Gerakan putaran – masalah dan penyelesaian

Gerakan putaran – masalah dan penyelesaian

Tork

1. Sebatang rasuk sepanjang 140 cm. Terdapat tiga daya yang bertindak pada rasuk itu, F₁ = 20 N, F₂ = 10 N, dan F₃ = 40 N dengan arah dan kedudukan seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Apakah tork menyebabkan pancaran berputar mengelilingi pusat jisim pancaran itu?

Diketahui:

Pusat jisim terletak di pusat rasuk.

Panjang rasuk (l) = 140 cm = 1.4 meter

Daya 1 (F₁) = 20 N, lengan tuil 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 meter

Daya 2 (F₂) = 10 N, lengan tuil 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Daya 3 (F₃) = 40 N, lengan tuil 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 meter

Dikehendaki: Magnitud tork

Penyelesaian:

Tork 1 memutarkan rasuk mengikut arah jam, jadi tanda negatif diberikan kepada tork 1.

τ₁ =F₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Tork 2 memutarkan rasuk lawan arah jam, jadi memberikan tanda positif kepada tork 2.

τ₂ =F₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Tork 3 berputar mengikut arah jam, jadi tanda positif diberikan kepada tork 3.

τ₃ =F₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Tork bersih:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Magnitud tork ialah 39 N m. Arah putaran rasuk mengikut arah jam, jadi tanda negatif diberikan.

2. Berapakah tork bersih yang bertindak pada rasuk? Paksi putaran pada titik D. (sin 53)^o = 0.8)

Diketahui:

Paksi putaran pada titik D

F₁ = 10 N dan l₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F₂ = 10√2 N dan l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F₃ = 20 N dan l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Dikehendaki: Tork bersih

Penyelesaian:

τ₁ =F₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Tork 1 berputar mengikut arah lawan jam jadi kita memberikan tanda positif kepada tork 1)

τ₂ =F₂ l₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Tork 2 berputar mengikut arah jam jadi kita memberikan tanda negatif kepada tork 2)

τ₃ =F₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Tork 3 berputar mengikut arah lawan jam jadi kita memberikan tanda positif kepada tork 3)

Tork bersih:

Στ = τ₁ – τ₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Berapakah tork bersih jika paksi putaran pada titik D. (sin 53^o = 0.8)

Diketahui:

Paksi putaran pada titik D.

Jarak antara F₁ dan paksi putaran (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Jarak antara F₂ dan paksi putaran (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Jarak antara F₃ dan paksi putaran (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 Newton

F₂ = 10√2 Newton

F₃ = 20 Newton

Dosa 53^o = 0.8

Dikehendaki: Tork bersih

Penyelesaian:

Detik daya itu 1

Στ₁ = (F₁)(r_AD tanpa 53^o) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Tork 1 berputar mengikut arah lawan jam jadi kita memberikan tanda positif kepada tork 1)

Momen daya 2

Στ₂ = (F₂)(r_BD tanpa 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Tork 2 berputar mengikut arah jam jadi kita memberikan tanda negatif kepada tork 2)

Momen daya 3

Στ₃ = (F₃)(r_CD tanpa 90^o) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Tork 2 berputar mengikut arah lawan jam jadi kita memberikan tanda positif kepada tork 3)

Tork bersih:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 meter Newton

Momen inersia

4. Panjang dawai = 12 m, l₁ = 4 m. Abaikan jisim dawai. Berapakah jisim momen inersia daripada sistem.

Diketahui:

Massa daripada A (m_A) = 0.2 kg

Jisim B (m_B) = 0.6 kg

Jarak antara A dan paksi putaran (r_A) = 4 meter

Jarak antara B dan paksi putaran (r_B) = 12 – 4 = 8 meter

Dikehendaki: Momen inersia sistem

Penyelesaian:

Momen inersia A

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 kg/m²

Momen inersia B

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg/m²

Momen inersia sistem:

Saya = Saya_A + Saya_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg/m²

Dinamik putaran

5. Daya 6-N dikenakan pada tali yang dililit di sekeliling takal berjisim M = 5 kg dan jejari R = 20 cm. Berapakah pecutan sudut takal tersebut. Takal tersebut ialah sebuah silinder pepejal seragam.

Diketahui:

Daya (F) = 6 Newton

Jisim (M) = 5 kg

Jejari (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Dikehendaki: Pecutan sudut (α)

Penyelesaian:

Momen daya:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 N m

Momen inersia bagi silinder pepejal:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m²)

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m².

Pecutan sudut:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s^-2

6. Sebuah bongkah berjisim = 4 kg tergantung pada tali yang dililit pada takal berjisim = 8 kg dan jejari R = 10 cm. Pecutan akibat graviti ialah 10 ms^-2 Apakah pecutan linear bagi bongkah itu? Takal itu ialah sebuah silinder pepejal seragam.

Diketahui:

Jisim takal (m) = 8 kg

Jejari takal (r) = 10 cm = 0.1 m

Jisim bongkah (m) = 4 kg

Pecutan akibat graviti (g) = 10 m/s²

Berat (w) = mg = (4 kg)(10 m/s)²) = 40 kg m/s² = 40 Newton

Dikehendaki: Pecutan jatuh bebas blok itu

Penyelesaian:

Momen inersia silinder pepejal:

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg)(0.1 m)² = (4 kg)(0.01 m²) = 0.04 kg m²

Momen daya:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Pecutan sudut:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Pecutan linear:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s²

7. Sebuah bongkah berjisim m tergantung pada tali yang dililit pada takal. Jika jatuh bebas pecutan blok itu ialah am/s², apakah momen inersia takal itu..

Diketahui:

berat = w = mg

Lengan tuil = R

Pecutan sudut = α

Pecutan jatuh bebas blok = a ms^-2

Dikehendaki: Momen inersia takal (I)

Penyelesaian:

Hubungan antara pecutan linear dan pecutan sudut:

a = Rα

α = a / R

Momen inersia:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

Momentum sudut

8. Sebuah zarah 0.2 gram bergerak dalam bulatan pada kelajuan malar 10 m/s. Jejari bulatan itu ialah 3 cm. Apakah momentum sudut zarah itu?

Diketahui:

Jisim zarah (m) = 0.2 gram = 2 x 10^-4 kg

Laju sudut (ω) = 10 rad s^-1

Jejari (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 meter

Dikehendaki: Momentum sudut zarah itu

Penyelesaian:

Persamaan momentum sudut:

L = Iω

I = momentum sudut, I = momen inersia, ω = laju sudut

Momen inersia (untuk zarah):

Saya = Encik² = (2 x 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 x 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 x 10^-8

Momentum sudut:

L = Iω = (18 x 10^-8)(10 rad s^-1) = 18 x 10^-7 kg m² s^-1

1. Apakah gerakan putaran?
   • jawapanGerakan putaran merujuk kepada pergerakan objek di sekitar paksi tetap. Ia adalah jenis gerakan di mana setiap titik objek bergerak dalam bulatan di sekitar paksi.
2. Bagaimanakah halaju linear berkaitan dengan halaju sudut dalam gerakan putaran?
   • jawapan: Halaju linear ($v$) bagi suatu titik dalam objek berputar adalah berkadar terus dengan jaraknya ($r$) daripada paksi putaran dan halaju sudut ($\omega$) bagi objek tersebut. Hubungan tersebut diberikan oleh $v=r\cdot \omega$.
3. Apakah momen inersia, dan bagaimanakah ia berkaitan dengan gerakan putaran?
   • jawapanMomen inersia ialah analog putaran jisim dalam gerakan linear. Ia mengukur rintangan objek terhadap perubahan dalam keadaan putarannya. Momen inersia bergantung pada jisim objek dan taburannya relatif kepada paksi putaran.
4. Bagaimanakah hukum gerakan Newton yang pertama terpakai kepada gerakan putaran?
   • jawapanSama seperti objek dalam gerakan linear kekal bergerak melainkan dikenakan tindakan oleh daya luaran, objek dalam gerakan putaran akan kekal dalam keadaan itu melainkan dikenakan tindakan oleh tork luaran.
5. Apakah kepentingan jejari girasi?
   • jawapanJejari girasi memberikan ukuran taburan jisim objek dari paksi putarannya. Ia pada asasnya menerangkan sejauh mana semua jisim objek perlu ditumpukan dari paksi untuk mempunyai momen inersia yang sama seperti taburan asal.
6. Apakah momentum sudut dan bagaimana ia dipelihara?
   • jawapanMomentum sudut ialah setara putaran momentum linear. Ia merupakan hasil darab momen inersia objek dan halaju sudutnya. Dalam sistem tertutup, jumlah momentum sudut kekal malar melainkan dikenakan tindakan oleh tork luaran, yang menonjolkan pemuliharaan momentum sudut.
7. Bagaimanakah tork mempengaruhi gerakan putaran?
   • jawapanTork ialah setara putaran daya. Ia menyebabkan perubahan dalam gerakan putaran sesuatu objek. Hubungannya diberikan oleh hukum kedua Newton untuk putaran: $\tau =I\cdot \alpha$, Di mana $\tau$ ialah tork, $I$ ialah momen inersia, dan $\alpha$ ialah pecutan sudut.
8. Bagaimanakah pusat jisim berbeza daripada pusat putaran?
   • jawapanWalaupun ia boleh bertepatan, pusat jisim ialah titik di mana keseluruhan jisim sesuatu objek boleh dianggap tertumpu untuk tujuan pengiraan dalam gerakan linear, manakala pusat putaran ialah titik (atau paksi) tempat objek berputar.
9. Apakah peranan daya memusat dalam gerakan putaran?
   • jawapanDaya memusat ialah daya bersih yang bertindak ke atas objek yang bergerak dalam laluan bulat, menghala ke arah pusat putaran. Ia bertanggungjawab untuk memastikan objek berada dalam laluan melengkungnya dan menghalangnya daripada bergerak dalam garis lurus disebabkan oleh inersia.

10. Bagaimanakah tenaga kinetik putaran berkaitan dengan momen inersia dan halaju sudut?

    • jawapanTenaga kinetik putaran ialah tenaga yang disebabkan oleh putaran objek pada paksi. Ia diberikan oleh formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Di mana $I$ ialah momen inersia dan $\omega$ ialah halaju sudut.