भेक्टर सञ्चालन छलफल प्रश्नहरूको उदाहरण
भेक्टर अपरेशनहरू गणितमा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन भौतिक विज्ञान, इन्जिनियरिङ र कम्प्युटर विज्ञान जस्ता अनुसन्धानका विभिन्न क्षेत्रहरूमा बारम्बार देखा पर्दछ। यस लेखमा, हामी भेक्टर अपरेशनहरूका धेरै उदाहरणहरू र तिनीहरूका समाधानहरू गहिरो र थप ठोस बुझाइ प्रदान गर्न छलफल गर्नेछौं। यी उदाहरणहरूले भेक्टर जोड र घटाउ जस्ता आधारभूत अपरेशनहरू, साथै स्केलर गुणन र क्रस-भेक्टर गुणन जस्ता थप उन्नत अपरेशनहरू समेट्नेछन्।
१. भेक्टर जोड र घटाउ
उदाहरण प्रश्न ३
घटक रूपमा दुई भेक्टरहरू A र B दिइएको छ:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} २ \\ ३ \\ -१ \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -१ \\ ४ \\ २ \end{pmatrix} \]
दुई भेक्टरहरूको जोड र घटाउको परिणाम गणना गर्नुहोस्।
छलफल
भेक्टर जोडको लागि, हामी दुई भेक्टरहरूको प्रत्येक सम्बन्धित घटक थप्छौं।
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} २ \\ ३ \\ -१ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -१ \\ ४ \\ २ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} २ + (-१) \\ ३ + ४ \\ -१ + २ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} १ \\ ७ \\ १ \end{pmatrix} \]
भेक्टर घटाउको लागि, हामी दुबै भेक्टरहरूको प्रत्येक सम्बन्धित घटक घटाउँछौं।
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} २ \\ ३ \\ -१ \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -१ \\ ४ \\ २ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} २ – (-१) \\ ३ – ४ \\ -१ – २ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ३ \\ -१ \\ -३ \end{pmatrix} \]
२. भेक्टरद्वारा स्केलर गुणन
उदाहरण प्रश्न ३
भेक्टर C र स्केलर k दिइएको छ:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} १ \\ -२ \\ ३ \end{pmatrix} \]
\[ k = ८ \]
स्केलर k द्वारा भेक्टर C को स्केलर गुणन गणना गर्नुहोस्।
छलफल
स्केलरलाई भेक्टरले गुणन गर्दा भेक्टरको प्रत्येक घटकलाई स्केलरले गुणन गरिन्छ।
\[ k \mathbf{C} = ४ \begin{pmatrix} १ \\ -२ \\ ३ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ४ \cdot १ \\ ४ \cdot (-२) \\ ४ \cdot ३ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ४ \\ -८ \\ १२ \end{pmatrix} \]
३. डट उत्पादन
उदाहरण प्रश्न ३
दुई भेक्टरहरू D र E दिइएको छ:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} ३ \\ -२ \\ ४ \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \ end{pmatrix} \]
दुई भेक्टरहरूको डट गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल
दुई भेक्टरहरूको डट गुणनफल तिनीहरूको सम्बन्धित घटकहरूको उत्पादनहरू थपेर प्राप्त गरिन्छ।
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 - 4 = -1 \]
३. क्रस उत्पादन
उदाहरण प्रश्न ३
दुई भेक्टरहरू F र G दिइएको छ:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} २ \\ ३ \\ ४ \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} १ \\ -१ \\ २ \end{pmatrix} \]
दुई भेक्टरहरूको क्रस गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल
त्रि-आयामी स्थानमा दुई भेक्टरहरूको क्रस गुणनफल ती भेक्टरहरूद्वारा बनाइएको म्याट्रिक्सको निर्धारक प्रयोग गरेर प्राप्त गरिन्छ। क्रस गुणनफल सूत्रद्वारा दिइएको छ:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \ end{vmatrix} \]
यो निम्न तरिकाले गणना गर्न सकिन्छ:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 र 4 \\ 1 र 2 \end{vmatrix} \vmatrix} {vmatrix} {vmatrix} + ३ \\ १ र -१ \ end{vmatrix}
\]
प्रत्येक सबम्याट्रिक्सको निर्धारक गणना गर्दै:
\[
= \mathbf{i} (३ \cdot २ – ४ \cdot -१) – \mathbf{j} (२ \cdot २ – ४ \cdot १) + \mathbf{k} (२ \cdot -१ – ३ \cdot १)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) - \mathbf{j} (4 - 4) + \mathbf{k} (-2 - 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} १० \\ ० \\ -५ \end{pmatrix}
\]
त्यसैले, F र G को क्रस उत्पादन हो:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} १० \\ ० \\ -५ \end{pmatrix} \]
५. दुई भेक्टरहरू बीचको कोण निर्धारण गर्ने
उदाहरण प्रश्न ३
दुई भेक्टरहरू H र I दिइएको छ:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} ६ \\ २ \\ ३ \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} १ \\ ४ \\ -२ \end{pmatrix} \]
दुई भेक्टरहरू बीचको कोण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
दुई भेक्टरहरू बीचको कोण \(\theta\) डट गुणन र दुई भेक्टरहरूको परिमाण बीचको सम्बन्ध प्रयोग गरेर पत्ता लगाउन सकिन्छ:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \ mathbf {H} \ | \| \ mathbf{I} \ | \cos \theta \]
पहिले, डट गुणन गणना गर्नुहोस् \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = ६ \cdot १ + २ \cdot ४ + ३ \cdot (-२) = ६ + ८ – ६ = ८ \]
अर्को, दुबै भेक्टरहरूको परिमाण गणना गर्नुहोस्:
\[ \ | \ mathbf {H} \ | = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \ | \ mathbf{I} \ | = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
त्यसपछि, यी मानहरूलाई कोण सूत्रमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \ mathbf {H} \ | \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
अन्तिम परिणामको रूपमा, हामी कोणको मान पत्ता लगाउन क्याल्कुलेटर प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ \थिटा \लगभग ८१.७९^\सर्कल \]
केसिम्पुलन
गणित र विज्ञानमा भेक्टर अपरेशनको अवधारणा महत्त्वपूर्ण छ। यस लेखले भेक्टर जोड र घटाउ, स्केलर गुणन, डट गुणन, क्रस उत्पादन, र दुई भेक्टरहरू बीचको कोण निर्धारण गर्ने जस्ता धेरै उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूका समाधानहरूको बारेमा छलफल गर्दछ। यी उदाहरणहरू मार्फत काम गरेर, हामी भेक्टर अपरेशनहरूको बारेमा तपाईंको बुझाइ बढाउने र विभिन्न सन्दर्भहरूमा भेक्टरहरू समावेश गर्ने समस्याहरू समाधान गर्न मद्दत गर्ने आशा गर्दछौं।
