प्रकार्यहरूको व्युत्पन्नताको अवधारणा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

प्रकार्य व्युत्पन्नहरूको अवधारणाको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल

प्रकार्यको व्युत्पन्न क्याल्कुलसमा एक आधारभूत अवधारणा हो जसको भौतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र र इन्जिनियरिङ जस्ता विभिन्न विषयहरूमा व्यापक प्रयोगहरू छन्। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू समेट्नेछ र यस विषयको गहिरो बुझाइ प्रदान गर्न प्रकार्यको व्युत्पन्नको अवधारणामाथि छलफल गर्नेछ।

व्युत्पन्नहरूको आधारभूत परिभाषा

उदाहरण प्रश्नहरूमा प्रवेश गर्नु अघि, व्युत्पन्नहरूको परिभाषा र आधारभूत कुराहरूको संक्षिप्त समीक्षा गर्नु राम्रो हुन्छ। \( x = a \) बिन्दुमा रहेको प्रकार्य \( f(x) \) को व्युत्पन्न यो हो:
\[ f'(a) = \lim_{{h \देखि ०}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]

प्रकार्य \( f'(x) \) लाई \( f(x) \) को व्युत्पन्न प्रकार्य भनिन्छ।

उदाहरण प्रश्न १: आधारभूत बहुपदीय व्युत्पन्नहरू

प्रश्न:
प्रकार्यको पहिलो व्युत्पन्न \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
आधारभूत व्युत्पन्न नियम \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) प्रयोग गर्नुहोस्।

१. \( ३x^३ \) को लागि:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]

२. \( -५x^२ \) को लागि:
\[ \frac{d}{dx}(-५x^२) = -५ \cdot २x^{२-१} = -१०x \]

३. \( २x \) को लागि:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]

४. \( -७ \) को लागि:
\[ \frac{d}{dx}(-7) = ० \]

यसरी:
\[ f'(x) = १५x^२ – ६x + ६ \]

उदाहरण प्रश्न २: त्रिकोणमितीय कार्यहरूको व्युत्पन्न

प्रश्न:
प्रकार्यको पहिलो व्युत्पन्न \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
गुणनफल नियम \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) प्रयोग गर्नुहोस् जसमा \( u(x) = \sin(x) \) र \( v(x) = \cos(x) \) पर्छ।

१. \( \sin(x) \) को व्युत्पन्न \( \cos(x) \ हो, त्यसैले \( u'(x) = \cos(x) \)।

२. \( \cos(x) \) को व्युत्पन्न \( -\sin(x) \ हो, त्यसैले \( v'(x) = -\sin(x) \)।

प्रतिस्थापन \( u'(x) \) र \( v'(x) \):
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \पाप(x) \cdot (-\पाप(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]

अन्तिम नतिजा:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]

उदाहरण ३: घातांकीय प्रकार्यको व्युत्पन्न

प्रश्न:
प्रकार्य \( h(x) = e^{2x} \) को पहिलो व्युत्पन्न पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
घातांकीय प्रकार्य \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) को व्युत्पन्नको नियम \( k = 2 \) सँग प्रयोग गर्नुहोस्।

\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = २ \cdot e^{2x} \]

अन्तिम नतिजा:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]

उदाहरण प्रश्न ४: लोगारिदमिक प्रकार्यको व्युत्पन्न

प्रश्न:
प्रकार्यको पहिलो व्युत्पन्न \( p(x) = \ln(3x + 1) \) पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
लघुगणक प्रकार्य \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) को व्युत्पन्नको नियमलाई \( u(x) = 3x + 1 \) सँग प्रयोग गर्नुहोस्।

१. भित्री व्युत्पन्न \( u(x) = 3x + 1 \) पत्ता लगाउनुहोस्:
\[ u'(x) = ३ \]

२. लघुगणकीय व्युत्पन्न नियम प्रयोग गर्नुहोस्:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]

अन्तिम नतिजा:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]

उदाहरण प्रश्न ५: व्युत्पन्नहरूको प्रयोग - अधिकतम र न्यूनतम

प्रश्न:
अन्तराल \( x \in [-2, 2] \) मा \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) प्रकार्यको अधिकतम र न्यूनतम मानहरू पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
१. \( q(x) \) को पहिलो व्युत्पन्न पत्ता लगाउनुहोस्:
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-२x^३ + ३x^२ + १२x – ५) \]
\[ q'(x) = -६x^२ + ६x + १२ \]

२. \( q'(x) = 0 \) समाधान गरेर स्थिर बिन्दुहरू पत्ता लगाउनुहोस्:
\[ -६x^२ + ६x + १२ = ० \]
\[ -६(x^२ – x – २) = ० \]
\[ x^२ – x – २ = ० \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]

स्थिर बिन्दुहरू \( x = 2 \) र \( x = -1 \) हुन्।

३. महत्वपूर्ण बिन्दुहरू र अन्तराल सीमाहरूमा \( q(x) \) मूल्याङ्कन गर्नुहोस्:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = १६ + १२ – २४ – ५ \]
\[ = -१ \]

\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -१६ + १२ + २४ – ५ \]
\[ = १.३ \]

\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = १६ + १२ – २४ – ५ \]
\[ = -१ \]

४. नतिजाको मूल्याङ्कन:
– अधिकतम मान \( x = 2 \) मा \( q(2) = 15 \) सँग हुन्छ।
– न्यूनतम मान \( x = -1 \) मा \( q(-1) = -12 \) सँग हुन्छ।

बन्द

विज्ञानका विभिन्न क्षेत्रहरूमा प्रकार्यको व्युत्पन्नको अवधारणाको पूर्ण बुझाइ महत्त्वपूर्ण छ। आशा छ, माथिका उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरूले अवधारणाको तपाईंको बुझाइलाई गहिरो बनाउन मद्दत गर्नेछ। व्यवहारमा, हामीले प्रायः जटिल समस्याहरू समाधान गर्न विभिन्न नियमहरू र प्रमेयहरू संयोजन गर्नुपर्छ। खुसीको सिकाइ!