जटिल संख्याहरूमा सञ्चालनहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू।

जटिल संख्याहरूमा सञ्चालन सम्बन्धी प्रश्न र छलफलका उदाहरणहरू

जटिल संख्याहरू वास्तविक संख्याहरूको अवधारणाको विस्तार हुन् जसले काल्पनिक संख्याहरू समावेश गर्दछ। जटिल संख्याको सामान्य रूप a + bi हो, जहाँ a र b वास्तविक संख्याहरू हुन्, र i एक काल्पनिक एकाइ हो जसमा i² = -1 गुण हुन्छ। जटिल संख्याहरूमा सञ्चालनहरूमा जोड, घटाउ, गुणन र भाग समावेश छन्। यस लेखले जटिल संख्याहरूमा विभिन्न सञ्चालनहरूको लागि धेरै उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरू प्रदान गर्नेछ।

जटिल संख्याहरूको जोड र घटाउ

उदाहरण प्रश्न ३
निम्न जटिल संख्याहरू थप्नुहोस्: (3 + 4i) र (1 + 2i)।

छलफल:
जटिल संख्याहरू थप्ने काम तिनीहरूको वास्तविक र काल्पनिक भागहरू छुट्टाछुट्टै थपेर गरिन्छ।

\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]

त्यसैले, (3 + 4i) र (1 + 2i) थप्दाको परिणाम 4 + 6i हुन्छ।

उदाहरण प्रश्न ३
(6 + 3i) बाट जटिल संख्या (2 + 5i) घटाउनुहोस्।

छलफल:
जटिल संख्याहरूको घटाउ वास्तविक भाग र काल्पनिक भागलाई छुट्टाछुट्टै घटाएर गरिन्छ।

\[ (6 + 3i) - (2 + 5i) = (6 - 2) + (3i - 5i) = 4 - 2i \]

त्यसैले, (6 + 3i) बाट (2 + 5i) घटाउँदाको परिणाम 4 – 2i हुन्छ।

जटिल संख्याहरूको गुणन

उदाहरण प्रश्न ३
निम्न जटिल संख्याहरूलाई गुणन गर्नुहोस्: (2 + 3i) र (4 + i)।

छलफल:
जटिल संख्याहरूको गुणन वितरण वा औपचारिक व्यवस्था प्रयोग गरेर गरिन्छ, जस्तै साधारण बीजगणितमा दुई द्विपदहरू गुणन गर्ने।

\[
(२ + ३i) \cdot (४ + i) = २ \cdot ४ + २ \cdot i + ३i \cdot ४ + ३i \cdot i
\]

त्यसपछि हामी विस्तृत रूपमा गणना गर्छौं:

\[
= ८ + २i + १२i + ३i^२
\]

\( i^2 = -1 \) देखि:

\[
= ८ + १४i + ३(-१)
\]

\[
= ८ + १४i – ३
\]

\[
= 5 + 14i
\]

त्यसैले, (2 + 3i) र (4 + i) लाई गुणन गर्दाको परिणाम 5 + 14i हुन्छ।

जटिल संख्याहरूको विभाजन

उदाहरण प्रश्न ३
निम्न जटिल संख्या: (5 + 6i) लाई (2 + i) ले भाग गर्नुहोस्।

छलफल:
हरको संयुग्मी प्रयोग गरेर जटिल संख्याहरूको विभाजन। \(2 + i\) को संयुग्मी \(2 – i\) हो।

हामी अंश र हरलाई हरको संयुग्मितले गुणन गर्छौं:

\[
\frac{५ + ६i}{२ + i} \cdot \frac{२ – i}{२ – i}
\]

अब हामी अंश र भाजक छुट्टाछुट्टै गणना गर्छौं:

\[
= \frac{(५ + ६i) \cdot (२ – i)}{(२ + i) \cdot (२ – i)}
\]

हरहरूको गुणन:

\[
(२ + i) \cdot (२ – i) = २^२ – i^२ = ४ – (-१) = ४ + १ = ५
\]

अंशहरूको गुणन:

\[
(५ + ६i) \cdot (२ – i) = ५ \cdot २ + ५ \cdot (-i) + ६i \cdot २ + ६i \cdot (-i)
= ८ – २i + १२i – ३i^२
= १० + ७i – ६(-१)
= १० + ७i + ६
= 16 + 7i
\]

त्यसैले, विभाजन यस्तो छ:

\[
= frac{16 + 7i}{5} = frac{16}{5} + frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]

त्यसैले (५ + ६i) लाई (२ + i) ले भाग गर्दाको परिणाम ३.२ + १.४i हुन्छ।

अतिरिक्त छलफल: जटिल संख्याहरूको मोड्युलस र संयुग्मित

उदाहरण प्रश्न ३
जटिल संख्या \(z = 3 + 4i\) को मोड्युलस र संयुग्मी पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
जटिल संख्या \(z = a + bi\) को मोड्युलस यो हो:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

\(z = 3 + 4i\) को लागि:

\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

जटिल संख्या \(z = a + bi\) को संयुग्मी \(z^ = a – bi\) हो।

\(z = 3 + 4i\) को लागि:

\[
z^ = ३ – ४i
\]

त्यसैले \(3 + 4i\) को मोड्युलस 5 हो, र यसको संयुग्मी \(3 – 4i\) हो।

केसिम्पुलन

जटिल संख्याहरूले विभिन्न गणितीय क्षेत्रहरू र प्राविधिक अनुप्रयोगहरूमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छन्। जोड, घटाउ, गुणन र भाग जस्ता जटिल संख्याहरूमा आधारभूत अपरेशनहरू बुझ्नु, यी अवधारणाहरूलाई थप जटिल समस्याहरू समाधान गर्न प्रयोग गर्ने महत्वपूर्ण कुरा हो। माथि वर्णन गरिएका जस्ता विभिन्न समस्या प्रकारहरूको अभ्यास गर्नाले जटिल संख्याहरूसँग काम गर्ने तपाईंको बुझाइ र सीपलाई बलियो बनाउन मद्दत गर्नेछ।