गोलाकार चापहरूमा छलफल प्रश्नको उदाहरण
ज्यामितिमा, वृत्त एउटा समतल आकृति हो जसमा अध्ययन गर्न धेरै रोचक अवधारणाहरू छन्, जसमध्ये एउटा चाप हो। चाप भनेको वृत्तको किनाराको त्यो भाग हो जुन वृत्तमा दुई बिन्दुहरू बीच हुन्छ। यस लेखमा, हामी चापसँग सम्बन्धित विभिन्न उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूको समाधानहरूको अन्वेषण गर्नेछौं।
गोलाकार चापहरूको आधारभूत बुझाइ
उदाहरण प्रश्नहरूमा जानु अघि, पहिले केही आधारभूत अवधारणाहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ:
१. घेरा:
वृत्त भनेको कुनै समतलमा रहेका सबै बिन्दुहरूको संग्रह हो जुन दिइएको केन्द्र बिन्दुबाट समान दूरीमा छन्।
२. त्रिज्या (औँलाहरू):
त्रिज्या भनेको वृत्तको केन्द्रबाट वृत्तको किनारमा रहेको कुनै पनि बिन्दुसम्मको दूरी हो।
३. व्यास:
व्यास भनेको वृत्तको किनाराको एउटा बिन्दुबाट केन्द्र हुँदै विपरीत दिशाको अर्को बिन्दुसम्मको सबैभन्दा लामो दूरी हो। व्यास त्रिज्याको दोब्बर हुन्छ।
४. धनुष:
चाप भनेको वृत्तको किनाराको भाग हो। यदि बिन्दु A र B वृत्तको किनारामा छन् भने, चाप AB भनेको A र B बीचको वृत्तको भाग हो।
वृत्तका चापहरूसँग सम्बन्धित सूत्रहरू
चापको लम्बाइ नाप्नको लागि, हामीले धेरै सूत्रहरू बुझ्नु आवश्यक छ:
१. चाप लम्बाइ (L):
गोलाकार चापको लम्बाइ भनेको चाप समावेश भएको वृत्तको किनाराको लम्बाइ हो। सूत्र यस प्रकार छ:
\[
L = r \पटक \थिटा
\]
जहाँ \( r \) वृत्तको त्रिज्या हो र \( \theta \) चापलाई काट्ने रेडियनमा केन्द्रीय कोण हो।
२. डिग्रीमा चाप लम्बाइ:
यदि केन्द्रीय कोण डिग्रीमा छ भने, हामी सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \गुणा २\pi r
\]
जहाँ \( \theta \) डिग्रीमा केन्द्रीय कोण हो।
नमुना प्रश्न र छलफल
प्रश्न १: चाप लम्बाइ गणना गर्दै
विवरण:
एउटा वृत्तको त्रिज्या १० सेन्टिमिटर हुन्छ। ६० डिग्रीको केन्द्रीय कोणले घेरिएको चापको लम्बाइ गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
– वृत्तको त्रिज्या (\( r \)) = १० सेमी
– केन्द्रीय कोण (\( \theta \)) = ६०°
डिग्रीमा चाप लम्बाइ सूत्र प्रयोग गर्दै:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{1}{6} \गुणा २ \pi \गुणा १० \पाठ{ सेमी}
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{cm}
\]
\[
L \लगभग १८.८५ \पाठ{ सेमी}
\]
त्यसैले, चापको लम्बाइ लगभग १०.४७ सेन्टिमिटर छ।
प्रश्न २: चाप लम्बाइबाट केन्द्रीय कोण निर्धारण गर्ने
विवरण:
१४ सेमीको त्रिज्या भएको वृत्तमा चापको लम्बाइ २२ सेमी हुन्छ। चापलाई डिग्रीमा काट्ने केन्द्रीय कोण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
– वृत्तको त्रिज्या (\( r \)) = १० सेमी
– चापको लम्बाइ (\( L \)) = २२ सेमी
\( \theta \) पत्ता लगाउन चाप लम्बाइ सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
ज्ञात मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
२२ = \frac{\theta}{360^\circ} \गुणा २ \pi \गुणा १४
\]
आइसोलेसन \( \theta \):
\[
२२ = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
२२ \ गुणा ३६०^\ सर्क = \ थिटा \ गुणा २८ \ pi
\]
\[
७९२० = \theta \times २८ \pi
\]
\[
\theta = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
\theta \ लगभग ९०.७२^\सर्कल
\]
त्यसैले, केन्द्रीय कोणको आकार लगभग ९०.७२ डिग्री हुन्छ।
प्रश्न ३: क्षेत्रको क्षेत्रफल गणना गर्ने
विवरण:
वृत्तको एउटा क्षेत्रफल १२० डिग्रीको केन्द्रीय कोण र ७ सेन्टिमिटर त्रिज्याले बनेको हुन्छ। क्षेत्रफल निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
– वृत्तको त्रिज्या (\( r \)) = १० सेमी
– केन्द्रीय कोण (\( \theta \)) = ६०°
क्षेत्रको क्षेत्रफलको लागि सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
ज्ञात मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
\]
\[
A = \frac{1}{3} \times \pi \times 49
\]
\[
क = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \लगभग ५१.४३ \पाठ{ सेमी}^२
\]
त्यसैले, क्षेत्रको क्षेत्रफल लगभग ५१.४३ सेमी² छ।
प्रश्न ४: क्षेत्रफलबाट चाप निर्धारण गर्ने
विवरण:
६ सेमी त्रिज्या भएको वृत्तको क्षेत्रफल १८π सेमी² हुन्छ। क्षेत्रफलको चापको लम्बाइ कति हुन्छ?
छलफल:
– वृत्तको त्रिज्या (\( r \)) = १० सेमी
– क्षेत्रफल (\( A \)) = १८π सेमी²
केन्द्रीय कोण \( \theta \) पत्ता लगाउन क्षेत्रफल सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
ज्ञात मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
१८\pi = \frac{\theta}{३६०^\circ} \times \pi \times ६^२
\]
\[
१८\pi = \frac{\theta}{३६०^\circ} \times ३६\pi
\]
\[
१८ = \frac{\theta}{३६०^\circ} \गुणा ३६
\]
\[
१८ \ गुणा ३६०^\ सर्क = \ थिटा \ गुणा ३६
\]
\[
६४८० = \theta \ गुणा ३६
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
\theta = १८०^\सर्कल
\]
अब, १८० डिग्रीको केन्द्रीय कोणको साथ, हामी चापको लम्बाइ निर्धारण गर्छौं:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = \frac{1}{2} \गुणा २ \pi \गुणा ६
\]
\[
L = \pi \गुणा ६
\]
\[
L \लगभग १८.८५ \पाठ{ सेमी}
\]
त्यसैले, धनुषको लम्बाइ लगभग १८.८५ सेन्टिमिटर हुन्छ।
केसिम्पुलन
गोलाकार चापहरू बुझ्नु र तिनीहरूलाई कसरी गणना गर्ने भन्ने कुरा सामान्य रूपमा ज्यामिति र गणितमा एक आवश्यक आधार हो। यस लेखमा छलफल गरिएका उदाहरणहरू मार्फत, पाठकहरूले चापको लम्बाइ, क्षेत्रफल कसरी गणना गर्ने र चापलाई काट्ने केन्द्रीय कोण कसरी निर्धारण गर्ने भन्ने बारे राम्रोसँग बुझाइ प्राप्त गर्ने अपेक्षा गरिएको छ। यी आधारभूत अवधारणाहरूको राम्रो बुझाइ वृत्तहरूसँग सम्बन्धित विभिन्न समस्याहरू समाधान गर्न धेरै उपयोगी हुनेछ।
