जटिल संख्याहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
जटिल संख्याहरू हाई स्कूल र कलेज दुवै स्तरमा गणितमा बारम्बार भेटिने विषय हुन्। जटिल संख्याहरू दुई भागहरू मिलेर बनेका हुन्छन्: एउटा वास्तविक भाग र एउटा काल्पनिक भाग। परम्परागत सङ्केतन प्रयोग गरेर, एउटा जटिल संख्यालाई \( z = a + bi \) को रूपमा लेखिन्छ, जहाँ \( a \) र \( b \) वास्तविक संख्याहरू हुन्, र \( i \) भनेको \( i^2 = -1 \) गुण भएको काल्पनिक एकाइ हो। यस लेखले आधारभूत सञ्चालनदेखि समस्या समाधानमा प्रयोग हुने अनुप्रयोगहरूसम्म जटिल संख्याहरूको बारेमा धेरै उदाहरणहरू र तिनीहरूको छलफललाई समेट्नेछ।
नमुना प्रश्न र छलफल
१. जटिल संख्याहरूको जोड र घटाउ
प्रश्न १
चलो \( z_1 = 3 + 4i \) र \( z_2 = 1 – 2i \)। गणना गर्नुहोस् \( z_1 + z_2 \) र \( z_1 – z_2 \)।
छलफल
जटिल संख्याहरू थप्न वा घटाउन, हामी केवल वास्तविक भागलाई वास्तविकसँग र काल्पनिक भागलाई काल्पनिकसँग सञ्चालन गर्छौं।
थप:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i
\]
घटाउ:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
त्यसैले, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) र \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \)।
२. जटिल संख्याहरूको गुणन
प्रश्न १
\( z_1 = 2 + 3i \) को गुणनफल \( z_2 = 4 – i \) द्वारा गणना गर्नुहोस्।
छलफल
दुई जटिल संख्याहरूलाई गुणन गर्न, हामी बीजगणितको वितरणात्मक गुण प्रयोग गर्छौं:
\[
z_1 \cdot z_2 = (२ + ३i)(४ – i)
\]
हामी प्रत्येक घटकलाई गुणा गर्छौं:
\[
२ \cdot ४ + २ \cdot (-i) + ३i \cdot ४ + ३i \cdot (-i)
\]
\[
= ८ – २i + १२i – ३i^२
\]
\( i^2 = -1 \) देखि, त्यसपछि:
\[
= ८ – २i + १२i + ३ = ११ + १०i
\]
त्यसैले, गुणनफल \( z_1 \cdot z_2 \) \( 11 + 10i \) हो।
३. जटिल संख्याहरूको विभाजन
प्रश्न १
\( z_1 = 3 + 4i \) को भागफल \( z_2 = 1 – i \) द्वारा गणना गर्नुहोस्।
छलफल
जटिल संख्यालाई भाग गर्न, हामीले अंश र हरलाई जटिल संख्याको हरको संयुग्मीले गुणन गर्छौं। \( 1 – i \) को संयुग्मी \( 1 + i \) हो।
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
पहिले हर गणना गरौं:
\[
(१ – i)(१ + i) = १ – i^२ = १ – (-१) = २
\]
अब हामी अंश गणना गर्छौं:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
त्यसैले, परिणाम यस्तो छ:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
४. जटिल संख्याहरूको मोड्युलस र तर्क
प्रश्न १
\( z = 1 + i \) को मोड्युलस र तर्क निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
जटिल संख्या \( z = a + bi \) को मोड्युलस यो हो:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
\( z = 1 + i \) को लागि, हामीसँग \( a = 1 \) र \( b = 1 \) छ:
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
जटिल संख्याको तर्क भनेको धनात्मक वास्तविक अक्षसँग बनेको कोण \( \theta \) हो, जुन उत्पत्तिबाट बिन्दु \( (a, b) \) तिर मापन गरिन्छ।
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = frac{\pi}{4}
\]
त्यसैले, \( z = 1 + i \) को मोड्युलस \( \sqrt{2} \) हो र तर्क \( \frac{\pi}{4} \) हो।
५. घातांकीय रूप र युलर ढाँचा
प्रश्न १
जटिल संख्या \( z = 1 + i \) लाई घातांकीय रूपमा रूपान्तरण गर्नुहोस्।
छलफल
युलरको सूत्र प्रयोग गरेर जटिल संख्याहरूको घातांकीय रूप:
\[
z = पुन: i\theta}
\]
जहाँ \( r \) मोड्युलस हो र \( \theta \) तर्क हो। अघिल्लो छलफलबाट, हामीलाई थाहा छ कि:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
त्यसैले, घातांकीय रूप यो हो:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
६. जटिल संख्याहरूको जरा
प्रश्न १
जटिल संख्या \( z = -1 \) को वर्गमूल पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल
जटिल संख्याहरूको वर्गमूल ध्रुवीय वा घातांकीय रूप प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ। हामी \( z = -1 \) लाई घातांकीय रूप मा रूपान्तरण गर्छौं:
\[
z = -१ = e^{i\pi}
\]
\( e^{i\pi} \) को वर्गमूल यसरी लेख्न सकिन्छ:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
\( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), र \( k = 0, 1 \) सँग:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
त्यसैले, \( -1 \) को वर्गमूल \( i \) र \( -i \) हुन्।
7. द्विघात समीकरणमा अनुप्रयोगहरू
प्रश्न १
द्विघात समीकरण \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) समाधान गर्नुहोस्।
छलफल
हामी वर्ग सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
समीकरण \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) को लागि:
\[
a = १, b = ४, c = १३
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
त्यसैले, \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) को समाधानहरू \( z = -2 + 3i \) र \( z = -2 – 3i \) हुन्।
केसिम्पुलन
जटिल संख्याहरू धेरै प्रयोगहरू सहितको एक धेरै व्यापक गणितीय अवधारणा हो। जोड, घटाउ, गुणन र भाग जस्ता आधारभूत कार्यहरू बुझेर, साथै मोड्युलस र तर्क कसरी गणना गर्ने भनेर बुझेर, हामी जटिल संख्याहरू सम्बन्धी विभिन्न समस्याहरू समाधान गर्न सक्छौं। आशा छ, माथिका उदाहरणहरूले तपाईंलाई यो विषय राम्रोसँग बुझ्न र महारत हासिल गर्न मद्दत गर्नेछन्।
