खाली ठाउँहरू भर्ने नियमहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
स्थान-भरण नियम, वा स्थान नियम, गणित र सम्भाव्यतामा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन धेरै परिस्थितिहरूमा धेरै उपयोगी हुन्छ। यो नियम सामान्यतया वस्तुहरूलाई विशेष क्रममा वा फरक व्यवस्थामा व्यवस्थित गर्ने सन्दर्भमा प्रयोग गरिन्छ। यस लेखमा, हामी स्थान-भरण नियमसँग सम्बन्धित धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछौं, प्रत्येकको लागि विस्तृत समाधान प्रदान गर्दै।
पेन्डाहुलुआन
स्पेस-फिलिङ भनेको कम्बिनेटोरिक्समा प्रयोग हुने एक सामान्य प्रविधि हो, जुन गणितको एक क्षेत्र हो जसले वस्तुहरूको व्यवस्था, संयोजन र चयनको अध्ययन गर्दछ। कम्बिनेटोरिक्सको आधारभूत सिद्धान्तहरू मध्ये एक गुणन नियम हो, जसले बताउँछ कि यदि प्रक्रियामा धेरै चरणहरू छन् र प्रत्येक चरणमा निश्चित संख्यामा विकल्पहरू छन् भने, प्रत्येक चरणमा विकल्पहरूको संख्यालाई गुणन गरेर सम्भावित व्यवस्थाहरूको कुल संख्या फेला पार्न सकिन्छ।
उदाहरणका लागि, यदि हामीसँग दुई चरणहरू छन् जहाँ पहिलो चरणमा \(m\) विकल्पहरू छन् र दोस्रो चरणमा \(n\) विकल्पहरू छन्, तब सम्भावित व्यवस्थाहरूको कुल संख्या \(m \times n\) हुन्छ।
केही उदाहरण समस्याहरू समाधान गर्न यो अवधारणा लागू गरौं।
उदाहरण १: शेल्फमा किताबहरू मिलाउने
प्रश्न:
त्यहाँ ५ वटा फरक-फरक पुस्तकहरू छन् र ५ वटा ठाउँहरू भर्नको लागि एउटा बुकशेल्फ छ। शेल्फमा पाँचवटा पुस्तकहरू कति तरिकाले मिलाउन सकिन्छ?
छलफल:
यस अवस्थामा, हामीले पाँचवटा पुस्तकहरूलाई पाँच फरक ठाउँमा व्यवस्थित गर्नुपर्छ। यो क्रम परिवर्तनको समस्या हो किनभने क्रम महत्त्वपूर्ण छ। यो समस्या समाधान गर्न हामी स्पेस-फिलिङ नियम वा गुणन नियम प्रयोग गर्न सक्छौं।
१. पहिलो कोठाको लागि, हामीसँग ५ वटा पुस्तक विकल्पहरू छन्।
२. पहिलो कोठामा एउटा किताब राखेपछि, हामीसँग दोस्रो कोठाको लागि ४ वटा किताब विकल्पहरू बाँकी रहन्छन्।
३. तेस्रो कोठाको लागि, हामीसँग ३ वटा बाँकी पुस्तक विकल्पहरू छन्, र यस्तै।
सेटिङहरूको कुल संख्याको समीकरण यो हो:
\[ ५ \गुणा ४ \गुणा ३ \गुणा २ \गुणा १ = ५! = १२० \]
त्यसो भए, पाँचवटा पुस्तकहरू मिलाउने १२० तरिकाहरू छन्।
उदाहरण २: फरक अक्षरहरूबाट शब्दहरू बनाउने
प्रश्न:
"गणित" शब्दका सबै अक्षरहरू प्रयोग गरेर कतिवटा फरक शब्दहरू दोहोर्याएर बनाउन सकिन्छ?
छलफल:
हामीले पहिला "MATHEMATICS" शब्दमा कतिवटा अक्षरहरू छन् भनेर हेर्नु पर्छ। त्यहाँ ११ अक्षरहरू छन्, जसमध्ये केही दोहोरिएका छन्। दोहोरिएका अक्षरहरू यस प्रकार छन्:
- २ सम्म
- ३ सम्म
- २ सम्म
– अन्य अक्षरहरू (E, I, K) प्रत्येक एक पटक देखा पर्छन्।
हामी दोहोरिएका तत्वहरूको लागि क्रमपरिवर्तन सूत्र प्रयोग गर्छौं, अर्थात्:
\[ \frac{n!}{n_1! \पटक n_2! \पटक \ldots \पटक n_k!} \]
जहाँ \( n \) तत्वहरू (अक्षरहरू) को कुल संख्या हो र \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) प्रत्येक विशिष्ट तत्वको पुनरावृत्तिको संख्या हो।
"गणित" शब्दको साथ:
\[ n = ११, n_१ = २ \text{ (M)}, n_२ = ३ \text{ (A)}, n_३ = २ \text{ (T)}, n_४ = १ \text{ (E)}, n_५ = १ \text{ (I)}, n_6 = १ \text{ (K)} \]
त्यसैले बन्न सक्ने शब्दहरूको संख्या यस प्रकार छ:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = १६६३२०० \]
१,६६३,२०० विभिन्न शब्दहरू बनाउन सकिन्छ।
उदाहरण ३: मार्ताबाकमा संयोजनहरूको संख्या निर्धारण गर्ने
प्रश्न:
एक मार्ताबाक विक्रेताले पाँच भर्ने विकल्पहरू प्रदान गर्दछ (पनीर, चकलेट, बदाम, केरा, र किसमिस)। यदि ग्राहकले आफ्नो मार्ताबाकको लागि पाँच भर्ने मध्ये तीन छनौट गर्न चाहन्छ भने, उनीहरूले कति फरक संयोजनहरू छनौट गर्न सक्छन्?
छलफल:
यो संयोजन समस्या हो, क्रम परिवर्तन होइन, किनकि क्रम महत्वहीन छ। हामी संयोजन सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[ C(n, k) = frac{n!}{k!(nk)!} \]
जहाँ \( n \) विकल्पहरूको कुल संख्या हो, र \( k \) लिइएका विकल्पहरूको संख्या हो।
यस अवस्थामा, \( n = 5 \) र \( k = 3 \), त्यसैले:
\[ C(५, ३) = \frac{५!}{३!(५-३)!} = \frac{५!}{३! \गुणा २!} = \frac{१२०}{६ \गुणा २} = \frac{१२०}{१२} = १० \]
५ विकल्पहरूबाट ३ सामग्री छनौट गर्न १० फरक संयोजनहरू छन्।
उदाहरण ४: खेलमा सहभागीको व्यवस्था
प्रश्न:
दौड दौडमा ८ जना सहभागी हुन्छन्। शीर्ष ३ जनालाई कति तरिकाले राख्न सकिन्छ?
छलफल:
यो पुनरावृत्ति बिनाको क्रम परिवर्तन समस्या हो किनभने स्थिति भनेको क्रम महत्त्वपूर्ण छ। हामी क्रम परिवर्तन सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[ P(n, k) = frac{n!}{(nk)!} \]
यस अवस्थामा, \( n = 8 \) र \( k = 3 \), त्यसपछि:
\[ P(५, ३) = \frac{५!}{(५-३)!} = \frac{५!}{२!} = \frac{१२०}{२} = ६० \]
त्यसोभए, ८ सहभागीहरूको शीर्ष तीन स्थानहरू राख्ने ३३६ तरिकाहरू छन्।
यस लेखमा, हामीले विभिन्न परिस्थितिहरूमा ठाउँ भर्ने नियमहरू प्रयोग गरेर धेरै उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूका समाधानहरू छलफल गरेका छौं: शेल्फमा पुस्तकहरू व्यवस्थित गर्नेदेखि प्रतिस्पर्धाको विजेता निर्धारण गर्नेसम्म। यी आधारभूत कुराहरू बुझ्नाले तपाईंले सामना गर्न सक्ने विभिन्न संयोजन र सम्भाव्यता समस्याहरू समाधान गर्न थप आत्मविश्वास दिनेछ।
