पारस्परिक रूपमा विशेष नभएका दुई घटनाहरू A र B को थपको नियमको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
पेन्डाहुलुआन
सम्भाव्यतामा, आधारभूत अवधारणाहरू र तिनीहरूको प्रयोगहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ। बारम्बार उठ्ने एउटा अवधारणा सम्भाव्यता जोडको नियम हो। यस लेखमा, हामी दुई गैर-विशेष घटनाहरूको लागि जोडको नियममा गहिरो अध्ययन गर्नेछौं। गैर-विशेष घटनाहरू तब हुन्छन् जब दुई घटनाहरूले सम्भावित तत्व साझा गर्छन्, वा अर्को शब्दमा, दुवै घटनाहरू एकैसाथ हुन सक्छन्। बुझ्न सजिलो बनाउन, एउटा उदाहरण समस्या र यसको व्याख्या हेरौं।
आधारभूत सिद्धान्त
यदि हामीसँग दुई घटनाहरू A र B छन् जुन परस्पर विशेष छैनन् भने, घटना A वा B को सम्भाव्यता गणना गर्ने थप नियमलाई यसरी व्यक्त गर्न सकिन्छ:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
यहाँ:
– \( P(A \cup B) \) भनेको A वा B (वा दुवै) हुने सम्भावना हो।
– \( P(A) \) भनेको घटना A हुने सम्भाव्यता हो।
– \( P(B) \) भनेको घटना B हुने सम्भाव्यता हो।
– \( P(A \cap B) \) भनेको A र B एकैसाथ हुने सम्भाव्यता हो।
समस्याहरूको उदाहरण
प्रश्न १: एउटा विद्यालयमा, ७०% विद्यार्थीहरू फुटबल खेल्न मन पराउँछन् (इभेन्ट A), ४०% विद्यार्थीहरू बास्केटबल खेल्न मन पराउँछन् (इभेन्ट B), र २०% विद्यार्थीहरू दुवै खेल खेल्न मन पराउँछन्। विद्यार्थीले फुटबल वा बास्केटबल खेल्न मन पराउने सम्भावना कति छ?
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( P(A) = ०.७० \)
– \( P(B) = ०.४० \)
– \( P(A \क्याप B) = ०.२० \)
दुई पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू थप्ने नियम प्रयोग गर्दै:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \कप B) = ०.७० + ०.४० – ०.२० \]
\[ P(A \कप B) = ०.९० \]
त्यसैले, विद्यार्थीलाई फुटबल वा बास्केटबल खेल्न मन पर्ने सम्भावना ०.९० वा ९०% छ।
प्रश्न २: एउटा सर्वेक्षणमा, ३५% उत्तरदाताहरूलाई कफी (घटना A), ५०% उत्तरदाताहरूलाई चिया (घटना B) र १०% उत्तरदाताहरूलाई दुवै मन पर्छ। उत्तरदातालाई कफी वा चिया मन पर्ने सम्भावना कति छ?
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( P(A) = ०.७० \)
– \( P(B) = ०.४० \)
– \( P(A \क्याप B) = ०.२० \)
दुई पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू थप्ने नियम प्रयोग गर्दै:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \कप B) = ०.७० + ०.४० – ०.२० \]
\[ P(A \कप B) = ०.९० \]
त्यसैले, उत्तरदातालाई कफी वा चिया मन पर्ने सम्भावना ०.७५ वा ७५% छ।
प्रश्न ३: तथ्याङ्कीय तथ्याङ्कबाट, यो थाहा हुन्छ कि ६०% मानिसहरूलाई किताब पढ्न मन पर्छ (घटना A), ३०% मानिसहरूलाई चलचित्र हेर्न मन पर्छ (घटना B), र १५% मानिसहरूलाई दुवै गर्न मन पर्छ। कुनै व्यक्तिलाई किताब पढ्न वा चलचित्र हेर्न मन पर्ने सम्भावना कति छ?
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( P(A) = ०.७० \)
– \( P(B) = ०.४० \)
– \( P(A \क्याप B) = ०.२० \)
दुई पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू थप्ने नियम प्रयोग गर्दै:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \कप B) = ०.७० + ०.४० – ०.२० \]
\[ P(A \कप B) = ०.९० \]
त्यसैले, कुनै व्यक्तिलाई किताब पढ्न वा चलचित्र हेर्न मन पर्ने सम्भावना ०.७५ वा ७५% छ।
प्रश्न ४: एउटा रेस्टुरेन्टमा गरिएको सर्वेक्षणबाट, ५५% ग्राहकहरूले पिज्जा (घटना A), ३५% ग्राहकहरूले पास्ता (घटना B) र २०% ग्राहकहरूले दुवै अर्डर गरे। ग्राहकले पिज्जा वा पास्ता अर्डर गर्ने सम्भावना कति छ?
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( P(A) = ०.७० \)
– \( P(B) = ०.४० \)
– \( P(A \क्याप B) = ०.२० \)
दुई पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू थप्ने नियम प्रयोग गर्दै:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \कप B) = ०.७० + ०.४० – ०.२० \]
\[ P(A \कप B) = ०.९० \]
त्यसैले, ग्राहकले पिज्जा वा पास्ता अर्डर गर्ने सम्भावना ०.७० वा ७०% छ।
केसिम्पुलन
सम्भाव्यताको अध्ययन गर्दा, दुई गैर-अनन्य घटनाहरू A र B को जोडको नियम एकैसाथ हुने एउटा वा दुवै घटनाहरूको सम्भाव्यता निर्धारण गर्न धेरै महत्त्वपूर्ण छ। सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) प्रयोग गर्दा प्रतिच्छेदन वा साझा तत्व भएका दुई घटनाहरूको संयुक्त सम्भाव्यता गणना गर्न सजिलो हुन्छ।
माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामी देख्न सक्छौं कि यस गणनाको आधारभूत चरणहरू बुझ्दा हामीलाई शिक्षा, सर्वेक्षण वा दैनिक जीवनमा चाहे विभिन्न परिस्थितिहरूमा यसलाई लागू गर्न अनुमति दिन्छ। कुन घटनाहरूले तत्वहरू साझा गर्छन् भनेर पहिचान गर्ने स्पष्टता र शुद्धता सम्भाव्यता सही रूपमा गणना गर्न महत्त्वपूर्ण छ। त्यसकारण, निरन्तर अभ्यास र आधारभूत अवधारणाहरूको बुझाइले यस विषयमा महारत हासिल गर्न धेरै मद्दत गर्नेछ।
