समतल समतलको क्षेत्रफल गणना गर्दा इन्टिग्रलहरूको प्रयोगको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल
गणित शिक्षणमा, क्याल्कुलसमा प्रायः पूर्णांकहरू भेटिन्छन्। पूर्णांकहरूको सबैभन्दा प्रसिद्ध प्रयोगहरू मध्ये एक वक्र वा समतल मुनिको क्षेत्रफल गणना गर्नु हो। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछ र समतलको क्षेत्रफल गणना गर्न पूर्णांकहरूको प्रयोगको बारेमा छलफल गर्नेछ।
सिद्धान्तको परिचय
उदाहरण समस्यामा जानु अघि, इन्टिग्रलहरू प्रयोग गरेर वक्र अन्तर्गत क्षेत्रफल गणना गर्ने आधारभूत अवधारणाको समीक्षा गरौं। यदि हामीसँग अन्तराल [a, b] मा निरन्तर रहेको f(x) प्रकार्य छ भने, x = a देखि x = b सम्म वक्र y = f(x) अन्तर्गतको क्षेत्रफल हो:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ज्यामितीय रूपमा, यसको अर्थ हामी x = a देखि x = b सम्मको धेरै पातलो आयतको क्षेत्रफललाई संक्षेप गर्दैछौं।
उदाहरण प्रश्न ३
सोल
अन्तराल [1, 3] मा वक्र y = x² मुनिको क्षेत्रफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल
क्षेत्रफल गणना गर्न, हामी अभिन्न प्रयोग गर्छौं:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
हामी \( x^2 \) को एन्टीडेरिभेटिभ पत्ता लगाएर सुरु गर्छौं। \( x^2 \) को एन्टीडेरिभेटिभ \( \frac{x^3}{3} \) हो। त्यसपछि इन्टिग्रल बन्छ:
\[ L = \बायाँ[ \frac{x^3}{3} \दायाँ]_{1}^{3} \]
याद गर्नुहोस् कि हामीले इन्टिग्रलको सीमामा एन्टिडेरिभेटिभको मूल्याङ्कन गर्नुपर्छ:
\[ L = \बायाँ( \frac{3^3}{3} \दायाँ) – \बायाँ( \frac{1^3}{3} \दायाँ) \]
\[ L = \बायाँ( \frac{27}{3} \दायाँ) – \बायाँ( \frac{1}{3} \दायाँ) \]
\[ L = ४ – \frac{1}{9} \]
\[ ल = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ल = \frac{26}{3} \]
त्यसैले, x = 1 देखि x = 3 सम्मको वक्र y = x² मुनिको क्षेत्रफल यस प्रकार छ:
\[ \frac{26}{3} \, \text{क्षेत्र एकाइ} \]
उदाहरण प्रश्न ३
सोल
वक्र y = x³ र रेखाहरू x = 1 र x = 2 ले घेरिएको क्षेत्रफल निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
क्षेत्रफल गणना गर्न, हामी अभिन्न प्रयोग गर्छौं:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
सामान्य रूपमा, हामी \( x^3 \) को एन्टिडेरिभेटिभ पत्ता लगाएर सुरु गर्छौं। \( x^3 \) को एन्टिडेरिभेटिभ \( \frac{x^4}{4} \) हो। इन्टिग्रल बन्छ:
\[ L = \बायाँ[ \frac{x^4}{4} \दायाँ]_{1}^{2} \]
इन्टिग्रलको सीमा मूल्याङ्कन गर्नुहोस्:
\[ L = \बायाँ( \frac{2^4}{4} \दायाँ) – \बायाँ( \frac{1^4}{4} \दायाँ) \]
\[ L = \बायाँ( \frac{16}{4} \दायाँ) – \बायाँ( \frac{1}{4} \दायाँ) \]
\[ L = ४ – \frac{1}{4} \]
\[ ल = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ ल = \frac{15}{4} \]
त्यसैले, x = 1 देखि x = 2 सम्मको वक्र y = x³ मुनिको क्षेत्रफल यस प्रकार छ:
\[ \frac{15}{4} \, \text{क्षेत्र एकाइ} \]
उदाहरण प्रश्न ३
सोल
x = 0 देखि x = 1 सम्मको अन्तरालमा y = x² + 1 र y = 2x + 2 वक्रहरूले घेरिएको क्षेत्रफल निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
पहिले, हामीले एकीकरणको सीमा निर्धारण गर्न प्रतिच्छेदन बिन्दुहरू फेला पार्नु पर्छ। \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) को समाधान:
\[ x^२ + १ = २x + २ \]
\[ x^२ – २x – १ = ० \]
द्विघात सूत्र प्रयोग गर्दै:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = १ \pm \sqrt{2} \]
यद्यपि, ० र १ बीचको माथिल्लो र तल्लो सीमाको लागि, हामीले द्विघात समाधान प्रयोग गर्नुपर्दैन, केवल ० देखि १ सम्मको साधारण अभिन्न सीमा। अर्को, यी सीमाहरू अनुसार माथिल्लो y वक्रको क्षेत्रफल गणना गर्नुहोस् र तल्लो y वक्र घटाउनुहोस्:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
कार्य सरलीकरण:
\[ L = \int_{0}^{1} (२x + २ – x^२ – १) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
अर्को, हामी एन्टीडेरिभेटिभ फेला पार्छौं:
\( (-x^2) \) को एन्टिडेरिभेटिभ \( -\frac{x^3}{3} \) हो,
\( (2x) \) को एन्टिडेरिभेटिभ \( x^2 \) हो,
\( (1) \) को एन्टिडेरिभेटिभ \( x \) हो।
त्यसैले,
\[ L = \बायाँ। \बायाँ(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \दायाँ) \दायाँ|_0^1 \]
अर्को मूल्याङ्कन:
\[ L = \बायाँ[ -\frac{1^3}{3} + १^२ + १ \दायाँ] – \बायाँ[ -\frac{0^3}{3} + ०^२ + ० \दायाँ] \]
\[ L = \बायाँ[ -\frac{1}{3} + १ + १ \दायाँ] – \बायाँ[ ० \दायाँ] \]
\[ ल = -\frac{1}{3} + २ \]
\[ ल = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ ल = \frac{5}{3} \]
त्यसैले, अन्तराल [0, 1] मा वक्र y = x² + 1 र y = 2x + 2 द्वारा घेरिएको क्षेत्रफल हो:
\[ \frac{5}{3} \, \text{क्षेत्र एकाइ} \]
-
माथिका उदाहरणहरूबाट, हामी देख्न सक्छौं कि कसरी इन्टिग्रलहरू कर्भ मुनि वा दुई कर्भहरू बीचको क्षेत्रफल गणना गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। इन्टिग्रलहरू र एन्टीडेरिभेटिभ प्रविधिहरूको आधारभूत अवधारणाहरूको उचित बुझाइको साथ, यी क्षेत्रहरूको गणना धेरै व्यवस्थित र कुशल हुन्छ। आशा छ, यस लेखले वास्तविक संसारमा, विशेष गरी समतल सतहहरूको क्षेत्रफल मापन गर्ने क्षेत्रमा इन्टिग्रलहरूको प्रयोगको बारेमा हाम्रो बुझाइ बढाएको छ।
