နေရာဖြည့်ရန် စည်းမျဉ်းများကို ဆွေးနွေးသည့် ဥပမာမေးခွန်းများ

နေရာလွတ်ဖြည့်ရန် စည်းမျဉ်းများကို ဆွေးနွေးသည့် ဥပမာမေးခွန်းများ

နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်း သို့မဟုတ် နေရာချထားမှုစည်းမျဉ်းသည် သင်္ချာနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေတွင် အခြေခံသဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး အခြေအနေများစွာတွင် အလွန်အသုံးဝင်ပါသည်။ ဤစည်းမျဉ်းကို အရာဝတ္ထုများကို သတ်မှတ်ထားသော အစီအစဉ်အတိုင်း သို့မဟုတ် မတူညီသော အစီအစဉ်များဖြင့် စီစဉ်ရာတွင် အများအားဖြင့် အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤဆောင်းပါးတွင်၊ နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းနှင့်ပတ်သက်သည့် ဥပမာပြဿနာအချို့ကို ဆွေးနွေးပြီး တစ်ခုချင်းစီအတွက် အသေးစိတ်ဖြေရှင်းချက်များကို ပေးပါမည်။

Pendahuluan

နေရာလွတ်ဖြည့်ခြင်းသည် အရာဝတ္ထုများ၏ အစီအစဉ်၊ ပေါင်းစပ်မှုနှင့် ရွေးချယ်မှုကို လေ့လာသည့် သင်္ချာနယ်ပယ်တစ်ခုဖြစ်သည့် combinatorics တွင် အသုံးပြုလေ့ရှိသော အသုံးများသော နည်းစနစ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ combinatorics ၏ အခြေခံမူများထဲမှ တစ်ခုမှာ မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းဖြစ်ပြီး၊ လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုတွင် အဆင့်များစွာရှိပြီး အဆင့်တစ်ခုစီတွင် ရွေးချယ်စရာအရေအတွက် အတိအကျရှိပါက၊ အဆင့်တစ်ခုစီရှိ ရွေးချယ်စရာအရေအတွက်ကို မြှောက်ခြင်းဖြင့် ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော အစီအစဉ်အရေအတွက်ကို ရှာဖွေနိုင်သည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။

ဥပမာအားဖြင့်၊ ပထမအဆင့်တွင် ရွေးချယ်စရာများ (m\) ရှိပြီး ဒုတိယအဆင့်တွင် ရွေးချယ်စရာများ (n\) ရှိသော အဆင့်နှစ်ဆင့်ရှိပါက၊ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော အစီအစဉ်အရေအတွက်မှာ (m\times n\) ဖြစ်သည်။

ဒီသဘောတရားကို ဥပမာပြဿနာအချို့ကို ဖြေရှင်းဖို့ အသုံးချကြည့်ရအောင်။

ဥပမာ ၁: စာအုပ်များကို စင်ပေါ်တွင် စီစဉ်ခြင်း

မေးခွန်း:
စာအုပ် ၅ အုပ်နဲ့ ဖြည့်ဖို့ နေရာ ၅ ခုပါတဲ့ စာအုပ်စင်တစ်ခု ရှိပါတယ်။ စာအုပ် ၅ အုပ်ကို စင်ပေါ်မှာ ဘယ်နှစ်နည်းနဲ့ စီလို့ရလဲ။

ဆွေးနွေးချက်:
ဤကိစ္စတွင်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် စာအုပ်ငါးအုပ်ကို နေရာငါးခုတွင် စီစဉ်ရန် လိုအပ်ပါသည်။ အစီအစဉ်သည် အရေးကြီးသောကြောင့် ၎င်းသည် ပြောင်းလဲမှုပြဿနာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤပြဿနာကို ဖြေရှင်းရန် နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်း သို့မဟုတ် မြှောက်စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုနိုင်ပါသည်။

၁။ ပထမအခန်းအတွက်၊ ကျွန်ုပ်တို့တွင် စာအုပ် ၅ အုပ် ရွေးချယ်စရာရှိပါသည်။
၂။ ပထမအခန်းတွင် စာအုပ်တစ်အုပ်ထားပြီးနောက်၊ ဒုတိယအခန်းအတွက် ရွေးချယ်စရာ စာအုပ် ၄ အုပ် ကျန်ရှိပါသည်။
၃။ တတိယအခန်းအတွက်၊ ကျွန်ုပ်တို့တွင် စာအုပ်ရွေးချယ်စရာ ၃ ခု ကျန်ရှိနေသေးသည်၊ စသည်ဖြင့်။

ဆက်တင်စုစုပေါင်းအရေအတွက်အတွက် ညီမျှခြင်းသည်-
\[ ၅ \အမြှောက် ၄ \အမြှောက် ၃ \အမြှောက် ၂ \အမြှောက် ၁ = ၅! = ၁၂၀ \]

ဒါကြောင့် စာအုပ်ငါးအုပ်ကို စီစဉ်ဖို့ နည်းလမ်း ၁၂၀ ရှိပါတယ်။

ဥပမာ ၂: မတူညီသော အက္ခရာများမှ စကားလုံးများ ဖန်တီးခြင်း

မေးခွန်း:
“သင်္ချာ” ဆိုတဲ့ စကားလုံးထဲက အက္ခရာအားလုံးကို အသုံးပြုပြီး စကားလုံးတွေကို ထပ်ခါတလဲလဲ မရေးဘဲ ဘယ်နှစ်လုံး ဖွဲ့နိုင်မလဲ။

ဆွေးနွေးချက်:
"MATHEMATICS" ဆိုတဲ့ စကားလုံးမှာ အက္ခရာဘယ်နှစ်လုံးပါလဲဆိုတာကို အရင်ဆုံးကြည့်ဖို့ လိုပါတယ်။ အက္ခရာ ၁၁ လုံးရှိပြီး တချို့ကတော့ ထပ်နေပါတယ်။ ထပ်နေတဲ့ အက္ခရာတွေကတော့ -
– M ၂ အထိ
- ၃ ခုအထိ
– ၂ အထိ
– အခြားစာလုံးများ (E၊ I၊ K) သည် တစ်ကြိမ်စီ ပေါ်လာသည်။

ကျွန်ုပ်တို့သည် ထပ်ခါတလဲလဲ ဒြပ်စင်များအတွက် permutation ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုပါသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ-
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
ဤတွင် \( n \) သည် အစိတ်အပိုင်းများ၏ စုစုပေါင်းအရေအတွက် (အက္ခရာများ) ဖြစ်ပြီး \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) သည် ထူးခြားသော အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီ၏ ထပ်ခါတလဲလဲပြုလုပ်သည့် အရေအတွက်ဖြစ်သည်။

"သင်္ချာ" ဆိုတဲ့ စကားလုံးနဲ့ဆိုရင်-
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]

ဒါကြောင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်တဲ့ စကားလုံးအရေအတွက်က -
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]

စကားလုံးပေါင်း ၁,၆၆၃,၂၀၀ လုံး ဖွဲ့စည်းနိုင်ပါတယ်။

ဥပမာ ၃: Martabak တွင် ပေါင်းစပ်မှုအရေအတွက်ကို ဆုံးဖြတ်ခြင်း

မေးခွန်း:
မာတာဘတ်ရောင်းချသူတစ်ဦးသည် အဆာပလာငါးမျိုး (ချိစ်၊ ချောကလက်၊ မြေပဲ၊ ငှက်ပျောသီးနှင့် စပျစ်သီးခြောက်) ပေးဆောင်သည်။ ဖောက်သည်တစ်ဦးသည် ၎င်းတို့၏ မာတာဘတ်အတွက် အဆာပလာငါးမျိုးအနက် သုံးခုကို ရွေးချယ်လိုပါက ပေါင်းစပ်မှု မည်မျှရွေးချယ်နိုင်သနည်း။

ဆွေးနွေးချက်:
ဒါက ပေါင်းစပ်ပြဿနာပါ၊ permutation မဟုတ်ပါဘူး၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အစီအစဉ်က အရေးမကြီးလို့ပါ။ ကျွန်ုပ်တို့ ပေါင်းစပ်ပုံသေနည်းကို အသုံးပြုပါတယ်-
\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
ဤတွင် \( n \) သည် ရွေးချယ်မှု စုစုပေါင်း အရေအတွက် ဖြစ်ပြီး \( k \) သည် ရွေးချယ်ထားသော ရွေးချယ်မှု အရေအတွက် ဖြစ်သည်။

ဤကိစ္စအတွက်၊ \( n = 5 \) နှင့် \( k = 3 \)၊ ထို့ကြောင့်-
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

ရွေးချယ်စရာ ၅ ခုမှ အကြောင်းအရာ ၃ ခုကို ရွေးချယ်ရန် ပေါင်းစပ်မှု ၁၀ ​​မျိုး ရှိပါသည်။

ဥပမာ ၄: ပွဲစဉ်တွင် ပါဝင်သူ အစီအစဉ်

မေးခွန်း:
အပြေးပြိုင်ပွဲတစ်ခုမှာ ပါဝင်သူ ၈ ယောက်ရှိပါတယ်။ ထိပ်ဆုံး ၃ ယောက်ကို ဘယ်လိုဘယ်နည်းနဲ့ ရပ်တည်နိုင်မလဲ။

ဆွေးနွေးချက်:
ဒါက ထပ်ခါတလဲလဲမပါတဲ့ permutation ပြဿနာတစ်ခုပါ၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အနေအထားဆိုတာ အစီအစဉ်က အရေးကြီးလို့ပါပဲ။ permutation ဖော်မြူလာကို ကျွန်ုပ်တို့ အသုံးပြုပါတယ်-
\[ P(n,k) = \frac{n!}{(nk)!} \]

ဤကိစ္စအတွက်၊ \( n = 8 \) နှင့် \( k = 3 \)၊ ထို့နောက်-
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]

ဒါကြောင့် ပါဝင်သူ ၈ ဦးရဲ့ ထိပ်ဆုံးသုံးနေရာကို ထားရှိဖို့ နည်းလမ်း ၃၃၆ ခုရှိပါတယ်။

ဤဆောင်းပါးတွင်၊ စာအုပ်များကို စင်ပေါ်တွင် စီစဉ်ခြင်းမှသည် ပြိုင်ပွဲတစ်ခု၏ အနိုင်ရသူကို ဆုံးဖြတ်ခြင်းအထိ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြု၍ ဥပမာပြဿနာများစွာနှင့် ၎င်းတို့၏ဖြေရှင်းချက်များကို ဆွေးနွေးခဲ့ပါသည်။ ဤအခြေခံများကို နားလည်ခြင်းသည် သင်ကြုံတွေ့ရနိုင်သည့် ပေါင်းစပ်မှုနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေပြဿနာအမျိုးမျိုးကို ဖြေရှင်းရာတွင် ယုံကြည်မှုပိုမိုရရှိစေမည်ဖြစ်သည်။