द्विघात प्रकार्यहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

द्विघात प्रकार्यहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

द्विघात प्रकार्यहरू गणितमा, विशेष गरी माध्यमिक गणितमा छलफल गरिने महत्त्वपूर्ण विषय हो। यस प्रकार्यको सामान्य रूप \( f(x) = ax^2 + bx + c \) छ, जहाँ \(a\), \(b\), र \(c\) \(a \neq 0\) सँग स्थिरांकहरू हुन्। यस लेखले विद्यार्थीहरूलाई यो अवधारणालाई राम्रोसँग बुझ्न मद्दत गर्न विस्तृत व्याख्याहरू सहित द्विघात प्रकार्यहरूसँग सम्बन्धित धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछ।

१. द्विघात प्रकार्यको जरा निर्धारण गर्ने

प्रश्न १: निम्न द्विघात प्रकार्यको जरा पत्ता लगाउनुहोस्:

\[ f(x) = २x^२ – ३x – ५ \]

छलफल:

द्विघात प्रकार्यको जरा पत्ता लगाउन, हामी द्विघात सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं, अर्थात्:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

द्विघात प्रकार्य \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \) मा, हामी \(a\), \(b\), र \(c\) को मानहरू पहिचान गर्न सक्छौं:

– \( a = २ \)
– \( ख = -३ \)
– \( ग = -५ \)

चरणहरू यस प्रकार छन्:

१. विभेदक पत्ता लगाउनुहोस् (\( \Delta \)):

\[ \डेल्टा = b^२ – ४ac \]
\[ \डेल्टा = (-३)^२ – ४(२)(-५) \]
\[ \डेल्टा = ९ + ४० \]
\[ \डेल्टा = ४९ \]

२. जरा पत्ता लगाउन द्विघात सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\डेल्टा}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{३ \pm ७}{४} \]

त्यसैले हामी दुई समाधान पाउँछौं:

\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

त्यसैले प्रकार्यको मूल \( x = 2.5 \) र \( x = -1 \) हुन्।

२. द्विघात प्रकार्यको शीर्षस्थान निर्धारण गर्ने

प्रश्न २: निम्न द्विघात प्रकार्यको शीर्षस्थान निर्धारण गर्नुहोस्:

\[ g(x) = -x^2 + ४x – ३ \]

छलफल:

द्विघात प्रकार्यको शीर्षस्थान सूत्र प्रयोग गरेर निर्धारण गर्न सकिन्छ:

\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \फ्राक{-ख}{२क} \]

द्विघात प्रकार्य \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \) मा, हामी \(a\), \(b\), र \(c\) को मानहरू पहिचान गर्न सक्छौं:

– \( a = -1 \)
– \( ख = ४ \)
– \( ग = -५ \)

चरणहरू यस प्रकार छन्:

१. शीर्षको मान \( x \) पत्ता लगाउनुहोस्:

\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \फ्राक{-ख}{२क} \]
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \फ्राक{-४}{-२} \]
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = २ \]

२. प्रकार्यमा \( x_{\text{vertex}} \) लाई प्रतिस्थापन गरेर \( y \) को मान पत्ता लगाउनुहोस्:

\[ y_{\पाठ{शीर्षभाग}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vertex}} = – (२)^२ + ४(२) – ३ \]
\[ y_{\text{vertex}} = -४ + ८ – ३ \]
\[ y_{\पाठ{शीर्षभाग}} = १ \]

त्यसैले प्रकार्यको शीर्षभाग \( (2, 1) \) हो।

३. द्विघात प्रकार्य ग्राफ कोर्ने

प्रश्न ३: निम्न द्विघात प्रकार्यको ग्राफ कोर्नुहोस्:

\[ h(x) = x^२ – २x – ३ \]

छलफल:

द्विघात प्रकार्यको ग्राफ कोर्नु अघि, हामीले धेरै महत्त्वपूर्ण बुँदाहरू जान्न आवश्यक छ, जस्तै प्याराबोलाको जरा, शीर्ष र दिशा।

जरा निर्धारण गर्दै

हामी \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \ को मूल पत्ता लगाउन द्विघात सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं):

\" a = ० \]
\[ ख = -२ \]
\[ ग = -३ \]

१. विभेदक गणना गर्नुहोस्:
\[ \डेल्टा = b^२ – ४ac \]
\[ \डेल्टा = (-३)^२ – ४(२)(-५) \]
\[ \डेल्टा = ९ + ४० \]
\[ \डेल्टा = ४९ \]

२. जरा गणना गर्नुहोस्:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\डेल्टा}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{३ \pm ७}{४} \]

त्यसैले हामी दुई समाधान पाउँछौं:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

शिखर बिन्दु निर्धारण गर्दै

३. शीर्ष सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \फ्राक{-ख}{२क} \]
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\पाठ{शीर्षभाग}} = २ \]

४. \( y \) को मान गणना गर्नुहोस्:
\[ y_{\पाठ{शीर्षभाग}} = h(1) \]
\[ y_{\text{vertex}} = (१)^२ – २(१) – ३ \]
\[ y_{\text{vertex}} = १ – २ – ३ \]
\[ y_{\पाठ{शीर्षभाग}} = -४ \]

त्यसैले शीर्षस्थान \( (1, -4) \) हो।

रेखाचित्रहरू कोर्दै

– जराहरू \( x = 3 \) र \( x = -1 \) मा छन्।
– शीर्षभाग \( (1, -4) \) मा छ।
– \( a > 0 \) देखि, प्याराबोला माथितिर खुल्छ।

यी महत्त्वपूर्ण बिन्दुहरूलाई ग्राफमा राख्नुहोस् र तिनीहरूबाट गुज्रने प्याराबोला कोर्नुहोस्।

प्याराबोलाको जरा, शीर्ष र दिशा बुझेर, हामी द्विघात प्रकार्यको अझ उत्तम ग्राफ कोर्न सक्छौं।

केसिम्पुलन

द्विघात प्रकार्य गणितमा व्यापक प्रयोगहरू भएको एक आधारभूत अवधारणा हो। द्विघात प्रकार्यहरू बुझ्नाले हामीलाई गणित र व्यावहारिक विज्ञानमा अन्य अवधारणाहरूको हाम्रो बुझाइलाई गहिरो बनाउन मद्दत गर्दछ। उदाहरणहरू प्रयोग गरेर अभ्यास गरेर र तिनीहरूलाई समाधान गर्ने चरणहरू बुझेर, द्विघात प्रकार्यहरूको हाम्रो बुझाइ गहिरो हुनेछ र अझ लागू हुनेछ भन्ने आशा गरिन्छ।