Moment of inertia for particle – problems and solutions

Il-mument tal-inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet

1. Żewġ blalen konnessi b'virga, kif muri fil-figura t'hawn taħt. Injora l-virga massaIl-massa tal-ballun P hija ta' 600 gramma u l-massa tal-ballun Q hija ta' 400 gramma. X'inhi l- mument ta 'inerzja tas-sistema dwar AB?

Magħruf:

L-assi tar-rotazzjoni huwa AB. Mument ta' inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet 1

m_p = 600 gramma = 0.6 kg, m_q = 400 gramma = 0.4 kg

r_p = 20 ċm = 0.2 m, r_q = 50-il ċm = 0.5 m

Meħtieġ: Il-mument ta' inerzja tas-sistema

Soluzzjoni:

Jiena = m_p r_p² +m_q r_q²

I = (0.6 kg)(0.2 m)² + (0.4 kg)(0.5 m)²

I = (0.6 kg)(0.04 m²) + (0.4 kg)(0.25 m²)

I = 0.024 kg m² + 0.1 kg m²

I = 0.124 kg m²

2. Il-Virga ta' AB b'massa ta' 2 kg imdawwra madwar il-punt A, il-mument ta' inerzja tal-virga huwa 8 kg m²Jekk iddur madwar il-punt O (AO = OB), x'inhu l-mument tal-inerzja tal-virga.

Magħruf: Mument ta' inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet 2

Massa tal-virga AB (m) = 2 kg

Jekk iddur madwar il-punt A sabiex ir-raġġ tar-rotazzjoni (r) = it-tul ta' AB = r allura l-mument tal-inerzja (I) = 8 kg m²

Mfittxija: Jekk iddur madwar il-punt O sabiex ir-raġġ tar-rotazzjoni (r) = it-tul ta' AO = it-tul ta' OB = 1/2 r allura x'inhu l-mument tal-inerzja tal-virga.

Soluzzjoni:

Jiena = is-Sur²

8 kg m² = (2 kg) r²

8 m² = (2) r²

r²= 8m² / 2

r²= 4m²

r = 2 metri

Jekk iddur madwar il-punt O sabiex ½ r = 1 metru, allura l-mument tal-inerzja:

Jiena = is-Sur²= (2 kg)(1 metru kwadru)² = (2 kg)(1 m²) = 2 kg m²

3. Żewġ blalen konnessi permezz ta' virga kif muri fil-figura t'hawn taħt. Injora l-massa tal-virga. X'inhu l-mument tal-inerzja tas-sistema.

Magħruf:

Massa tal-ballun A (m_A) = 200 gramma = 0.2 kg Mument ta' inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet 3

Massa tal-ballun B (m_B) = 400 gramma = 0.4 kg

Distanza bejn il-ballun A u l-assi tar-rotazzjoni (r_A) = 0

Ara wkoll Mozzjoni ta' waqgħa ħielsa – problemi u soluzzjonijiet

Distanza bejn il-ballun B u l-assi tar-rotazzjoni (r_B) = 25 ċm = 0.25 m

Meħtieġ: Il-mument tal-inerzja tas-sistema

Soluzzjoni:

Il-mument tal-inerzja tal-ballun A:

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(0)² = 0

Il-mument tal-inerzja tal-ballun B:

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m²²

Il-mument tal-inerzja tas-sistema:

I = I_A+ Jien_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² = 25x10^-3 kg m²

4. Erba' partiċelli b'massi differenti, murija fil-figura t'hawn taħt. Iddetermina l-mument tal-inerzja tas-sistema madwar il-linja orizzontali P.

Soluzzjoni

L-assi tar-rotazzjoni hija l-linja orizzontali P.

Magħruf: Mument ta' inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet 4

Massa tal-partiċella A (m_A) = m

Massa tal-partiċella B (m_B) = 2m

Massa tal-partiċella C (m_C) = 3m

Il-mogħdija tal-partiċella D (m_D) = 4m

Distanza bejn il-partiċella A u l-assi tar-rotazzjoni (r_A) = b

Distanza bejn il-partiċella B u l-assi tar-rotazzjoni (r_B) = b

Id-distanza bejn il-partiċella C u l-assi tar-rotazzjoni (r_C) = 2b

Distanza bejn il-partiċella D u l-assi tar-rotazzjoni (r_D) = 2b

Meħtieġ: Il-mument tal-inerzja tas-sistema madwar il-linja orizzontali P

Soluzzjoni:

Jiena = m_A r_A² +m_B r_B²+m_C r_C²+m_Dr_D²

I = (m)(b)²+ (2m)(b)² + (3m)(2b)²+ (4m)(2b)²

I = mb²+ 2 mb² + (3m)(4b²) + (4m)(4b²)

I = mb²+ 2 mb² + 12 mb²+ 16 mb²

I = 31 mb²

5. Erba' partiċelli konnessi permezz ta' virga. Injora l-massa tal-virga. Iddetermina l-mument tal-inerzja madwar l-assi tar-rotazzjoni permezz tal-partiċella m.₁ u m₂, kif muri fil-figura hawn taħt.

Magħruf

Massa tal-partiċella 1 (m₁) = 1/4 kg Mument ta' inerzja għall-partiċelli – problemi u soluzzjonijiet 5

Massa tal-partiċella 2 (m₂) = 1/2 kg

Massa tal-partiċella 3 (m₃) = 1/4 kg

Massa tal-partiċella 4 (m₄) = 1/4 kg

Distanza bejn il-partiċella 1 u l-assi tar-rotazzjoni (r₁) = 0

Distanza bejn il-partiċella 2 u l-assi tar-rotazzjoni (r₂) = 0

Distanza bejn il-partiċella 3 u l-assi tar-rotazzjoni (r₃) = 10 ċm = 10/100 m = 1/10 m

Distanza bejn il-partiċella 4 u l-assi tar-rotazzjoni (r₄) = 10 ċm = 10/100 m = 1/10 m

Ara wkoll Ċirkwiti tar-resistors – problemi u soluzzjonijiet

Meħtieġ: Il-mument ta 'inerzja

Soluzzjoni:

Jiena = m₁ r₁² +m₂ r₂²+m₃ r₃²+m₄r₄²

I = (1/4)(0)²+ (1/2)(0)² + (1/4)(1/10)²+ (1/4)(1/10)²

Jiena = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Jiena = 1/400 + 1/400

Jiena = 2/400

I = 1/200 kg.m²

X'inhu l-mument ta' inerzja għal partiċella?
- TweġibaGħal partiċella waħda ta' massa $m$ mill-bogħod $r$ minn assi ta' rotazzjoni, il-mument ta' inerzja tiegħu $I$ huwa mogħti minn $I = m \times r^{2}$ .
Għaliex il-mument tal-inerzja spiss jissejjaħ l-"analogu rotazzjonali" tal-massa?
- TweġibaHekk kif il-massa hija kejl tar-reżistenza ta' oġġett għal bidliet fil-moviment translazzjonali tiegħu (minħabba t-tieni liġi ta' Newton), il-mument tal-inerzja huwa kejl tar-reżistenza ta' oġġett għal bidliet fil-moviment rotazzjonali tiegħu.
Kif il-bidla fid-distanza ta' partiċella mill-assi tar-rotazzjoni tagħha taffettwa l-mument ta' inerzja tagħha?
- TweġibaIl-mument tal-inerzja huwa proporzjonali għall-kwadru tad-distanza mill-assi tar-rotazzjoni. Jekk tirdoppja d-distanza, il-mument tal-inerzja jiżdied b'fattur ta' erbgħa.
Għaliex il-kwadru tad-distanza (r) huwa²) użata fil-formula għall-mument tal-inerzja minflok id-distanza biss?
- TweġibaIl-kwadru tad-distanza jintuża minħabba l-mod kif taħdem l-enerġija kinetika fir-rotazzjoni. Fil-moviment rotazzjonali, kull partiċella ta' oġġett tikkontribwixxi għall-enerġija kinetika rotazzjonali bbażata kemm fuq il-massa tagħha kif ukoll fuq id-distanza tagħha mill-assi kwadrata.
Kif jinbidel il-mument tal-inerzja ta' partiċella jekk il-massa tagħha tiġi triplikata filwaqt li d-distanza mill-assi tinżamm kostanti?
- TweġibaJekk il-massa tiġi triplikata u d-distanza tinżamm kostanti, il-mument tal-inerzja jittriplika wkoll għax huwa direttament proporzjonali għall-massa.
Jista' partiċella jkollha mument ta' inerzja ta' żero? Jekk iva, taħt liema kundizzjoni?
- TweġibaIva, partiċella se jkollha mument ta' inerzja ta' żero jekk tkun tinsab direttament fuq l-assi tar-rotazzjoni, u b'hekk id-distanza tagħha $r$ mill-assi ugwali għal żero.
Għaliex oġġetti differenti bl-istess massa u daqs ikollhom mumenti ta' inerzja differenti meta jduru madwar assi differenti?
- TweġibaId-distribuzzjoni tal-massa madwar l-assi tar-rotazzjoni tiddetermina l-mument tal-inerzja. Anke jekk żewġ oġġetti jkollhom l-istess massa u daqs, id-distribuzzjonijiet tal-massa tagħhom relattivament għall-assi tar-rotazzjoni jistgħu jvarjaw, u dan iwassal għal mumenti ta' inerzja differenti.
Il-mument tal-inerzja huwa kwantità skalari jew vettorjali?
- TweġibaIl-mument tal-inerzja huwa kwantità skalari. Madankollu, għal korpi riġidi b'forom kumplessi u assi multipli ta' rotazzjoni, huwa rappreżentat minn tensur.
Jekk żewġ partiċelli, kull waħda tal-massa $m$ , jinsabu f'distanzi $r_{1}$ u, $r_{2}$ Mill-assi tar-rotazzjoni, x'inhu l-mument ikkombinat tal-inerzja?
- TweġibaIl-mument tal-inerzja huwa addittiv għal partiċelli separati. Għalhekk, il-mument tal-inerzja kkombinat $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Kif jirrelata l-mument tal-inerzja mal-konservazzjoni tal-momentum angolari?
- TweġibaMomentum angolari $L$ huwa l-prodott tal-mument tal-inerzja $I$ u l-veloċità angolari $ω$ , rappreżentata mill-ekwazzjoni $L = I \times ω$ Jekk l-ebda torques esterni ma jaġixxu fuq sistema, il-momentum angolari jibqa' kostanti. Dan ifisser li jekk il-mument tal-inerzja jinbidel (bħal f'każ ta' skater tal-figura li jiġbed dirgħajh), il-veloċità angolari trid taġġusta biex iżżomm il-prodott kostanti.