने केही उदाहरण समस्याहरू यी हुन्। विभिन्न समस्याहरूको निरन्तर अभ्यासले यी अवधारणाहरूको तपाईंको बुझाइलाई बलियो बनाउन धेरै मद्दत गर्नेछ। हामी आशा गर्छौं कि यो लेख तपाईंको सिकाइमा उपयोगी भएको छ!
