कम्पोनेन्टद्वारा भेक्टर थपको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
भेक्टर जोड दुई वा बढी भेक्टरहरूको परिणाम पत्ता लगाउन प्रयोग गरिने भौतिकशास्त्र र गणितमा एक आधारभूत प्रक्रिया हो। भेक्टर जोड समाधान गर्न घटक-वार दृष्टिकोण विशेष गरी उपयोगी विधि हो, विशेष गरी जब दुई वा तीन आयामहरूमा भेक्टरहरूसँग व्यवहार गरिन्छ। यस लेखले घटक-वार भेक्टर थपको अवधारणाको व्याख्या गर्नेछ र धेरै उदाहरण समस्याहरू र समाधानहरू प्रदान गर्नेछ।
कम्पोनेन्टियल भेक्टर थपको अवधारणा
दुई-आयामी (2D) ठाउँमा भएका प्रत्येक भेक्टरलाई दुई घटकमा विभाजन गर्न सकिन्छ: एउटा x (तेर्सो) घटक र एउटा y (ठाडो) घटक। तीन आयाम (3D) मा, भेक्टरहरूमा एउटा अतिरिक्त घटक हुन्छ, z (गहिराई) घटक।
मानौं हामीसँग दुई भेक्टरहरू A र B छन्। यी भेक्टरहरूको घटकहरूलाई निम्नानुसार व्यक्त गर्न सकिन्छ:
– भेक्टर A मा 2D मा \(A_x\) र \(A_y\) कम्पोनेन्टहरू छन् (वा 3D मा \(A_z\) पनि)।
– भेक्टर B मा 2D मा \(B_x\) र \(B_y\) कम्पोनेन्टहरू छन् (वा 3D मा \(B_z\) पनि)।
यी दुई भेक्टरहरूको थपले परिणामस्वरूप भेक्टर R उत्पादन गर्नेछ जसमा निम्न घटकहरू हुनेछन्:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D मा भेक्टरहरूको लागि, z घटक पनि निम्न हो:
\[ R_z = A_z + B_z \]
परिणामात्मक भेक्टरको प्रत्येक घटक गणना गरेपछि, हामी सूत्र प्रयोग गरेर परिणामात्मक भेक्टरको मोड्युलस (परिमाण) र दिशा पत्ता लगाउन सक्छौं:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (२D को लागि)
वा 3D को लागि:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
र परिणामस्वरूप भेक्टरको दिशा निर्देशांक अक्षहरूको कोणद्वारा निर्धारण गर्न सकिन्छ।
नमुना प्रश्न र छलफल
प्रश्न १
दुई-आयामी समतलमा दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
– A पूर्वमा \(5 \, \text{unit}\) छ।
– B उत्तरमा \(3 \, \text{unit}\) छ।
परिणामस्वरूप भेक्टर R निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
पहिले, हामी भेक्टरलाई यसको सम्बन्धित कम्पोनेन्टहरूमा रूपान्तरण गर्छौं।
– भेक्टर A : \(A = (5, 0)\) किनभने यसमा केवल x कम्पोनेन्ट हुन्छ।
– भेक्टर B : \(B = (0, 3)\) किनभने यसमा केवल y घटक हुन्छ।
यहाँ घटकहरूको योगफल छ:
\[ R_x = A_x + B_x = ५ + ० = ५ \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
त्यसपछि परिणामस्वरूप भेक्टर R हो:
\[ R = (५, ३) \]
भेक्टर R को लम्बाइ (मोड्युलस) गणना गर्न:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \लगभग 5.83 \]
भेक्टर R को दिशा x-अक्षको कोण θ प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[ \ट्यान(\थिटा) = \फ्राक{R_y}{R_x} = \फ्राक{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \लगभग ३०.९६^\circ \]
यसरी, परिणामस्वरूप भेक्टर R को लम्बाइ लगभग ५.८३ एकाइ छ र x-अक्षसँग ३०.९६° को कोण बनाउँछ।
प्रश्न १
तीन आयामहरूमा दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
– A भनेको \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) हो
– B भनेको \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\) हो
परिणामस्वरूप भेक्टर R निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
पहिले, हामी प्रत्येक भेक्टरको घटकहरू पहिचान गर्छौं:
– भेक्टर A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\)।
– भेक्टर B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\)।
यहाँ घटकहरूको योगफल छ:
\[ R_x = A_x + B_x = ५ + ० = ५ \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = १ + २ = ३ \]
त्यसपछि परिणामस्वरूप भेक्टर R हो:
\[ R = (४, ६, ३) \]
भेक्टर R को लम्बाइ (मोड्युलस) गणना गर्न:
\[ |R| = \sqrt{४^२ + ६^२ + ३^२} = \sqrt{१६ + ३६ + ९} = \sqrt{६१} \लगभग ७.८१ \]
x, y, र z अक्षहरूको सापेक्षमा भेक्टर R को दिशा निर्देशकको कोसाइन प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \लगभग ०.५१२ \]
\[ \अल्फा = \आर्कोस(०.५१२) \लगभग ५९.५०^\सर्कल \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \लगभग ०.७६८ \]
\[ \बिटा = \आर्कोस(०.७६८) \लगभग ३९.५०^\सर्कल \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \लगभग ०.३८४ \]
\[ \गामा = \आर्कोस(०.३८४) \लगभग ६७.६४^\सर्कल \]
यसरी, परिणामस्वरूप भेक्टर R को लम्बाइ लगभग ७.८१ एकाइ छ र x, y, र z अक्षहरूको सापेक्षमा यसको दिशाहरू ५९.५०°, ३९.५०°, र ६७.६४° छन्।
प्रश्न १
दुई भेक्टरहरू दिइएको छ:
– P को परिमाण ४ एकाइ छ र यसले धनात्मक x-अक्षमा ४५° को कोण बनाउँछ।
– Q को परिमाण ६ एकाइ छ र यसले धनात्मक x-अक्षमा १२०° को कोण बनाउँछ।
परिणामस्वरूप भेक्टर R निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
पहिले, हामी भेक्टरलाई यसको x र y कम्पोनेन्टहरूमा विभाजन गर्छौं:
– भेक्टर P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \लगभग 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \लगभग 2.83\)।
– भेक्टर Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \लगभग 5.2\)।
यहाँ घटकहरूको योगफल छ:
\[ R_x = P_x + Q_x = २.८३ – ३ = -०.१७ \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
त्यसपछि, परिणामस्वरूप भेक्टर R हो:
\[ R = (-०.१७, ८.०३) \]
भेक्टर R को लम्बाइ (मोड्युलस) गणना गर्न:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \लगभग 8.03 \]
भेक्टर R को दिशा:
\[ \ट्यान(\थिटा) = \फ्राक{R_y}{R_x} = \फ्राक{८.०३}{-०.१७} = -४७.२४ \]
\[ \theta = \arctan(-४७.२४) \लगभग -८८.९९^\circ \]
यद्यपि, यो कोण ऋणात्मक x-अक्षको वरिपरि मापन गरिएको छ, त्यसैले समस्याको सन्दर्भमा वास्तविक कोण यो हो:
\[ १८०^\सर्कल – ८८.९९^\सर्कल \लगभग ९१.०१^\सर्कल \]
यसरी, परिणामस्वरूप भेक्टर R को लम्बाइ लगभग ८.०३ एकाइ छ र यसले धनात्मक x-अक्षसँग ९१.०१° को कोण बनाउँछ।
यस लेखले कम्पोनेन्ट-वार भेक्टर थपको बारेमा छलफल गरेको छ, धेरै उदाहरण समस्याहरू र समाधानहरू प्रदान गर्दै। कम्पोनेन्ट-वार विधि गणनालाई सरल बनाउन र अन्तरिक्षको गणितीय आयाममा भेक्टर समस्याहरू समाधान गर्न व्यवस्थित तरिका प्रदान गर्न धेरै उपयोगी छ।
