Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို နားလည်ခြင်း

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို နားလည်ခြင်း

စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေကမ္ဘာတွင်၊ လက်တွေ့ကမ္ဘာဖြစ်ရပ်များကို ပုံစံထုတ်ရန် ဖြန့်ဖြူးမှုအမျိုးမျိုးကို အသုံးပြုကြသည်။ နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် မကြာခဏအသုံးပြုလေ့ရှိသော ဖြန့်ဖြူးမှုတစ်ခုမှာ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုဖြစ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ထူးခြားသောဝိသေသလက္ခဏာများရှိပြီး သဘာဝသိပ္ပံမှ အင်ဂျင်နီယာ၊ စီးပွားရေးနှင့် လူမှုရေးသိပ္ပံအထိ အသုံးချမှုအမျိုးမျိုးတွင် အလွန်အသုံးဝင်ပါသည်။ ဤဆောင်းပါးသည် Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၊ ၎င်း၏ဝိသေသလက္ခဏာများနှင့် နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ၎င်း၏အသုံးချမှုများကို နက်နက်နဲနဲဆွေးနွေးပါမည်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို နားလည်ခြင်း

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုဆိုသည်မှာ အချိန် သို့မဟုတ် အာကာသ၏ ပုံသေအပိုင်းအခြားတစ်ခုတွင် ဖြစ်ရပ်တစ်ခု ဖြစ်ပွားသည့် အကြိမ်အရေအတွက်ကို ဖော်ပြသည့် သီးခြားဖြစ်နိုင်ခြေ ဖြန့်ဖြူးမှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှုကို ၁၈၃၇ ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင် Siméon Denis Poisson မှ ပထမဆုံး မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို လေ့လာတွေ့ရှိချက် စုစုပေါင်းအရေအတွက်တွင် အကြိမ်ရေများစွာ ဖြစ်ပွားသော်လည်း မကြာခဏ ဖြစ်ပွားလေ့ရှိသော ကျပန်းဖြစ်ရပ်များကို ပုံစံထုတ်ရန် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
ဘယ်နေရာ:
– \( P(X = k) \) သည် ပေးထားသော အပိုင်းအခြားတစ်ခုတွင် k ဖြစ်ရပ်များ ဖြစ်နိုင်ခြေဖြစ်သည်။
– \( \lambda \) သည် အပိုင်းအခြားအတွင်းရှိ အဖြစ်အပျက်များ၏ ပျမ်းမျှဖြစ်သည်။
–\(k\) သည် ဖြစ်ရပ်အရေအတွက်ဖြစ်သည်။
–\( e\) သည် သဘာဝလော်ဂရစ်သမ်၏ အခြေဖြစ်ပြီး ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ၂.၇၁၈၂၈ ဖြစ်သည်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ဖြစ်ရပ်များသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု မသက်ဆိုင်ဘဲ အချိန် သို့မဟုတ် အာကာသယူနစ် အပိုင်းအခြားတစ်ခုလျှင် ဖြစ်ရပ်များ၏ ပျမ်းမျှအရေအတွက်သည် ကိန်းသေဖြစ်သည်ဟူသော အခြေခံယူဆချက်ရှိသည်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဝိသေသလက္ခဏာများ

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် အခြားဖြန့်ဖြူးမှုများနှင့် ခွဲခြားသိမြင်နိုင်သော အဓိကဝိသေသလက္ခဏာများစွာရှိသည်။ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အဓိကဝိသေသလက္ခဏာများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

၁။ သီးခြားကိန်းရှင်နှင့် အနုတ်လက္ခဏာမပါဝင်ခြင်း- Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ကျပန်းကိန်းရှင်များသည် အနုတ်လက္ခဏာမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တန်ဖိုးများ (၀၊ ၁၊ ၂၊ …) ကိုသာ ယူနိုင်သည်။

၂။ ဖြစ်ရပ်များ၏ လွတ်လပ်မှု- ဖြစ်ရပ်တစ်ခုစီသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု မှီခိုမှုမရှိရပါ။ ဆိုလိုသည်မှာ ဖြစ်ရပ်တစ်ခု ဖြစ်ပွားခြင်းသည် အခြားဖြစ်ရပ်တစ်ခု ဖြစ်ပွားနိုင်ခြေကို မထိခိုက်ပါ။

၃။ ကိန်းသေပျမ်းမျှ- ပေးထားသောအပိုင်းအခြားအတွင်းရှိ ဖြစ်ရပ်များ၏ပျမ်းမျှသည် ကိန်းသေဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ဖြစ်ရပ်များ၏ပျမ်းမျှသည် အချိန်နှင့်အမျှပြောင်းလဲသွားပါက Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် မသင့်လျော်ပါ။

၄။ တစ်ခုတည်းသော Parameter (\( \lambda \)) : Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် \( \lambda \) ဟူသော parameter တစ်ခုတည်းသာရှိပြီး ၎င်းသည် interval တစ်ခုရှိ event များ၏ ပျမ်းမျှအရေအတွက်ဖြစ်သည်။

၅။ ပျမ်းမျှနှင့် ကွဲလွဲမှု- Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင်၊ ပျမ်းမျှ (ပျမ်းမျှ) နှင့် ကွဲလွဲမှု (ကွဲလွဲမှု) တို့သည် အတူတူပင်၊ ဆိုလိုသည်မှာ \( \lambda \) ဖြစ်သည်။

ဖြစ်ရပ်လေ့လာမှုများနှင့် အသုံးချမှုများ

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် လက်တွေ့ဘဝအသုံးချမှုအမျိုးမျိုးရှိသည်။ ဤဖြန့်ဖြူးမှု၏ အဖြစ်များသော ဥပမာအချို့မှာ-

၁။ ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုအရေအတွက်- ဖောက်သည်ဝန်ဆောင်မှုစင်တာတစ်ခုတွင် တစ်နာရီလျှင်လက်ခံရရှိသော ပျမ်းမျှဖုန်းခေါ်ဆိုမှုအရေအတွက်မှာ ၅ ခုဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို ပေးထားသော တစ်နာရီအတွင်း လက်ခံရရှိသော ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုအရေအတွက်ကို မော်ဒယ်လုပ်ရန် အသုံးပြုနိုင်သည်။

၂။ ယာဉ်မတော်တဆမှုဖြစ်ရပ်များ- တစ်လလျှင် သတ်မှတ်ထားသော လမ်းဆုံတစ်ခုတွင် ဖြစ်ပွားသော ယာဉ်မတော်တဆမှု ပျမ်းမျှအရေအတွက်မှာ ၃ ခုဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် နောက်လတွင် ဖြစ်ပွားနိုင်သည့် မတော်တဆမှုအရေအတွက်ကို ခန့်မှန်းရန် ကူညီပေးနိုင်ပါသည်။

၃။ စားသောက်ဆိုင်သို့ ဖောက်သည်ရောက်ရှိလာမှု- စားသောက်ဆိုင်သို့ တစ်နာရီလျှင် လာရောက်သော ပျမ်းမျှဖောက်သည်အရေအတွက်သည် ၁၀ ဦးဖြစ်ပါက၊ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို သတ်မှတ်ထားသော တစ်နာရီအတွင်း ရောက်ရှိနိုင်သော ဖောက်သည်အရေအတွက်ကို ပုံစံပြုရန် အသုံးပြုနိုင်သည်။

၄။ မျိုးရိုးဗီဇပြောင်းလဲမှုများ- မျိုးရိုးဗီဇဆိုင်ရာရှုထောင့်အရ၊ မျိုးရိုးဗီဇပြောင်းလဲမှုများသည် များသောအားဖြင့် ရှားပါးသော်လည်း သေချာသောဖြစ်ရပ်များဖြစ်သောကြောင့် Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို သက်ရှိအုပ်စုတစ်ခုရှိ သတ်မှတ်ထားသောအချိန်ကာလအတွင်း မျိုးရိုးဗီဇပြောင်းလဲမှုအရေအတွက်ကို ပုံစံထုတ်ရန် အသုံးပြုနိုင်သည်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုဖြင့် ဖြစ်နိုင်ခြေကို မည်သို့တွက်ချက်ရမည်နည်း

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု အသုံးပြုပုံကို ပိုမိုနားလည်နိုင်ရန်အတွက် Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ ဖြစ်နိုင်ခြေကို မည်သို့တွက်ချက်ရမည်ကို ကြည့်ကြပါစို့။ ဥပမာ-

တစ်နာရီအတွင်း ဆိုင်သို့လာရောက်သော ပျမ်းမျှဖောက်သည်အရေအတွက်သည် ၄ ​​(\( \lambda = 4 \)) ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ သတ်မှတ်ထားသော တစ်နာရီအတွင်း ဖောက်သည် ၆ ဦး အတိအကျလာရောက်နိုင်ခြေကို ကျွန်ုပ်တို့ သိလိုပါသည်။ Poisson ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍-

\[ P(X = 6) = \frac{4^6 e^{-4}}{6!} \]

ကျွန်ုပ်တို့ တွက်ချက်နိုင်သည်-
– \( ၃^၅ = ၂၄၃ \)
– \( e^{-4} \approx 0.0183 \)
– \( ၅! = ၁၂၀ \)

သောကြောင့်,

\[ P(X = 6) = \frac{4096 \cdot 0.0183}{720} \approx 0.104 \]

ဒါကြောင့် တစ်နာရီအတွင်း ဖောက်သည် ၆ ယောက် အတိအကျ ရောက်လာနိုင်ခြေက ၁၀.၄% လောက်ရှိပါတယ်။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အားသာချက်များနှင့် ကန့်သတ်ချက်များ

ကောင်းကျိုးများ -
၁။ ရိုးရှင်းလွယ်ကူခြင်း- Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ရိုးရှင်းသော ဖော်မြူလာတစ်ခုရှိပြီး အသုံးပြုရလွယ်ကူစေသည့် parameter (\( \lambda \)) တစ်ခုတည်းသာ လိုအပ်ပါသည်။

၂။ ကျယ်ပြန့်သော အသုံးချမှုများ- ဤဖြန့်ဖြူးမှုတွင် ရှားပါးပြီး လွတ်လပ်သော ဖြစ်ရပ်များပါရှိသော ဖြန့်ဖြူးမှုဖြင့် တကယ့်ဖြစ်ရပ်များစွာကို ပုံစံထုတ်နိုင်သောကြောင့် နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် အသုံးချမှုများစွာရှိသည်။

၃။ လက်တွေ့ကျသော ယူဆချက်များ- ပျမ်းမျှ၏ လွတ်လပ်မှုနှင့် တည်တံ့မှုဆိုင်ရာ ယူဆချက်များသည် ရောက်ရှိသော ဖောက်သည်အရေအတွက် သို့မဟုတ် တယ်လီဖုန်းခေါ်ဆိုမှုအရေအတွက်ကဲ့သို့သော လက်တွေ့ကမ္ဘာအခြေအနေများစွာတွင် လက်တွေ့ကျလေ့ရှိသည်။

ကီတာဘာတာဆန်:
၁။ ကိန်းသေပျမ်းမျှသည် အမြဲတမ်းလုံလောက်သည်မဟုတ်ပါ- လက်တွေ့ကမ္ဘာအခြေအနေများစွာတွင်၊ ဖြစ်ရပ်များ၏ပျမ်းမျှသည် အမြဲတမ်းကိန်းသေမဟုတ်ပါ။ ပျမ်းမျှသည် အချိန်နှင့်အမျှပြောင်းလဲသွားပါက Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် တိကျမှုမရှိနိုင်ပါ။

၂။ ဖြစ်ရပ်များ၏ လွတ်လပ်မှု- ဖြစ်ရပ်များသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု လွတ်လပ်သည်ဟူသော ယူဆချက်သည် အချို့အခြေအနေများတွင် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ချင်မှ မှန်ကန်ပါလိမ့်မည်။

၃။ ကိန်းပြည့်များအတွက်သာ- Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် ကိန်းပြည့်များဖြင့် ရေတွက်နိုင်သော ဖြစ်ရပ်များအတွက်သာ သင့်လျော်ပါသည်။ ၎င်းကို စဉ်ဆက်မပြတ်ဒေတာအတွက် အသုံးပြု၍မရပါ။

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ကွဲပြားမှုများ

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် အလွန်အသုံးဝင်သော်လည်း၊ ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော အခြေအနေများကို လိုက်လျောညီထွေဖြစ်စေရန်အတွက် ဤဖြန့်ဖြူးမှု၏ မူကွဲများနှင့် တိုးချဲ့မှုများ အများအပြားရှိပါသည်။ လူသိများသော မူကွဲတစ်ခုမှာ Mixture Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းသည် ပျမ်းမျှဖြစ်ရပ်အရေအတွက် (\( \lambda \)) သည် သတ်မှတ်ထားသော ဖြန့်ဖြူးမှုပါရှိသော ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုလည်း ဖြစ်နိုင်သည်ကို အသိအမှတ်ပြုသည်။

အထွေထွေ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုလည်း ရှိပြီး၊ ဖြစ်ရပ်များသည် လုံးဝလွတ်လပ်မှုမရှိနိုင်သည့် အခြေအနေများ သို့မဟုတ် အလွန်ရှားပါးသော ဖြစ်ရပ်များ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေများသည် စံ Poisson မော်ဒယ်နှင့် မကိုက်ညီသည့် အခြေအနေများကို လိုက်လျောညီထွေဖြစ်စေရန် စံ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အယူအဆအချို့ကို ဖြေလျှော့ပေးပါသည်။

နိဂုံး

Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုသည် အချိန် သို့မဟုတ် အာကာသ၏ ပုံသေအပိုင်းအခြားများအတွင်း ဖြစ်ပေါ်နေသော ကျပန်းဖြစ်ရပ်များကို ပုံစံထုတ်ရန်အသုံးပြုသည့် စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေတွင် အစွမ်းထက်သောကိရိယာတစ်ခုဖြစ်သည်။ တစ်ခုတည်းသော key parameter ဖြစ်သည့် \(\lambda\) ဖြင့် ၎င်းသည် ဖောက်သည်ဝန်ဆောင်မှုမှ မျိုးရိုးဗီဇအထိ လက်တွေ့ကမ္ဘာအခြေအနေအမျိုးမျိုးကို ဖော်ပြရန် ရိုးရှင်းသော်လည်း ထိရောက်သောနည်းလမ်းတစ်ခုကို ပေးဆောင်သည်။ အချို့အခြေအနေများတွင် ၎င်း၏တိကျမှုကို ကန့်သတ်နိုင်သည့် အခြေခံယူဆချက်အချို့ရှိသော်လည်း ၎င်း၏ရိုးရှင်းမှုနှင့် ကျယ်ပြန့်သောအသုံးချမှုသည် ၎င်းကို အလွန်ရေပန်းစားပြီး အသုံးဝင်သော ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်စေသည်။ Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို နားလည်ခြင်းသည် စာရင်းအင်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုကို အထောက်အကူပြုရုံသာမက သဘာဝနှင့် လူလုပ်ဖြစ်စဉ်များတွင် ဖြစ်နိုင်ခြေပုံစံများ မည်သို့လည်ပတ်သည်ကို ထိုးထွင်းသိမြင်စေပါသည်။