ज्यामितीय श्रृंखलाको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
ज्यामितीय अनुक्रमहरू हाई स्कूलमा प्रायः पढाइने गणितको आधारभूत अवधारणा हो। यी अनुक्रमहरूमा संख्याहरूको सेट हुन्छ, जसमध्ये प्रत्येक "अनुपात" भनेर चिनिने स्थिरांकद्वारा अघिल्लो संख्याको गुणनफल हो। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू र ज्यामितीय अनुक्रमहरूको छलफललाई समेट्नेछ, आशा छ कि पाठकहरूलाई यो अवधारणा राम्रोसँग बुझ्न मद्दत गर्नेछ।
ज्यामितीय श्रृंखला बुझ्दै
ज्यामितीय अनुक्रम भनेको पहिलो संख्या (a) लाई निश्चित अनुपात (r) ले गुणन गरेर बनाइने संख्याहरूको अनुक्रम हो। सामान्यतया, ज्यामितीय अनुक्रमको सामान्य रूप यस प्रकार छ:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
यहाँ:
– “a” अनुक्रमको पहिलो पद हो।
– “r” भनेको एउटा पद र अघिल्लो पदको अनुपात हो।
– “n” अनुक्रमको नवौं पद हो।
नमुना प्रश्न र छलफल
ज्यामितीय अनुक्रमहरूको बारेमा थप बुझ्नको लागि केही उदाहरण समस्याहरू छलफल गरौं।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
दिइएको ज्यामितीय अनुक्रममा पहिलो पद (a) ३ छ र अनुपात (r) २ छ। निर्धारण गर्नुहोस्:
१. अनुक्रमको ५ औं पद।
२. अनुक्रमको पहिलो ६ पदहरूको योगफल।
छलफल:
१. ५ औं पद (U5) ज्यामितीय अनुक्रमको n औं पदको लागि सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ, अर्थात्:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
सूत्रमा a = 3, r = 2, र n = 5 लाई प्रतिस्थापन गर्दै:
\[ U_5 = ३ \cdot २^{5-1} \]
\[ U_5 = ३ \cdot २^४ \]
\[ U_5 = ३ \cdot १६ \]
\[ U_5 = ४८ \]
त्यसैले, क्रमको १२ औं पद ४२ हो।
२. ज्यामितीय अनुक्रमको पहिलो ६ पदहरू (S6) को योगफल पहिलो n पदहरूको योगफलको लागि सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ, अर्थात्:
\[ S_n = a \बायाँ( \frac{r^n – १}{r – १} \दायाँ) \]
सूत्रमा a = 3, r = 2, र n = 6 लाई प्रतिस्थापन गर्दै:
\[ S_6 = ३ \बायाँ( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \दायाँ) \]
\[ S_6 = ३ \बायाँ( \frac{64 – 1}{1} \दायाँ) \]
\[ S_6 = ३ \बायाँ( ६३ \दायाँ) \]
\[ S_6 = १८९ \]
त्यसैले, क्रमको पहिलो ६ पदहरूको योगफल १८९ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
ज्यामितीय अनुक्रममा तेस्रो पद २७ र पाँचौं पद २४३ हुन्छ। पहिलो पद (a) र अनुपात (r) को मान निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
U3 = 27 र U5 = 243 दिइएको छ। ज्यामितीय अनुक्रमको n औं पदको लागि सूत्र प्रयोग गर्दै:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 को लागि:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ २७ = a \cdot r^२ \] \[ (१) \]
U5 को लागि:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ २७ = a \cdot r^२ \] \[ (१) \]
a लाई हटाउन समीकरण (1) र (2) को तुलना गर्दै:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ ९ = r^२ \]
\[ r = ३ \पाठ{ वा } r = -३ \]
r को मानलाई समीकरण (1) मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
यदि \( r = 3 \):
\[ २७ = a \cdot ३^२ \]
\[ २७ = a \cdot ९ \]
\" a = ० \]
यदि \( r = -3 \):
\[ २७ = a \cdot (-३)^२ \]
\[ २७ = a \cdot ९ \]
\" a = ० \]
त्यसैले, पहिलो पद (a) ३ हो, र अनुपात (r) ३ वा -३ हुन सक्छ।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
यदि पहिलो पद (a) 8 छ र अनुपात (r) 1/2 छ भने निम्न ज्यामितीय श्रृंखलाको अनन्त योगफल पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल:
ज्यामितीय श्रृंखलाको अनन्त योगफल सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
सूत्रमा a = 8 र r = 1/2 प्रतिस्थापन गर्दै:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = ८ \गुणा २ \]
\[ S_{\infty} = १६ \]
त्यसैले, ज्यामितीय श्रृंखलाको अनन्त योगफल १६ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
ज्यामितीय अनुक्रममा दोस्रो पद १२ र चौथो पद १०८ हुन्छ। अनुक्रमको अनुपात र पहिलो पद निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
दिइएको \( U_2 = 12 \) र \( U_4 = 108 \)। ज्यामितीय अनुक्रमको n औं पदको लागि सूत्र प्रयोग गर्दै:
\( U_2 \) को लागि:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ १२ = a \cdot r \] \[ (१) \]
\( U_4 \) को लागि:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ २७ = a \cdot r^२ \] \[ (१) \]
a लाई हटाउन समीकरण (1) र (2) को तुलना गर्दै:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ ९ = r^२ \]
\[ r = ३ \पाठ{ वा } r = -३ \]
r को मानलाई समीकरण (1) मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
यदि \( r = 3 \):
\[ २७ = a \cdot ९ \]
\" a = ० \]
यदि \( r = -3 \):
\[ १२ = a \cdot (-३) \]
\[ a = -४ \]
त्यसैले, पहिलो पद (a) ४ वा -४ हुन सक्छ, र अनुपात (r) ३ वा -३ हुन सक्छ।
केसिम्पुलन
ज्यामितीय अनुक्रमहरू विभिन्न क्षेत्रहरूमा बारम्बार प्रयोग हुने एक महत्त्वपूर्ण गणितीय अवधारणा हो। आधारभूत कुराहरू बुझेर र समस्या समाधान गर्ने सीपहरू अभ्यास गरेर, हामी अवधारणा बुझ्न र लागू गर्नमा अझ दक्ष बन्न सक्छौं भन्ने आशा छ। यस लेखमा पाठकहरूलाई ज्यामितीय अनुक्रमहरू अझ गहिरो रूपमा सिक्न र बुझ्न मद्दत गर्न धेरै उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरू समावेश छन्। हामी आशा गर्छौं कि यो उपयोगी हुनेछ!
