ပြားချပ်ချပ် မျက်နှာပြင်၏ ဧရိယာတွက်ချက်ရာတွင် အင်တီဂရယ်များ၏ အသုံးချမှုဆိုင်ရာ ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်
သင်္ချာသင်ကြားမှုတွင် ကဲကုလပ်စ်တွင် အင်တီဂရယ်များကို မကြာခဏ ကြုံတွေ့ရလေ့ရှိသည်။ အင်တီဂရယ်များ၏ အထင်ရှားဆုံးအသုံးချမှုများထဲမှ တစ်ခုမှာ မျဉ်းကွေး သို့မဟုတ် မျက်နှာပြင်အောက်ရှိ ဧရိယာကို တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤဆောင်းပါးသည် ဥပမာပြဿနာများစွာကို ဆွေးနွေးပြီး မျက်နှာပြင်၏ဧရိယာကို တွက်ချက်ရာတွင် အင်တီဂရယ်များကို အသုံးချပုံကို ဆွေးနွေးပါမည်။
သီအိုရီမိတ်ဆက်
ဥပမာပြဿနာဆီ မဆက်သွားခင်မှာ အင်တီဂရယ်တွေကို အသုံးပြုပြီး မျဉ်းကွေးအောက်က ဧရိယာတွက်ချက်တဲ့ အခြေခံသဘောတရားကို ပြန်လည်သုံးသပ်ကြည့်ကြရအောင်။ [a, b] အပိုင်းအခြားမှာ စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြစ်နေတဲ့ f(x) လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု ရှိရင် x = a မှ x = b အထိ y = f(x) မျဉ်းကွေးအောက်က ဧရိယာဟာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါတယ်။
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ဂျီဩမေတြီအရဆိုရင် x = a ကနေ x = b အထိ အလွန်ပါးလွှာတဲ့ ထောင့်မှန်စတုဂံရဲ့ ဧရိယာကို ပေါင်းထည့်နေတယ်လို့ ဆိုလိုပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
ဆိုးလ်
[1, 3] အပိုင်းအခြားတွင် y = x² မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာကို တွက်ချက်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
ဧရိယာကိုတွက်ချက်ရန်အတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် integral ကိုသုံးပါသည်-
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
\( x^2 \) ရဲ့ antiderivative ကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် စတင်ပါတယ်။ \( x^2 \) ရဲ့ antiderivative က \( \frac{x^3}{3} \) ဖြစ်ပါတယ်။ ထို့နောက် integral သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်-
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
ကျွန်ုပ်တို့သည် antiderivative ကို integral ၏ ကန့်သတ်ချက်များအပေါ်တွင် အကဲဖြတ်ရမည်ကို သတိရပါ။
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
ထို့ကြောင့် x = 1 မှ x = 3 အထိ မျဉ်းကွေး y = x² အောက်ရှိ ဧရိယာသည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-
\[ \frac{26}{3} \, \text{ဧရိယာယူနစ်} \]
ဥပမာမေးခွန်း ၉
ဆိုးလ်
y = x³ မျဉ်းကွေးနှင့် x = 1 နှင့် x = 2 မျဉ်းများဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ဒေသ၏ ဧရိယာကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
ဧရိယာကိုတွက်ချက်ရန်အတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် integral ကိုသုံးပါသည်-
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
ပုံမှန်အတိုင်း၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် \( x^3 \) ၏ antiderivative ကိုရှာဖွေခြင်းဖြင့် စတင်ပါသည်။ \( x^3 \) ၏ antiderivative သည် \( \frac{x^4}{4} \) ဖြစ်သည်။ integral သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်-
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
အင်တီဂရယ်၏ ကန့်သတ်ချက်များကို အကဲဖြတ်ပါ-
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
ထို့ကြောင့် x = 1 မှ x = 2 အထိ မျဉ်းကွေး y = x³ အောက်ရှိ ဧရိယာသည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-
\[ \frac{15}{4} \, \text{ဧရိယာယူနစ်} \]
ဥပမာမေးခွန်း ၉
ဆိုးလ်
x = 0 မှ x = 1 အထိ အပိုင်းအခြားတွင် y = x² + 1 နှင့် y = 2x + 2 မျဉ်းကွေးများဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ဒေသ၏ ဧရိယာကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
ပထမဦးစွာ၊ ပေါင်းစည်းမှု၏ ကန့်သတ်ချက်များကို ဆုံးဖြတ်ရန်အတွက် အပြန်အလှန်ဆက်စပ်အမှတ်များကို ရှာဖွေရန် လိုအပ်ပါသည်။ \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) အတွက် အဖြေမှာ-
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^၂ – ၂x – ၁ = ၀ \]
နှစ်ထပ်ကိန်းဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍-
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
သို့သော်၊ 0 နှင့် 1 အကြားရှိ အပေါ်နှင့်အောက် ကန့်သတ်ချက်များအတွက်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် quadratic solution ကို အသုံးပြုရန် မလိုအပ်ပါ၊ 0 မှ 1 အထိ သာမန် integral ကန့်သတ်ချက်ကိုသာ အသုံးပြုရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့နောက်၊ ဤကန့်သတ်ချက်များအရ အပေါ် y မျဉ်းကွေးမှ အောက် y မျဉ်းကွေး၏ ဧရိယာကို တွက်ချက်ပါ။
\[ L = \int_{0}^{1} [(၂x + ၂) – (x^၂ + ၁)] \, dx \]
လုပ်ဆောင်ချက် ရိုးရှင်းစေခြင်း-
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
ထို့နောက်တွင်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် antiderivative ကိုရှာသည်-
\( (-x^2) \) ရဲ့ ဆန့်ကျင်ဘက် ဆင်းသက်မှုကတော့ \( -\frac{x^3}{3} \) ပါ။
\((2x) \) ရဲ့ ဆန့်ကျင်ဘက် ဆင်းသက်မှုကတော့ \( x^2 \) ပါ။
\((1) \) ရဲ့ ဆန့်ကျင်ဘက် ဆင်းသက်မှုက \(x \) ဖြစ်ပါတယ်။
သောကြောင့်,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
နောက်ထပ် အကဲဖြတ်ချက်-
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
ထို့ကြောင့်၊ [0, 1] အပိုင်းအခြားပေါ်ရှိ y = x² + 1 နှင့် y = 2x + 2 မျဉ်းကွေးများဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ဒေသ၏ ဧရိယာမှာ-
\[ \frac{5}{3} \, \text{ဧရိယာယူနစ်} \]
-
အထက်ပါ ဥပမာများမှ၊ မျဉ်းကွေးတစ်ခုအောက် သို့မဟုတ် မျဉ်းကွေးနှစ်ခုကြားရှိ ဧရိယာကို တွက်ချက်ရန် အင်တီဂရယ်များကို မည်သို့အသုံးပြုနိုင်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ မြင်တွေ့နိုင်ပါသည်။ အင်တီဂရယ်များနှင့် အင်တီဒရီဗတီဗေတစ် နည်းပညာများ၏ အခြေခံသဘောတရားများကို ကောင်းစွာနားလည်ခြင်းဖြင့် ဤဧရိယာများကို တွက်ချက်ခြင်းသည် အလွန်စနစ်တကျနှင့် ထိရောက်မှုရှိလာမည်ဖြစ်သည်။ မျှော်လင့်ပါသည်၊ ဤဆောင်းပါးသည် လက်တွေ့ကမ္ဘာတွင် အထူးသဖြင့် ပြားချပ်မျက်နှာပြင်များ၏ ဧရိယာကို တိုင်းတာခြင်းနယ်ပယ်တွင် အင်တီဂရယ်များ၏ အသုံးချမှုအပေါ် ကျွန်ုပ်တို့၏ နားလည်မှုကို တိုးမြှင့်ပေးခဲ့ပါသည်။
