ဘိုင်နိုမီယယ် ဖြန့်ဖြူးမှုဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက် မေးခွန်းတစ်ခု၏ ဥပမာ

ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်

ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုသည် အသုံးအများဆုံး discrete probability ဖြန့်ဖြူးမှုများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အောင်မြင်မှု သို့မဟုတ် ကျရှုံးမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည့် တူညီသော၊ လွတ်လပ်သော စမ်းသပ်မှု အများအပြားတွင် အောင်မြင်မှုအရေအတွက်ကို မော်ဒယ်လ်လုပ်ရန်အတွက် အသုံးဝင်ပါသည်။ ဤဆောင်းပါးတွင်၊ ဥပမာများစွာနှင့် အသေးစိတ်ဆွေးနွေးချက်တစ်ခု ပေးခြင်းဖြင့် ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုထဲသို့ ပိုမိုနက်ရှိုင်းစွာ ဝင်ရောက်လေ့လာပါမည်။

ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုနိဒါန်း

ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှု အဓိကဝိသေသလက္ခဏာများ-

၁။ n : စမ်းသပ်မှု သို့မဟုတ် ထပ်ခါတလဲလဲ အကြိမ်အရေအတွက်။
၂။ p : စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် အောင်မြင်မှုဖြစ်နိုင်ခြေ။
၃။ q = 1-p : စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် ကျရှုံးနိုင်ခြေ။

ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဖြစ်နိုင်ခြေ ဒြပ်ထု လုပ်ဆောင်ချက်မှာ-

\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]

ဘယ်နေရာ:

– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \ ): အောင်မြင်မှုအရေအတွက်ကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခု။
– \( k \): ရှာဖွေခဲ့သော အောင်မြင်မှုအရေအတွက်။

နမူနာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်

ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု သဘောတရားကို ပိုမိုအသေးစိတ်နားလည်ရန် ဥပမာပြဿနာအချို့ဖြင့် စတင်ကြပါစို့။

ဥပမာ ၁: ကျောင်းသားအုပ်စုတစ်စုမှ ရွေးချယ်ခြင်း

ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသား ၁၀ ယောက်အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ရှိပြီး ကျောင်းသားတစ်ဦးစီ ပြိုင်ပွဲတွင် ပါဝင်ရန် ရွေးချယ်ခံရနိုင်ခြေမှာ 0,3 ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ ကျောင်းသား ၄ ယောက် ရွေးချယ်ခံရနိုင်ခြေကို ကျွန်ုပ်တို့ သိလိုပါသည်။

အဆင့် ၁: ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ကန့်သတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ပါ။
– \( n = 10 \)
–\( p = 0.3\)

အဆင့် ၂: \(X = 4\) ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ရန် binomial distribution ကို အသုံးပြုပါ။

\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

\( {10 \choose 4} \) ကို တွက်ချက်နေသည်-

\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

ယခု \( (0.3)^4 \) နှင့် \( (0.7)^6 \ ကို တွက်ပါ-

\[ (၀.၂)^၂ = ၀.၀၄ \]
\[ (၀.၂)^၂ = ၀.၀၄ \]

ဒီတော့၊

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \ခန့်မှန်းခြေ 0.20012 \]

ထို့ကြောင့် ကျောင်းသား ၄ ဦးကိုသာ ရွေးချယ်နိုင်ခြေမှာ ၀.၂၀၀၁၂ သို့မဟုတ် ၂၀.၀၁၂% ခန့်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၂: ၂ ထက်နည်းသော သို့မဟုတ် ၂ နှင့်ညီမျှသော ဖြစ်နိုင်ခြေ

ဥပမာအားဖြင့်၊ ကျောင်းသား ၂ ဦးထက်နည်းသော သို့မဟုတ် ၂ ဦးနှင့်ညီမျှသော ကျောင်းသားများကို ရွေးချယ်နိုင်ခြေအကြောင်း မေးမြန်းခံရပါသည်။

အဆင့် ၁: ကျွန်ုပ်တို့သည် \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) နှင့် \( P(X = 2) \) တို့ကို တွက်ချက်ရပါမည်။

– \( P(X = 0) \ အတွက်):

\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ (၀.၇)^{၁၀} = ၀.၀၂၈၂၄၇၅ \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]

– \( P(X = 1) \ အတွက်):

\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ (၀.၃) \cdot (၀.၇)^၉ = ၀.၁၂၁၀၆၀၈ \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]

– \( P(X = 2) \ အတွက်):

\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ (၀.၃)^၂ \cdot (၀.၇)^၈ = ၀.၂၃၃၄၇၄၄ \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]

အဆင့် ၂: ဖြစ်နိုင်ခြေများကို ပေါင်းထည့်ပါ။

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]

ထို့ကြောင့် ကျောင်းသား ၂ ဦးထက်နည်းသော သို့မဟုတ် ၂ ဦးနှင့်ညီမျှသော ကျောင်းသားများကို ရွေးချယ်နိုင်ခြေမှာ ၀.၇၇၄၀၆၇၁ သို့မဟုတ် ၇၇.၄၁% ခန့်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၃: အနည်းဆုံး ၈ ဖြစ်နိုင်ခြေ

စမ်းသပ်မှုတစ်ခုကို ၁၂ ကြိမ်ပြုလုပ်ပြီး စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် အောင်မြင်မှုဖြစ်နိုင်ခြေ ၀.၅ ရှိပါက အနည်းဆုံး အောင်မြင်မှု ၈ ခုဖြစ်နိုင်ခြေကား အဘယ်နည်း။

အဆင့် ၁ : ဒွိစုံ ကန့်သတ်ချက်များကို သတ်မှတ်ပါ- \( n = 12, p = 0.5 \)။

အဆင့် ၂ : \( X \geq 8 \) အတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေကို ရှာပါ။

၎င်းအတွက် တစ်ဦးချင်းဖြစ်နိုင်ခြေများစွာကို တွက်ချက်ပြီး ပေါင်းထည့်ရန် လိုအပ်ပါသည်-

\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]

တစ်ခုပြီးတစ်ခု ရေတွက်ပါ-

– \( P(X = 8) \ အတွက်):

\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ (၀.၇)^{၁၀} = ၀.၀၂၈၂၄၇၅ \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]

– \( P(X = 9) \ အတွက်):

\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]

– \( P(X = 10) \ အတွက်):

\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]

– \( P(X = 11) \ အတွက်):

\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]

– \( P(X = 12) \ အတွက်):

\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {၁၀ \ရွေးချယ် ၀} = ၁ \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]

အဆင့် ၃: ဖြစ်နိုင်ခြေအားလုံးကို ထည့်ပါ။

\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ခန့်မှန်းခြေ 0.1938477 \]

ထို့ကြောင့် စမ်းသပ်မှု ၁၂ ခုတွင် အနည်းဆုံး အောင်မြင်မှု ၈ ခု ဖြစ်နိုင်ခြေမှာ ၀.၁၉၃၈၄၇၇ သို့မဟုတ် ၁၉.၃၈% ခန့်ဖြစ်သည်။

နိဂုံး

ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုသည် စာရင်းအင်းပညာတွင် အခြေခံသဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး လက်တွေ့အသုံးချမှုများစွာတွင် အရေးပါပါသည်။ အထက်ဖော်ပြပါ ဥပမာများတွင် ပြထားသည့်အတိုင်း ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အမျိုးမျိုးသောကိစ္စများအတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေများကို မည်သို့တွက်ချက်ရမည်ကို နားလည်ခြင်းဖြင့် ဤသဘောတရားကို လက်တွေ့ကမ္ဘာအခြေအနေများတွင် အသုံးချနိုင်ပါသည်။ ဤလေ့ကျင့်ခန်းသည် ဖြစ်နိုင်ခြေဖွဲ့စည်းပုံများသည် ရှင်းလင်းပြတ်သားပြီး စနစ်တကျရှိသော အခြေအနေတွင် မည်သို့အလုပ်လုပ်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့၏ နားလည်မှုကိုလည်း အားဖြည့်ပေးပါသည်။