တကယ့်နံပါတ်စနစ်
ဂဏန်းအစစ်စနစ်သည် သင်္ချာတွင် အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး အလျားနှင့် ဒြပ်ထုမှ အပူချိန်၊ အမြန်နှုန်းနှင့် အချိန်အထိ နေ့စဉ်ဘဝတွင် ကျွန်ုပ်တို့ကြုံတွေ့ရသော ပမာဏအားလုံးနီးပါးကို ဖော်ပြရန်အသုံးပြုသည်။ ဂဏန်းအစစ်များသည် အက္ခရာသင်္ချာ၊ ဂျီသြမေတြီ၊ ကဲကုလပ်စ်နှင့် စာရင်းအင်းကဲ့သို့သော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲအမျိုးမျိုးအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ဖြစ်ပြီး သိပ္ပံနှင့် အင်ဂျင်နီယာပညာ၏ အဓိကဘာသာစကားလည်းဖြစ်သည်။ ဂဏန်းအစစ်စနစ်ကို နားလည်ခြင်းဆိုသည်မှာ ဂဏန်းများကို မည်သို့ခွဲခြားထားသည်၊ ၎င်းတို့တစ်ခုနှင့်တစ်ခု မည်သို့ဆက်စပ်နေသည်နှင့် ၎င်းတို့၏ဂုဏ်သတ္တိများက ကျွန်ုပ်တို့အား တွက်ချက်မှုများနှင့် မော်ဒယ်များကို မည်သို့တသမတ်တည်းလုပ်ဆောင်နိုင်စေသည်ကို နားလည်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။
တကယ့်နံပါတ်များကို နားလည်ခြင်း
ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းမျဉ်းပေါ်တွင် ထားနိုင်သော ကိန်းအားလုံး၏ အစုအဝေးဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာနှင့် ဆင်ခြင်တုံတရားမဲ့ ကိန်းများ နှစ်မျိုးလုံး ပါဝင်သည်။ အလိုလိုသိနိုင်သော ကိန်းစစ်များတွင် စဉ်ဆက်မပြတ်ပမာဏ၏ "တန်ဖိုး" အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းအားလုံး ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စားပွဲတစ်ခု၏ အရှည်သည် ၁ မီတာ၊ ၁.၅ မီတာ သို့မဟုတ် ၁.၄၁၄၂၁၃ မီတာပင် ဖြစ်နိုင်သည်။
ကိန်းစစ်အစုံကို များသောအားဖြင့် ℝ သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကိန်းစစ်တစ်ခုစီတွင် အနုတ်၊ သုည သို့မဟုတ် အပေါင်းဖြစ်စေ ကိန်းမျဉ်းပေါ်ရှိ ထူးခြားသော အနေအထားရှိသည်။
အစစ်အမှန်နံပါတ်စနစ်တွင် ဂဏန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း
တကယ့်နံပါတ်စနစ်ဟာ တစ်ခုတည်းတည်ရှိနေတာမဟုတ်ပါဘူး။ ဒါဟာ ရိုးရှင်းတဲ့ နံပါတ်စနစ်ရဲ့ တိုးချဲ့မှုတစ်ခုပါ။ ဒါကိုနားလည်ဖို့အတွက် အဲဒါကိုဖွဲ့စည်းထားတဲ့ နံပါတ်တွေရဲ့ အမျိုးအစားခွဲခြားမှုကို ကြည့်ဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။
၁။ သဘာဝနံပါတ်များ
သဘာဝနံပါတ်များကို ℕ ဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ဤနံပါတ်များကို အရာဝတ္ထုများကို ရေတွက်ရန် အသုံးပြုပြီး ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်-
၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ၅၊ …
အချို့သော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များတွင် ၀ သည် သဘာဝကိန်းများတွင်လည်း ပါဝင်သော်လည်း ပညာရေးဆိုင်ရာ လက်တွေ့တွင် ကိန်းပြည့်များနှင့် သဘာဝကိန်းများအကြား ခွဲခြားမှုကို မကြာခဏ ပြုလုပ်လေ့ရှိသည်။
၂။ ကိန်းပြည့်များ
သဘာဝကိန်းများ အပေါင်း သုည အပါအဝင် ကိန်းပြည့်များ
၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ၅၊ …
ရေတွက်ခြင်းဆိုင်ရာ အခြေအနေတွင် “ဘာမှမရှိ” (သုည) ကို ဖော်ပြရန် လိုအပ်သည့်အခါ ကိန်းပြည့်များသည် အသုံးဝင်ပါသည်။
၃။ ကိန်းပြည့်များ
ကိန်းပြည့်များကို ℤ ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပြီး ကိန်းပြည့်များနှင့် ၎င်းတို့၏ အနုတ်များ ပါဝင်သည်-
…၊ -၃၊ -၂၊ -၁၊ ၀၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ …
ရေခဲမှတ်အောက် အပူချိန်၊ အကြွေး သို့မဟုတ် ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အောက် အမြင့်ကဲ့သို့သော “သုညအောက်” ဦးတည်ချက်များ သို့မဟုတ် တန်ဖိုးများပါဝင်သည့် အခြေအနေများကို ဖော်ပြရန်အတွက် ကိန်းပြည့်များသည် အရေးကြီးပါသည်။
၄။ ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ နံပါတ်များ
ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ နံပါတ်များကို ℚ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနံပါတ်သည် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သော နံပါတ်တစ်ခုဖြစ်သည်-
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) နှင့် \(q\) ကိန်းပြည့်များ၊ နှင့် \(q \neq 0\) တို့နှင့်အတူ။
ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ ကိန်းဂဏန်းများ၏ ဥပမာများ-
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
- ၂ ကို \(\frac{2}{1}\) အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။
ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ ကိန်းဂဏန်းများ၏ အရေးကြီးသော ဝိသေသလက္ခဏာတစ်ခုမှာ ၎င်းတို့၏ ဒဿမပုံစံသည် အဆုံးသတ်သည် သို့မဟုတ် ထပ်ခါတလဲလဲ ဖြစ်ပေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်-
– ၀.၂၅ ရပ်တန့်မှု
– ၀.၃၃၃… ကြိမ် ထပ်ခါတလဲလဲ
၅။ ယုတ္တိမဲ့ ဂဏန်းများ
Irrational နံပါတ်များသည် \(p\) နှင့် \(q\) တို့သည် ကိန်းပြည့်များဖြစ်ပြီး \(\frac{p}{q}\) ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြ၍မရသော ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ ဒဿမပုံစံသည် ရပ်တန့်မနေပါ၊ ထပ်ခါတလဲလဲလည်း မလုပ်ပါ။
ဆင်ခြင်တုံတရားမဲ့ ဂဏန်းများ၏ ဥပမာများ-
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅…\)
– \(e = ၂.၇၁၈၂၈၁၈…\)
ဆင်ခြင်တုံတရားမဲ့ နံပါတ်များသည် ဂျီသြမေတြီ (ဥပမာ၊ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း) နှင့် သင်္ချာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင် မကြာခဏ ပေါ်လာလေ့ရှိသည်။
၆။ တကယ့်ဂဏန်းများ
အစစ်အမှန်ဂဏန်းများသည် ဆင်ခြင်တုံတရားနှင့် မဆင်ခြင်တုံတရားရှိသော ဂဏန်းများ ပေါင်းစပ်ထားခြင်းဖြစ်သည်-
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{irrational})
\]
တစ်နည်းအားဖြင့် နံပါတ်မျဉ်းပေါ်တွင် ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဂဏန်းအားလုံးသည် အစစ်အမှန်ဂဏန်းများ ဖြစ်သည်။
နံပါတ်မျဉ်းနှင့် သိပ်သည်းဆ၏ သဘောတရား
ကိန်းစစ်များကို နားလည်ရန် အကောင်းဆုံးနည်းလမ်းတစ်ခုမှာ ကိန်းမျဉ်းမှတစ်ဆင့်ဖြစ်သည်။ ဤမျဉ်းတွင် အမှတ်တစ်ခုစီသည် ကိန်းစစ်တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ စိတ်ဝင်စားစရာကောင်းသည်မှာ မည်သည့်ကိန်းစစ်နှစ်ခုကြားတွင်မဆို အခြားကိန်းစစ်တစ်ခု အမြဲရှိနေပါသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၁ နှင့် ၂ အကြားသည် ၁.၅ ဖြစ်ပြီး ၁.၅ နှင့် ၂ အကြားသည် ၁.၇၅ ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် အကန့်အသတ်မရှိ ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်သည်။
ဤဂုဏ်သတ္တိကို သိပ်သည်းဆဟု ခေါ်သည်။ ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ ကိန်းနှင့် ဆင်ခြင်တုံတရားမဲ့ ကိန်း နှစ်မျိုးလုံးသည် ဂဏန်းမျဉ်းပေါ်တွင် တူညီသော သိပ်သည်းဆရှိသည်- မည်သည့် အစစ်အမှန်ကိန်းနှစ်ခုကြားတွင်မဆို ဆင်ခြင်တုံတရားဆိုင်ရာ ကိန်းများစွာနှင့် ဆင်ခြင်တုံတရားမဲ့ ကိန်းများစွာ ရှိသည်။
အစစ်အမှန်နံပါတ်များဆိုင်ရာ အခြေခံလုပ်ဆောင်ချက်များ
အစစ်အမှန်နံပါတ်များသည် အောက်ပါအခြေခံသင်္ချာလုပ်ဆောင်ချက်များကို ပံ့ပိုးပေးသည်-
၁။ ပေါင်းခြင်း- \(a + b\)
၂။ နုတ်ခြင်း- \(a – b\)
၃။ မြှောက်ခြင်း- \(a \xb\)
၄။ စားခြင်း- \(a \div b\)၊ \(b \neq 0\) အခြေအနေဖြင့်
ဤလုပ်ဆောင်ချက်များတွင် အောက်ပါကဲ့သို့သော အရေးကြီးသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည်-
– အပြန်အလှန်အကျိုးသက်ရောက်မှု- \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– တွဲဖက် : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– ဖြန့်ဖြူးမှု- \(a(b + c) = ab + ac\)
– identity ရှိသည်- ပေါင်းခြင်းအတွက် ၀၊ မြှောက်ခြင်းအတွက် ၁
– ပြောင်းပြန်တစ်ခုရှိသည်- ပေါင်းခြင်းအတွက် \(-a\)၊ မြှောက်ခြင်းအတွက် \(\frac{1}{a}\) (\(a \neq 0\) အတွက်)
ဤဂုဏ်သတ္တိများသည် တွက်ချက်မှုစနစ်တစ်ခုအနေဖြင့် အစစ်အမှန်နံပါတ်များကို အလွန်တည်ငြိမ်စေသည်။
အစီအစဥ်နှင့် ပကတိတန်ဖိုး
အစစ်အမှန်နံပါတ်များတွင်လည်း အစီအစဉ်ဆက်နွယ်မှုရှိသည်။ ကျွန်ုပ်တို့သည် အစစ်အမှန်နံပါတ်နှစ်ခုကို အောက်ပါလက္ခဏာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်-
– \(<\) သည် ပိုငယ်သည် - \(>\) သည် ပိုကြီးသည်
– \(\le\) သည် ထက်ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီမျှသည်
– \(\ge\) သည် ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီမျှသည်
ထို့အပြင်၊ သုညမှ ဂဏန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေးကို ဖော်ပြသည့် ပကတိတန်ဖိုးဆိုင်ရာ အယူအဆလည်း ရှိပါသည်။
\[
|တစ်| =
\begin{cases}
a, & \text{if } a \ge 0 \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] ဥပမာ၊ \(|-၅| = ၅\) နှင့် \(|၃| = ၃\)။
