अंकगणित शृङ्खलाको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
अंकगणितीय अनुक्रमहरू गणितमा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन माध्यमिक विद्यालय र उच्च शिक्षा दुवैमा विभिन्न समस्याहरूमा बारम्बार देखा पर्दछ। यस अवधारणामा संख्याहरूको अनुक्रम समावेश छ जहाँ प्रत्येक पद अघिल्लो पदबाट स्थिर संख्या थप्ने वा घटाउने परिणाम हो। यस लेखमा, हामी अंकगणितीय अनुक्रमहरूको अवधारणालाई थप बुझ्नको लागि धेरै उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूका समाधानहरू छलफल गर्नेछौं।
अंकगणित शृङ्खला बुझ्दै
अंकगणितीय श्रृंखला भनेको दुई लगातार पदहरू बीच स्थिर भिन्नता (फरक) भएको श्रृंखला हो। उदाहरणका लागि, यदि अंकगणितीय श्रृंखलामा पहिलो पद \(a\) र भिन्नता \(d\) छ भने, पदहरू निम्नानुसार लेख्न सकिन्छ:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
यदि हामी यस श्रृंखलाको n औं पद पत्ता लगाउन चाहन्छौं भने, n औं पद ((U_n\)) को लागि सूत्र यो हो:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
यसैबीच, अंकगणितीय श्रृंखला (\(S_n\)) को पहिलो n पदहरूको योगफल सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
नमुना प्रश्न र छलफल
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: पहिलो पद \(a = 5\) र सामान्य भिन्नता \(d = 3\) भएको अंकगणितीय श्रृंखला दिइएको छ। श्रृंखलाको १० औं पद पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल:
१० औं पद (\(U_{10}\)) पत्ता लगाउन, हामी n औं पद सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = ५ + (९ \cdot ३) \]
\[ U_{10} = ५ + २७ \]
\[ U_{10} = ३२ \]
त्यसैले, शृङ्खलाको १० औं टर्म ३२ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: अंकगणितीय श्रृंखलाका पहिलो १५ पदहरूको योगफल पत्ता लगाउनुहोस् जसको पहिलो पद \(a = 4\) छ र सामान्य भिन्नता \(d = 7\) छ।
छलफल:
पहिलो १५ पदहरूको योगफल (\(S_{15}\)) पत्ता लगाउन, हामी पहिलो n पदहरूको योगफलको लागि सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = १० \cdot 53 \]
\[ S_{15} = ८०० \]
त्यसैले, शृङ्खलाको पहिलो १५ पदहरूको योगफल ७९५ हुन्छ।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: अंकगणितीय श्रृंखलाको पाँचौं पद २० र १२ औं पद ४८ हो भन्ने कुरा थाहा छ। श्रृंखलाको पहिलो पद (\(a\)) र साझा भिन्नता (\(d\)) पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल:
दिइएको अवस्थाबाट:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + ११d = ४८ \]
हामीसँग दुई चरहरू भएका दुई रेखीय समीकरणहरू छन् जुन हामीले समाधान गर्न सक्छौं:
२. \( a + ११d = ४८ \)
२. \( a + ११d = ४८ \)
समीकरण १ बाट, हामी \(a\) लाई \(d\) को सर्तमा व्यक्त गर्न सक्छौं:
\[ a = २० – ४d \]
अब हामी \(a\) लाई समीकरण २ मा प्रतिस्थापन गर्छौं:
\[ २० – ४ दिन + ११ दिन = ४८ \]
\[ २० + ७ दिन = ४८ \]
\[ ३d = १५ \]
\[ घ = ३ \]
अब हामी \(d\) को मानलाई समीकरण \(a = २० – ४d\) मा प्रतिस्थापन गर्छौं:
\[ a = २० – ४ \cdot ४ \]
\[ a = २० – १६ \]
\" a = ० \]
त्यसैले, शृङ्खलाको पहिलो पद ४ हो र साझा भिन्नता ४ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: पहिलो पद \(a = 2\) र सामान्य भिन्नता \(d = 5\) भएको अंकगणितीय श्रृंखलाको योगफल २०० हुन कति पदहरू आवश्यक पर्छ?
छलफल:
यस अवस्थामा, हामीले पहिलो n पदहरूको योगफल (\(S_n\)) पत्ता लगाउनु पर्छ जुन २०० बराबर हुन्छ। पहिलो n पदहरूको योगफलको लागि सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = २०० \]
\(a\) र \(d\) को मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (५n – १) = ४०० \]
यो एक द्विघात समीकरण हो। यसलाई समाधान गर्न, हामी यसको रूप परिवर्तन गर्छौं:
\[ ५n^२ – n – ४०० = ० \]
वर्ग सूत्र \(ax^2 + bx + c = 0\) प्रयोग गर्नुहोस्:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
यस अवस्थामा \(a = 5\), \(b = -1\), र \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\) को मान ८९.४२ को नजिक छ, त्यसपछि:
\[ n = \frac{१ \pm ८९.४२}{१०} \]
हामी सकारात्मक मानहरू लिन्छौं:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \लगभग \frac{90.42}{10} \]
\[ n \लगभग ९.०४२ \]
त्यसैले, आवश्यक पदहरूको संख्या ९ पदहरू हो (यदि गोलाकार गरियो भने)।
केसिम्पुलन
अंकगणितीय अनुक्रमहरू गणितमा एक महत्त्वपूर्ण विषय हो। विभिन्न प्रकारका समस्याहरू समाधान गर्न पहिलो पद, सामान्य भिन्नता, nth पद, र पहिलो n पदहरूको योगफलको पूर्ण बुझाइ अमूल्य छ। माथिका उदाहरणहरू र छलफलहरू प्रयोग गरेर, पाठकहरूले अंकगणितीय अनुक्रमहरूको आधारभूत अवधारणाहरूको राम्रो बुझाइ प्राप्त गर्ने आशा गरिन्छ।
