वृत्त र कर्डहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

वृत्त र तारहरूको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल

गणितमा प्रायः अध्ययन गरिने आधारभूत ज्यामितीय आकारहरू मध्ये वृत्त एक हो। वृत्तहरूसँग सम्बन्धित एउटा महत्त्वपूर्ण अवधारणा कर्ड हो, जुन केन्द्रबाट नगई वृत्तमा दुई बिन्दुहरूलाई जोड्ने रेखा हो। ज्यामिति अध्ययन गर्न वृत्त र कर्डहरू बुझ्नु आवश्यक छ। यस लेखले यी अवधारणाहरूको हाम्रो बुझाइलाई गहिरो बनाउन वृत्त र कर्डहरूसँग सम्बन्धित धेरै उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरू छलफल गर्नेछ।

आधारभूत बुझाइ

लिंगकरण
वृत्त भनेको केन्द्र भनिने दिइएको बिन्दुबाट बराबर दूरीमा रहेका समतलका सबै बिन्दुहरूको संग्रह हो। यदि वृत्तको केन्द्र बिन्दु O हो र वृत्तको त्रिज्या r हो भने, वृत्तलाई कार्टेसियन रूपमा समीकरण (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² द्वारा व्यक्त गर्न सकिन्छ।

धनुको डोरी
वृत्तमा रहेको कर्ड भनेको वृत्तका दुई बिन्दुहरूलाई जोड्ने रेखा हो। कर्डको लम्बाइ वृत्तको त्रिज्यामा मात्र नभई त्यसलाई फर्काएको केन्द्रीय कोणको आकारमा पनि निर्भर गर्दछ।

नमुना प्रश्न र छलफल

प्रश्न १:
प्रश्न: १० सेमी त्रिज्या भएको वृत्त र १६ सेमी लम्बाइ भएको कर्ड AB दिइएको छ भने वृत्तको केन्द्रबाट कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
वृत्तको केन्द्रबाट कर्डसम्मको दूरी पत्ता लगाउन, हामी त्रिज्या, केन्द्रबाट कर्डसम्मको दूरी र कर्डको आधा लम्बाइको बीचमा बनेको समकोणीय त्रिकोण सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं।

मानौं बिन्दु O वृत्तको केन्द्र हो र बिन्दु P कर्ड AB को बीचमा रहेको बिन्दु हो जुन AB सँग लम्ब छ। यसरी, OP भनेको वृत्त O को केन्द्रबाट कर्ड AB सम्मको दूरी हो।

त्रिकोण OAP (P मा दायाँ त्रिकोण) मा, हामी पाइथागोरस प्रमेय लागू गर्न सक्छौं:

OP² + AP² = OA²

हामीलाई थाहा छ:
– OA (वृत्तको त्रिज्या) = १० सेमी
– AB (धनुको डोरीको लम्बाइ) = १६ सेमी, त्यसैले AP = १६/२ = ८ सेमी।

ज्ञात मानहरूलाई समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

OP² + ८² = १०²
OP² + ६४ = १००
OP² = १०० – ६४
OP² = ३६
ओपी = √३६
ओपी = ६

त्यसैले, वृत्तको केन्द्रबाट कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी ६ सेमी छ।

प्रश्न १:
प्रश्न: केन्द्र O भएको वृत्तको त्रिज्या ८ सेमी हुन्छ। कर्ड AB ले १२०° को केन्द्रीय कोण ∠AOB बनाउँछ। कर्ड AB को लम्बाइ निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
केन्द्रीय कोण (θ) बनाउने कर्डको लम्बाइ गणना गर्न, हामी सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं:

AB = २ × r × sin(θ/2)

कहाँ:
– r वृत्तको त्रिज्या हो (यस प्रश्नमा ८ सेमी)
– θ वृत्तको केन्द्रमा कर्डले बनाएको कोण हो (यस समस्यामा १२०°)

ज्ञात मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

AB = 2 × 8 cm × sin(120°/2)
AB = १६ सेमी × sin(६०°)
AB = १६ सेमी × (√३ / २)
AB = ८√३ सेमी

त्यसैले, कर्ड AB को लम्बाइ 8√3 सेमी छ।

प्रश्न १:
प्रश्न: १३ सेमी त्रिज्या भएको वृत्त र कर्ड AB वृत्तको केन्द्रबाट ५ सेमी टाढा छ। कर्ड AB को लम्बाइ कति छ?

छलफल:
यस अवस्थामा, हामी कर्डको लम्बाइ पत्ता लगाउन बनेको समकोण त्रिकोण प्रयोग गर्न सक्छौं। मानौं बिन्दु O वृत्तको केन्द्र हो, बिन्दु P केन्द्रको सबैभन्दा नजिकको कर्डको बिन्दु हो, र AB कर्ड हो।

हामीलाई थाहा छ:
– OA (वृत्तको त्रिज्या) = १० सेमी
– OP (धनुषको डोरीको केन्द्रको दूरी) = ५ सेमी।

OAP त्रिकोणमा:

OP² + AP² = OA²

हामीले AP (कर्डको आधा लम्बाइ) फेला पार्छौं:

५² + AP² = १३²
२५ + AP² = १६९
AP² = १६९ – २५
AP² = १४४
एपी = √१४४
एपी = १२

त्यसैले, कर्ड AB को लम्बाइ = 2 × AP = 2 × 12 = 24 सेमी।

प्रश्न १:
प्रश्न: १० सेमी त्रिज्या भएको वृत्त दिइएको छ। एउटा कर्ड AB को लम्बाइ १२ सेमी छ। केन्द्रीय कोण ∠AOB को आकार निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
यस अवस्थामा, हामीले केन्द्रीय कोण ∠AOB निर्धारण गर्न त्रिकोणमितीय प्रकार्यको व्युत्क्रम प्रयोग गर्न आवश्यक छ। केन्द्रीय कोण θ समावेश गर्ने कर्डको लम्बाइको सूत्रको आधारमा, हामी θ गणना गर्न सूत्र पुन: लेख्न सक्छौं:

AB = २ × r × sin(θ/2)

कहाँ:
– r वृत्तको त्रिज्या हो (१० सेमी)
– AB भनेको धनुषको डोरीको लम्बाइ (१२ सेमी) हो।

sin(θ/2) लाई अलग गर्न समीकरण सेट अप गर्नुहोस्:

१२ = २ × १० × पाप(θ/२)
१२ = २० × पाप(θ/२)
पाप(θ/2) = १२/२०
पाप(θ/2) = ०.६

θ/2 को मान पत्ता लगाउनुहोस्:

θ/2 = पाप^(-1)(0.6)
θ/2 = ३६.८७°

त्यसैले,:

θ = २ × ३६.८७° = ७३.७४°

त्यसैले, केन्द्रीय कोण ∠AOB ७३.७४° छ।

केसिम्पुलन
वृत्त र तारहरूको अध्ययन गर्न आधारभूत ज्यामिति र त्रिकोणमितिको बुझाइ आवश्यक पर्दछ। माथिका उदाहरणहरूमा, हामीले समस्याहरू समाधान गर्न पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमितीय प्रकार्यहरू, र वृत्तहरूको आधारभूत गुणहरू जस्ता विभिन्न सूत्रहरू र प्रमेयहरू कसरी प्रयोग गर्ने भनेर देख्यौं।

यी अभ्यास समस्याहरू मार्फत, त्रिज्या, तारको लम्बाइ र परिणामस्वरूप केन्द्रीय कोण बीचको सम्बन्धको गहिरो बुझाइ प्राप्त गर्न सकिन्छ भन्ने आशा गरिन्छ। यो अवधारणा बुझ्नु स्कूल गणितमा मात्र नभई विज्ञान र इन्जिनियरिङका विभिन्न क्षेत्रहरूमा दैनिक प्रयोगहरूमा पनि उपयोगी छ।