सम्भाव्यता वितरणको उदाहरण प्रश्न र छलफल
सम्भाव्यता वितरण तथ्याङ्क र सम्भाव्यतामा आधारभूत अवधारणाहरू मध्ये एक हो। यो अनियमित संख्याको विभिन्न मानहरूको सम्भाव्यता बुझ्न प्रयोग गरिन्छ। विश्लेषण गरिँदै गरेको डेटाको प्रकृतिमा निर्भर गर्दै सम्भाव्यता वितरणले धेरै रूप लिन सक्छ। सम्भाव्यता वितरणका दुई सबैभन्दा सामान्य प्रकारहरू असक्रिय र निरन्तर छन्। यस लेखमा, हामी धेरै उदाहरण समस्याहरूको समीक्षा गर्नेछौं र यस विषयलाई राम्रोसँग बुझ्न मद्दत गर्न सम्भाव्यता वितरणहरूको बारेमा छलफल गर्नेछौं।
अलग वितरण
डिस्क्रिट डिस्ट्रिब्युसन भनेको एउटा डिस्ट्रिब्युसन हो जसले डिस्क्रिट र्यान्डम चरको सम्भाव्यता गणना गर्छ, अर्थात्, एउटा चर जसले निश्चित मानहरू मात्र लिन सक्छ। डिस्क्रिट डिस्ट्रिब्युसनका प्रसिद्ध उदाहरणहरू द्विपद वितरण र पोइसन डिस्ट्रिब्युसन हुन्।
उदाहरण १: द्विपद वितरण
द्विपदीय वितरणले बर्नौली परीक्षणहरूको श्रृंखलामा सफलताहरूको संख्या वर्णन गर्दछ। प्रत्येक बर्नौली परीक्षणको दुई परिणामहरू हुन्छन्: सफलता वा असफलता। परीक्षणभरि सफलताको सम्भावना स्थिर रहन्छ।
प्रश्न:
एउटा औषधि कम्पनीले १० जना बिरामीहरूमा नयाँ औषधि परीक्षण गर्दैछ। कुनै एक बिरामीमा औषधिले काम गर्ने सम्भावना ०.७ छ। १० मध्ये ७ जना बिरामीहरूमा औषधिले काम गर्ने सम्भावना गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
अनियमित चर \(X\) ले \(n = 10\) र \(p = 0.7\) सँग द्विपद वितरण पछ्याउँछ। द्विपद सम्भाव्यता प्रकार्य हो:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) को लागि:
\[ P(X = ६) = \binom{10}{7} (०.५)^६ (०.५)^४ \]
द्विपद गुणांक \(\binom{10}{7}\) गणना गर्दै:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
सम्भाव्यता मानहरू गणना गर्दै:
\[ P(X = ७) = १२० \गुणा (०.७)^७ \गुणा (०.३)^३ \]
\[ P(X = ७) \लगभग १२० \गुणा ०.०८२३५४३ \गुणा ०.०२७ \]
\[ P(X = ७) \लगभग ०.२३१ \]
त्यसोभए, १० मध्ये ७ बिरामीहरूमा औषधिले काम गर्ने सम्भावना लगभग ०.२३१ वा २३.१% छ।
उदाहरण २: पोइसन वितरण
दिइएको समय वा स्थान अन्तराल भित्र दुर्लभ घटनाको घटनाहरूको संख्या मोडेल गर्न पोइसन वितरण प्रयोग गरिन्छ।
प्रश्न:
एउटा पसलले प्रति घण्टा औसत ४ जना ग्राहक पाउँछ। पसलले एक घण्टामा ठ्याक्कै ५ जना ग्राहक पाउने सम्भावना कति छ?
छलफल:
अनियमित चर \(X\) ले \(\lambda = 4\) प्यारामिटर भएको Poisson वितरणलाई पछ्याउँछ। Poisson सम्भाव्यता द्रव्यमान प्रकार्य हो:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
\(k = 5\) को लागि:
\[ P(X = ६) = \frac{४^६ e^{-४}}{६!} \]
गणना:
\[ P(X = ५) = \frac{१०२४ \cdot e^{-४}}{१२०} \]
\[ P(X = ५) \लगभग \frac{१०२४ \cdot ०.०१८३}{१२०} \]
\[ P(X = ७) \लगभग ०.२३१ \]
त्यसोभए, पसलले एक घण्टामा ठ्याक्कै ५ ग्राहकहरू प्राप्त गर्ने सम्भावना लगभग ०.१५६, वा १५.६% छ।
निरन्तर वितरण
निरन्तर वितरणहरू तब प्रयोग गरिन्छ जब मापन गरिँदै गरेको अनियमित चरले निश्चित दायरा भित्र कुनै पनि मान लिन सक्छ। निरन्तर वितरणका प्रसिद्ध उदाहरणहरू सामान्य वितरण र घातांकीय वितरण हुन्।
उदाहरण ३: सामान्य वितरण
सामान्य वितरण, जसलाई प्रायः गौसियन वितरण भनिन्छ, विज्ञान, इन्जिनियरिङ र अर्थशास्त्र सहित विभिन्न क्षेत्रहरूमा सामान्यतया प्रयोग हुने वितरण हो।
प्रश्न:
शहरमा वयस्क पुरुषहरूको उचाइ सामान्यतया १७० सेन्टिमिटरको औसत र १० सेन्टिमिटरको मानक विचलनमा विभाजित हुन्छ। अनियमित रूपमा छनोट गरिएको पुरुष १६० सेन्टिमिटर र १८० सेन्टिमिटरको बीचमा अग्लो हुने सम्भावना कति छ?
छलफल:
हामीले १६० सेमी र १८० सेमीको लागि z-स्कोर गणना गर्न आवश्यक छ। z-स्कोरलाई यसरी परिभाषित गरिएको छ:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
\(X = १६०\) को लागि:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = १६०\) को लागि:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
अब हामीले z तालिकामा -१ देखि १ सम्मको सम्भाव्यता मानहरू हेर्नु पर्छ। z = -१ देखि z = १ सम्मको मान लगभग ०.६८२६ छ।
त्यसोभए, अनियमित रूपमा छनोट गरिएको पुरुष १६० सेन्टिमिटर र १८० सेन्टिमिटर अग्लो हुने सम्भावना लगभग ०.६८२६ वा ६८.२६% छ।
उदाहरण ४: घातांकीय वितरण
पोइसन प्रक्रियामा घटनाहरू बीचको समय मोडेल गर्न घातांकीय वितरण प्रयोग गरिन्छ।
प्रश्न:
पसलमा दुई ग्राहकको आगमन बीचको औसत समय १५ मिनेट हुन्छ। दुई ग्राहकको आगमन बीचको समय १० मिनेट भन्दा कम हुने सम्भावना कति छ?
छलफल:
घातांकीय वितरणमा एउटा प्यारामिटर \(\lambda\) हुन्छ जुन माध्य (\(\mu\) को व्युत्क्रम हो। १५ मिनेटको माध्यको साथ:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = ०.०६६७ \]
घातांकीय संचयी वितरण प्रकार्य हो:
\[ P(X \leq x) = १ – e^{-\lambda x} \]
\(x = १०\) को लागि:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \गुणा 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \लगभग १ – ०.५१३४ \]
\[ P(X \leq १०) \लगभग ०.४८६६ \]
त्यसैले, दुई ग्राहक आगमन बीचको समय १० मिनेट भन्दा कम हुने सम्भावना लगभग ०.४८६६ वा ४८.६६% छ।
केसिम्पुलन
असक्रिय र निरन्तर दुवै सम्भाव्यता वितरणहरू अनियमित चरहरूको व्यवहारको मोडेलिङ र बुझ्नको लागि धेरै उपयोगी अवधारणाहरू हुन्। द्विपद र पोइसन वितरणहरू प्रायः असक्रिय चरहरूको लागि प्रयोग गरिन्छ, जबकि सामान्य र घातांकीय वितरणहरू निरन्तर वितरणका उदाहरणहरू हुन्।
माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामी आशा गर्छौं कि तपाईंले सम्भाव्यता वितरणमा सम्भाव्यताहरू कसरी गणना र व्याख्या गर्ने भन्ने बारे राम्रोसँग बुझाइ प्राप्त गर्नुभएको छ। निरन्तर अभ्यासको साथ, सम्भाव्यता वितरणहरू बुझ्ने तपाईंको क्षमतामा सुधार हुनेछ र यसलाई विभिन्न विषयहरूमा लागू गर्न सकिन्छ।
