वृत्त र स्पर्शरेखाको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

वृत्त र स्पर्शरेखाको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

म्याट्रिक्स ज्यामितिमा वृत्तहरू एक महत्त्वपूर्ण विषय हो, जहाँ दूरी, कोण र आकारको बारेमा गहन अवधारणाहरू प्रदर्शन गरिन्छ। यस विषयमा बारम्बार छलफल गरिने एउटा अवधारणा वृत्तको स्पर्शरेखा हो। यस लेखमा, हामी वृत्त र स्पर्शरेखाहरू समावेश गर्ने धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछौं।

वृत्त र स्पर्शरेखाको आधारभूत बुझाइ

लिंगकरण

वृत्त भनेको वृत्तको केन्द्र भनिने दिइएको बिन्दुबाट निश्चित दूरीमा रहेका समतलका सबै बिन्दुहरूको सेटबाट बनेको ज्यामितीय आकार हो। यो निश्चित दूरीलाई वृत्तको त्रिज्या भनिन्छ।

ट्यान्जेन्ट

वृत्तको स्पर्शरेखा भनेको वृत्तलाई ठीक एक बिन्दुमा छुने रेखा हो। यो बिन्दुलाई स्पर्शरेखा बिन्दु भनिन्छ। स्पर्शरेखामा धेरै महत्त्वपूर्ण गुणहरू हुन्छन्, जसमा समावेश छन्:
- स्पर्शरेखा सधैं स्पर्शबिन्दुमा वृत्तको त्रिज्यामा लम्ब हुन्छ।
- वृत्त बाहिरको बिन्दुबाट वृत्तसम्मको स्पर्शरेखाको लम्बाइ बराबर हुन्छ यदि त्यस बिन्दुबाट दुई स्पर्शरेखा कोरिए भने।

नमुना प्रश्न र छलफल

तल हामी वृत्त र स्पर्शरेखाको अवधारणालाई विस्तृत रूपमा छलफल गर्ने केही उदाहरण प्रश्नहरू प्रस्तुत गर्नेछौं।

उदाहरण प्रश्न १: ट्यान्जेन्ट रेखाको लम्बाइ पत्ता लगाउने

प्रश्न:
केन्द्र \(O\) र त्रिज्या \(r = 6 \, \text{cm}\) भएको वृत्त दिइएको छ। वृत्तको केन्द्रबाट १० सेमी टाढा रहेको वृत्त बाहिरको बिन्दु \(P\) बाट, दुई स्पर्शरेखा \(PA\) र \(PB\) वृत्तमा तानिन्छन्। स्पर्शरेखा \(PA\) को लम्बाइ गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
यस समस्यामा, हामी पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गर्न सक्छौं। त्रिकोण कोर्नुहोस् \(\triangle OAP\):
– \(OP = १० \, \text{cm}\) (बाहिरी बिन्दुबाट वृत्तको केन्द्रसम्मको दूरी)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (वृत्तको त्रिज्या)
– \(PA\) फेला पार्नुपर्ने ट्यान्जेन्ट रेखा हो

\[
OP^२ = OA^२ + PA^२
\]

\[
१०^२ = ६^२ + PA^२
\]

\[
१०० = ३६ + PA^२
\]

\[
PA^२ = ६४
\]

\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

त्यसैले, स्पर्शरेखा \(PA\) को लम्बाइ ८ सेमी छ।

उदाहरण प्रश्न २: स्पर्श बिन्दु पत्ता लगाउने

प्रश्न:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) समीकरण र रेखा \(y = 2x + 1\) भएको वृत्त दिइएको छ। वृत्त र रेखा बीचको स्पर्शबिन्दु निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
पहिले, हामी वृत्तको केन्द्र र त्रिज्या पहिचान गर्छौं:
– केन्द्र \(O(3, 4)\)
– त्रिज्या \(r = \sqrt{25} = 5\)

स्पर्शविन्दु पत्ता लगाउन, मानौं स्पर्शविन्दु \(T(x_1, y_1)\) हो जुन \(y = 2x + 1\) रेखामा पनि अवस्थित छ। त्यसपछि:

\[
y_1 = २x_1 + १
\]

\(T(x_1, y_1)\) ले वृत्तको समीकरण पनि पूरा गर्नुपर्छ:

\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]

वृत्त समीकरणमा \(y_1 = 2x_1 + 1\) प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]

\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = २५
\]

हामीले दुई वर्ग गणना गर्नुपर्छ।

\[
(x_1 – ३)^२ = x_1^२ – ६x_1 + ९
\]

\[
(२x_१ – ३)^२ = ४x_१^२ – १२x_१ + ९
\]

दुवै नतिजाहरू संयोजन गर्नुहोस्:

\[
x_१^२ – ६x_१ + ९ + ४x_१^२ – १२x_१ + ९ = २५
\]

\[
५x_१^२ – १८x_१ + १८ = २५
\]

दुबै तर्फबाट २५ घटाउनुहोस्:

\[
५x_१^२ – १८x_१ – ७ = ०
\]

द्विघात समीकरण समाधान गर्नुहोस्:

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \गुणा 5 \गुणा 7}}{2 \गुणा 5}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \गुणा 29}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]

\[
x_१ = १.८ \pm ०.४\sqrt{२९}
\]

\(y_1\) को मान गणना गर्नुहोस्:

जसले y = 2x + 1 लाई सन्तुष्ट पार्छ:
– यदि \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), भने \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– यदि \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}), भने \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)

मूल्याङ्कन:

त्यसैले हामीले त्यो रेखासँगको वृत्तको समीकरणको प्रतिच्छेदन बिन्दु दुई पाउँछौं।

उदाहरण प्रश्न ३: ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण निर्धारण गर्ने

प्रश्न:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) समीकरण भएको वृत्त दिइएको छ। \((6, 7)\) बिन्दुबाट गुज्रने वृत्तमा स्पर्शरेखाको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
ज्ञात बाह्य बिन्दुबाट केन्द्र \((h, k)\) र त्रिज्या \(r\) भएको वृत्तको स्पर्शरेखा समीकरणद्वारा पत्ता लगाउन सकिन्छ:

ट्यान्जेन्ट रेखा बाह्य बिन्दु \((x_1, y_1)\) बाट गुज्रन्छ:
\[
(x - 2)(x_1 - 2) + (y - 3)(y_1 - 3) = 20
\]

बाहिरी बिन्दु \((6, 7)\) प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
(x - 2) (6 - 2) + (y - 3) (7 - 3) = 20
\]

\[
३(x – ३) + ४(y – ४) = २५
\]

\[
४(x – २ + y – ३) = २०
\]

\[
४x + २y -२० = २०
\]

\[
४x + २y -२० = २०
\]

\[
x + y = ५
\]

स्पर्शरेखाको समीकरण यस प्रकार छ:
\[
x + y = ५
\]

त्यसैले, वृत्त रेखाको बिन्दु हुँदै रेखाको समीकरणको भिन्नता धेरै ठूलो छ र परिणाम वा दृश्य प्रतिनिधित्वको आधारमा परिवर्तन हुन सक्छ।

केसिम्पुलन

वृत्त र स्पर्शरेखाको छलफलले गणितका धेरै आधारभूत पक्षहरूलाई समेट्छ, पाइथागोरियन प्रमेय जस्ता आधारभूत सूत्रहरू लागू गर्नेदेखि लिएर द्विघात समीकरणहरू समाधान गर्नेसम्म। यी उदाहरणहरू मार्फत, हामी केही जटिल परिस्थितिहरूमा यी अवधारणाहरू कसरी लागू गर्ने भन्ने बारे राम्रो बुझाइ विकास गर्न सक्छौं। आशा छ, यस लेखले वृत्त र स्पर्शरेखासँग सम्बन्धित समस्याहरूलाई कसरी सम्बोधन गर्ने र समाधान गर्ने भन्ने स्पष्ट तस्वीर प्रदान गर्न मद्दत गरेको छ।