မျဉ်းမတော်သော ဆုတ်ယုတ်မှုနည်းလမ်း

Non-Linear Regression နည်းလမ်း

Regression သည် စာရင်းအင်းနှင့်ဒေတာသိပ္ပံတွင် လွတ်လပ်သောကိန်းရှင်များ (ခန့်မှန်းသူများ) နှင့် မှီခိုကိန်းရှင်များ (တုံ့ပြန်မှုများ) အကြားဆက်နွယ်မှုကို မော်ဒယ်လ်လုပ်ရန်အတွက် အလွန်ရေပန်းစားသောနည်းလမ်းများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ များစွာသောကိစ္စများတွင် ဤဆက်နွယ်မှုကို ဖြောင့်မျဉ်းတစ်ကြောင်းဖြင့် ခန့်မှန်းနိုင်ပြီး linear regression ကို လုံလောက်စေသည်။ သို့သော် လက်တွေ့ကမ္ဘာတွင် variable များအကြားဆက်နွယ်မှုများသည် linear pattern ကို မဖွဲ့စည်းလေ့ရှိပါ။ လူဦးရေတိုးပွားမှု၊ ဆေးဝါးပြန်လည်ရရှိမှုနှုန်း၊ ဝယ်လိုအားမျဉ်းကွေးများ၊ ပစ္စည်းယိုယွင်းပျက်စီးမှုနှင့် သတ်မှတ်ထားသောဆေးပမာဏများအပေါ် ဇီဝဗေဒဆိုင်ရာတုံ့ပြန်မှုများပင် မျဉ်းကွေး၊ asymptotic သို့မဟုတ် exponential ပုံစံများကို ပြသလေ့ရှိသည်။ ထိုကဲ့သို့သောအခြေအနေများတွင် nonlinear regression နည်းလမ်းများသည် ပိုမိုသင့်လျော်သောချဉ်းကပ်မှုတစ်ခုဖြစ်သည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတို့သည် ဆက်နွယ်မှု၏ ပိုမိုရှုပ်ထွေးသောသဘောသဘာဝကို ဖမ်းယူနိုင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။

Non-Linear Regression ကို နားလည်ခြင်း

Nonlinear regression ဆိုသည်မှာ ခန့်မှန်းရမည့် parameter များနှင့် ပတ်သက်၍ nonlinear function များကို အသုံးပြု၍ predictor နှင့် response variable များအကြား ဆက်နွယ်မှုကို ဖော်ပြသည့် modeling technique တစ်ခုဖြစ်သည်။ parameter များတွင် linear model (ဥပမာ- \( y = \beta_0 + \beta_1 x \)) ရှိသော linear regression နှင့်မတူဘဲ၊ nonlinear regression တွင် nonlinear ပုံစံဖြင့် parameter များပါဝင်သည့် model တစ်ခုရှိပြီး၊ ဥပမာ-

\[
y = \alpha e^{\beta x}
\]

ဤမော်ဒယ်တွင်၊ \(\beta\) parameter သည် exponent အတွင်း၌ရှိသောကြောင့် ၎င်းကို ပုံမှန် linear မော်ဒယ်အဖြစ် မသတ်မှတ်နိုင်ပါ။ သို့သော်၊ အဓိကရည်မှန်းချက်မှာ အတူတူပင်ဖြစ်သည်- မော်ဒယ်၏ ခန့်မှန်းတန်ဖိုးများနှင့် တကယ့်ဒေတာအကြား ကွာခြားချက်ကို အနည်းဆုံးဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ပေးသည့် parameter များကို ရှာဖွေရန်၊ များသောအားဖြင့် least squares ချဉ်းကပ်မှုကို အသုံးပြုသည်။

Non-Linear Regression ကို ဘယ်အချိန်မှာ လိုအပ်သလဲ။

Non-linear regression ကို အောက်ပါအခြေအနေများတွင် အသုံးပြုသည်-
၁။ ပုံစံသည် ရှင်းလင်းစွာ ကွေးညွှတ်နေပြီး ဖြောင့်တန်းသောမျဉ်းကြောင်းများ သို့မဟုတ် ရိုးရှင်းသော အသွင်ပြောင်းမှုများဖြင့် ရှင်းပြ၍မရပါ။
၂။ အပေါ်/အောက် ကန့်သတ်ချက်များ ရှိသည် (ဥပမာ- ကြီးထွားမှုနှုန်းသည် အမြင့်ဆုံးစွမ်းရည်သို့ ချဉ်းကပ်လာခြင်း)။
၃။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ရေဒီယိုသတ္တိကြွ ယိုယွင်းပျက်စီးခြင်း၊ ဓာတုဓာတ်ပြုမှု kinetics သို့မဟုတ် dose response curves ကဲ့သို့သော သဘာဝဥပဒေအချို့ကို လိုက်နာသည်။
၄။ သီအိုရီဆိုင်ရာ မော်ဒယ်များကို သိရှိပြီးဖြစ်ပြီး၊ ဥပမာအားဖြင့် logistic၊ Gompertz၊ Michaelis–Menten သို့မဟုတ် Weibull မော်ဒယ်များ။

ဥပမာအားဖြင့်၊ ဇီဝဓာတုဗေဒတွင် Michaelis–Menten မော်ဒယ်ကို အောက်ခံဒြပ်စင်ပါဝင်မှုနှင့် အင်ဇိုင်းဓာတ်ပြုမှုနှုန်းတို့အကြား ဆက်နွယ်မှုကို ဖော်ပြရန် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤမော်ဒယ်သည် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့်မော်ဒယ်တစ်ခုကို ချမှတ်ခြင်းထက် သိပ္ပံနည်းကျအဓိပ္ပာယ်ပိုရှိသည်။

Non-Linear Regression မော်ဒယ်များ၏ အသုံးများသောပုံစံများ

မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသော non-linear function များ၏ ပုံစံအချို့တွင် အောက်ပါတို့ပါဝင်သည်-

၁။ အဆတိုးမော်ဒယ်
အလျင်အမြန် ကြီးထွားမှု/ကျဆင်းမှုအတွက် သင့်လျော်သည်-
\[
y = \alpha e^{\beta x}
\]

၂။ ထောက်ပံ့ပို့ဆောင်ရေးပုံစံ
စွမ်းရည်ကန့်သတ်ချက်ရှိသော လူဦးရေတိုးပွားမှုအတွက် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသည်-
\[
y = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}
\]
\(L\) သည် အများဆုံး ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။

၃။ ဂွန်ပါ့ဇ် မော်ဒယ်
ဇီဝဗေဒနှင့် သက်ရှိများ ကြီးထွားမှုတွင် အဖြစ်များသည်-
\[
y = L \exp(-e^{-k(x-x_0)})
\]

၄။ ပါဝါပုံစံ (အဆင့်)
စီးပွားရေးနှင့် အင်ဂျင်နီယာပညာတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုကြသည်-
\[
y = \alpha x^beta
\]

၅။ မိုက်ကယ်လစ်-မန်တန် မော်ဒယ်
အင်ဇိုင်းဗေဒတွင်-
\[
y = \frac{V_{max} x}{K_m + x}
\]

၆။ ပိုလီနိုမီရယ် မော်ဒယ်
သင်္ချာနည်းအရ polynomials များကို parameters များတွင် linear အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သော်လည်း curvature ကိုဖမ်းယူရန် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသည်-
\[
y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2
\]
ကွေးညွှတ်နေသောပုံသဏ္ဍာန်ရှိသော်လည်း၊ ဤမော်ဒယ်ကို ကန့်သတ်ချက်များအရ linear regression မော်ဒယ်တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော်၊ လက်တွေ့တွင်၊ ၎င်းသည် ကွေးညွှတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် "non-linear alternative" အဖြစ် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

ကန့်သတ်ချက် ခန့်မှန်းချက်- အဓိကစိန်ခေါ်မှု

nonlinear regression နှင့် nonlinear regression အကြား အကြီးမားဆုံး ကွာခြားချက်မှာ parameter estimation နည်းလမ်းတွင် တည်ရှိသည်။ linear regression တွင်၊ parameter estimates များကို matrix formulas (closed-form solution) ကို အသုံးပြု၍ တိုက်ရိုက်ရယူနိုင်သည်။ nonlinear regression တွင်၊ ယေဘုယျအားဖြင့် ရိုးရှင်းသော analytical solution မရှိသောကြောင့် iterative methods များ လိုအပ်ပါသည်။

အသုံးများတဲ့ ခန့်မှန်းနည်းလမ်းကတော့ Nonlinear Least Squares (NLS) ဖြစ်ပြီး၊ အောက်ပါတို့ကို အနည်းဆုံးဖြစ်အောင် လုပ်တဲ့ parameters တွေကို ရှာဖွေဖို့ပါ။

\[
SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i – f(x_i, \theta))^2
\]

ဤတွင် \(\theta\) သည် parameter vector တစ်ခုဖြစ်သည်။ minimization လုပ်ငန်းစဉ်ကို iterative algorithm ကို အသုံးပြု၍ လုပ်ဆောင်သည်၊ ဥပမာ-
– ဂေါ့စ်–နယူတန်
– လီဗင်းဘာ့ဂ်–မာကွာ့ဒ်
- ရောင်စဉ်တန်း ဆင်းသက်မှု
– နယူတန်–ရက်ဖ်ဆန်

ဤအယ်လဂိုရစ်သမ်များထဲတွင် Levenberg–Marquardt သည် အလွန်ရေပန်းစားသည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းသည် တည်ငြိမ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်- ၎င်းသည် Gauss–Newton ၏အမြန်နှုန်းကို gradient-based approaches များ၏တည်ငြိမ်မှုနှင့် ပေါင်းစပ်ထားသည်။

ကနဦးခန့်မှန်းချက်၏ အခန်းကဏ္ဍ

nonlinear regression ရဲ့ အရေးကြီးတဲ့ ရှုထောင့်တစ်ခုကတော့ ကနဦး parameter ခန့်မှန်းချက်တွေ လိုအပ်တာပါပဲ။ iterative algorithm က parameter တွေကို စတင်အမှတ်ကနေ အကောင်းဆုံးတန်ဖိုးဆီ update လုပ်ပေးပါလိမ့်မယ်။ ကနဦးတန်ဖိုးက အဖြေကနေ အရမ်းဝေးနေရင် လုပ်ငန်းစဉ်က အောက်ပါအတိုင်း လုပ်ဆောင်နိုင်ပါတယ်-
- ပေါင်းစည်းရန် ပျက်ကွက်ခြင်း၊
– ဒေသတွင်း အနိမ့်ဆုံးအဆင့်တွင် ပိတ်မိနေသည်၊
- ကျိုးကြောင်းမဆီလျော်သော ခန့်မှန်းချက်များကို ဖြစ်ပေါ်စေခြင်း။

ထို့ကြောင့် ဒိုမိန်းဗဟုသုတသည် အလွန်အထောက်အကူဖြစ်စေပါသည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် ကနဦးတန်ဖိုးများကို ဒေတာဂရပ်များမှ၊ စာပေများမှ သို့မဟုတ် ယာယီ linear transformations များမှတစ်ဆင့် parameters များကို ခန့်မှန်းရန် ရယူနိုင်ပါသည်။

မော်ဒယ်အရည်အသွေးအကဲဖြတ်ခြင်း

မော်ဒယ်တစ်ခုရရှိပြီးသည်နှင့် နောက်တစ်ဆင့်မှာ ၎င်း၏သင့်လျော်မှုနှင့် အသုံးဝင်မှုကို အကဲဖြတ်ရန်ဖြစ်သည်။ အကဲဖြတ်နည်းလမ်းအချို့တွင် အောက်ပါတို့ပါဝင်သည်-

၁။ အကြွင်းအကျန် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း
အကြွင်းအကျန်များသည် တကယ့်ဒေတာနှင့် ခန့်မှန်းထားသောဒေတာအကြား ကွာခြားချက်ဖြစ်သည်။ ကောင်းမွန်သော အကြွင်းအကျန်များသည် ကျပန်းဖြစ်လေ့ရှိပြီး မည်သည့်ပုံစံကိုမျှ မဖွဲ့စည်းပါ။ အကြွင်းအကျန်များသည် စနစ်တကျပုံစံကို ဖွဲ့စည်းပါက မော်ဒယ်ကို မှားယွင်းစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။

၂။ ဆုံးဖြတ်မှုကိန်း (R²)
R² ကို အသုံးပြုနိုင်သော်လည်း၊ non-linear မော်ဒယ်များတွင် သတိထားရန် လိုအပ်ပါသည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်သည် linear regression ကဲ့သို့ အမြဲတမ်း ရှင်းလင်းပြတ်သားမှု မရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

၃။ AIC နှင့် BIC
Akaike Information Criterion (AIC) နှင့် Bayesian Information Criterion (BIC) ကဲ့သို့သော အချက်အလက်ဆိုင်ရာ စံနှုန်းများသည် ရှုပ်ထွေးမှုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစား၍ မော်ဒယ်များစွာကို နှိုင်းယှဉ်ရန် ကူညီပေးသည်။

၄။ အပြန်အလှန် အတည်ပြုခြင်း
မော်ဒယ်၏ ယေဘုယျပြုလုပ်နိုင်စွမ်းကို တိုင်းတာရန်အတွက် ဒေတာကို လေ့ကျင့်ရေးနှင့် စမ်းသပ်မှုဒေတာအဖြစ် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းသည် မော်ဒယ်သည် လေ့ကျင့်ရေးဒေတာနှင့် ရိုးရိုးရှင်းရှင်း "ကိုက်ညီ" မနေစေရန် အရေးကြီးပါသည်။

Non-Linear Regression ရဲ့ အားသာချက်နဲ့ အားနည်းချက်တွေ

ကောင်းကျိုးများ -
– တကယ့်ဖြစ်ရပ်များကို ပုံစံထုတ်ရန် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိခြင်း။
– လုပ်ငန်းစဉ်၏ အခြေခံသိပ္ပံနည်းကျသီအိုရီကို လိုက်နာနိုင်သည်။
– asymptotic, exponential, saturation သို့မဟုတ် finite growth ပုံစံများကို ဖမ်းယူနိုင်စွမ်း။

မရှိခြင်း-
- တွက်ချက်မှုနှင့် ထပ်ခါတလဲလဲ လုပ်ဆောင်မှုများ ပိုမိုလိုအပ်ပါသည်။
– ပါရာမီတာ၏ ကနဦးတန်ဖိုးပေါ်တွင် များစွာမူတည်သည်။
– မော်ဒယ်သည် အလွန်ရှုပ်ထွေးပါက အလွန်အကျွံ အံဝင်ခွင်ကျဖြစ်ခြင်း အန္တရာယ်။
– မော်ဒယ်ကို သီအိုရီအပေါ် အခြေခံ၍မဟုတ်ဘဲ အချက်အလက်နှင့် ကိုက်ညီမှုအပေါ် အခြေခံ၍သာ ရွေးချယ်ပါက parameter အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခြင်းသည် တစ်ခါတစ်ရံတွင် ပိုမိုခက်ခဲပါသည်။

နယ်ပယ်အသီးသီးရှိ အသုံးချမှုများ၏ ဥပမာများ

၁။ ကျန်းမာရေးနှင့် ဆေးဝါးဗေဒ- ပြည့်ဝမှု သို့မဟုတ် လော့ဂျစ်မျဉ်းကွေးများ အပါအဝင် ခန္ဓာကိုယ်၏တုံ့ပြန်မှုနှင့် ဆေးပမာဏ-ဆေးဝါးဆက်နွယ်မှုကို မော်ဒယ်လုပ်ခြင်း။
၂။ ဂေဟဗေဒ- ပတ်ဝန်းကျင်ဆိုင်ရာ သယ်ဆောင်နိုင်စွမ်း ကန့်သတ်ချက်များအတွင်း လူဦးရေတိုးပွားမှု။
၃။ အင်ဂျင်နီယာပညာ- မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ပစ္စည်းများတွင် ဖိစီးမှု-ဆန့်နိုင်အား ဆက်နွယ်မှုများ။
၄။ စီးပွားရေး- အဆ သို့မဟုတ် လော်ဂရစ်သမ်ပုံစံဖြင့် မကြာခဏဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသော ဝယ်လိုအား သို့မဟုတ် ထုတ်လုပ်မှု လုပ်ဆောင်ချက်များ။
၅။ ဓာတုဗေဒ- ဓာတ်ပြုမှု kinetics၊ ယိုယွင်းပျက်စီးခြင်းနှင့် adsorption လုပ်ငန်းစဉ်များ။

ပိတ်

ကိန်းရှင်များအကြား ဆက်နွယ်မှုကို ဖြောင့်ဖြောင့်တန်းတန်းဖြင့် ရှင်းပြ၍မရသည့်အခါ Nonlinear regression နည်းလမ်းများသည် မရှိမဖြစ်ကိရိယာများဖြစ်သည်။ သီအိုရီနှင့် အချက်အလက်ရှာဖွေရေး နှစ်မျိုးလုံးကို အခြေခံ၍ သင့်လျော်သော မော်ဒယ်ပုံစံကို ရွေးချယ်ခြင်းနှင့် သင့်လျော်သော ခန့်မှန်းချက် algorithm ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် nonlinear regression သည် ရှုပ်ထွေးသော ဖြစ်စဉ်များကို ပိုမိုတိကျစွာ နားလည်မှုပေးနိုင်ပါသည်။ ကနဦးတန်ဖိုးများအတွက် လိုအပ်ချက်နှင့် ပေါင်းစည်းခြင်း၏ အန္တရာယ်ကဲ့သို့သော စိန်ခေါ်မှုများရှိနေသော်လည်း ဤချဉ်းကပ်မှုသည် ဘာသာရပ်အမျိုးမျိုးတွင် အလွန်အသုံးဝင်ပါသည်။ အဆုံးစွန်အားဖြင့် nonlinear regression ၏ အောင်မြင်မှုသည် algorithm ၏ ရှုပ်ထွေးမှုပေါ်တွင်သာမက ကောင်းမွန်သော မော်ဒယ်ရွေးချယ်မှု၊ ဂရုတစိုက် အကဲဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြဿနာအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီသော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ပေါ်တွင်လည်း မူတည်ပါသည်။