Persamaan Poiseuille

Artikel tentang persamaan Poiseuilles

Persamaan Poiseuille telah ditemui oleh Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Seperti yang dijelaskan, setiap bendalir boleh dianggap sebagai bendalir ideal. Bendalir ideal tidak mempunyai kelikatan. Jika kita menganggap bendalir ideal mengalir dalam paip, setiap bahagian bendalir bergerak pada kadar yang sama (v). Tidak seperti bendalir ideal, bendalir sebenar yang kita temui dalam kehidupan seharian mempunyai kelikatan. Oleh kerana ia mempunyai kelikatan, maka apabila mengalir dalam paip, sebagai contoh, kadar setiap bahagian bendalir berbeza-beza. Lapisan bendalir yang berada di tengah bergerak lebih pantas (v dalam), sebaliknya, lapisan bendalir yang melekat pada paip tidak bergerak (v = 0). Jadi dari tengah ke tepi paip, setiap bahagian bendalir bergerak pada kadar yang berbeza. Untuk memudahkan pemahaman anda, perhatikan gambar di bawah.

R = jejari paip/tiub

v ₁ = kadar aliran bendalir di paksi tengah / tiub

v ₂ = kadar aliran bendalir iaitu r ₂ dari tepi tiub

v ₃ = kadar aliran bendalir r ₃ dari tepi tiub

v ₄ = kadar aliran bendalir r ₄ dari tepi tiub

r = jarak

Agar kadar aliran setiap bahagian bendalir sama, perlu ada perbezaan tekanan pada kedua-dua hujung paip atau mana-mana tiub yang dilalui bendalir. Apa yang dimaksudkan dengan bendalir di sini ialah bendalir sebenar, contohnya, air atau minyak yang mengalir melalui paip, darah yang mengalir dalam saluran darah, dan sebagainya. Selain membantu bendalir sebenar mengalir dengan lancar, perbezaan tekanan juga boleh menyebabkan bendalir mengalir dalam paip yang berbeza ketinggian.

Jean Louis Marie Poiseuille, seorang bekas saintis Perancis yang berminat dalam aspek fizikal peredaran darah manusia, telah membuat kajian untuk mengkaji bagaimana faktor-faktor seperti perbezaan tekanan, luas rentas tiub dan saiz tiub mempengaruhi kadar bendalir sebenar. Keputusan yang diperoleh oleh Jean Louis Marie Poiseuille, dikenali sebagai persamaan Poiseuille.

Persamaan Poiseuille boleh diterbitkan menggunakan bantuan persamaan pekali kelikatan yang telah dikira sebelum ini. Kita menggunakan persamaan kelikatan kerana kesnya serupa, walaupun ia tidak sama. Apabila menerbitkan persamaan pekali kelikatan, kita mengkaji semula aliran lapisan bendalir sebenar antara 2 plat selari, dan bendalir boleh bergerak kerana tarikan (F). Perbezaannya ialah persamaan Poiseuille yang akan kita terbitkan menyatakan faktor-faktor yang mempengaruhi aliran bendalir sebenar dalam paip/tiub dan bendalir yang mengalir akibat perbezaan tekanan. Oleh itu, persamaan pekali kelikatan perlu diselaraskan semula.

Bendalir boleh mengalir disebabkan oleh perbezaan tekanan (bendalir mengalir dari tempat bertekanan tinggi ke tempat bertekanan rendah), kemudian kita gantikan F dengan p1 _– p2 ₍ p1 _> p2 ₎.

Apabila memperoleh persamaan pekali kelikatan, kita mengkaji semula aliran lapisan bendalir sebenar di antara 2 plat selari. Setiap bahagian bendalir berubah kelajuan tetapnya sejauh l. Dalam kes ini, kadar aliran bendalir berubah secara tetap dari paksi tiub ke tepi tiub. Bendalir dalam paksi tiub mengalir pada kelajuan (v) yang lebih besar. Lebih banyak tepi, lebih kecil kelajuan bendalir. Jejari tiub = jarak antara paksi tiub dan tepi tiub = R. Jarak antara setiap bahagian bendalir dan tepi tiub = r. Oleh kerana jumlah setiap bahagian bendalir adalah besar dan jarak dari tepi tiub juga berbeza, maka kita hanya menulis seperti ini:

v ₁ = halaju bendalir yang berada pada jarak r ₁ dari tepi tiub (r ₁ = R)

v ₂ = halaju bendalir yang berada pada jarak r ₂ dari tepi tiub (r ₂ < r ₁ )

v ₃ = halaju bendalir pada jarak r ₃ dari tepi tiub (r ₃ < r ₂ < r ₁ )

v ₄ = halaju bendalir yang berada pada jarak r ₄ dari tepi tiub (r ₄ < r ₃ < r ₂ < r ₁ )

……………………………………… ..

vn ₌ kadar bendalir pada jarak rn dari tepi tiub (rn <…… <r ₄ <r ₃ <r ₂ <r ₁ )

Jumlah setiap bahagian bendalir adalah sangat besar, dan kita juga tidak tahu dengan tepat berapa banyak sebenarnya jumlah itu, jadi ia cukup untuk ditulis dengan simbol n. Setiap bahagian bendalir mengubah kelajuan (v) secara berkala, dari paksi tiub (r ₁ = R) ke tepi tiub (rn). Dari paksi tiub (r ₁ = R) ke tepi tiub (rn), kadar setiap bahagian bendalir adalah lebih kecil (v ₁ > v ₂ > v ₃ > v ₄ > ….> v _n ).

Daripada penjelasan di atas, kita boleh mendapatkan angka bahawa dari R ke rn, kadar bendalir semakin kecil. Panjang paip = L. Persamaan yang diperoleh:

Oleh kerana apa yang kita kaji semula ialah kelajuan aliran bendalir , maka persamaan 2 menjadi:

Ini ialah persamaan laju aliran bendalir dalam jarak r dari paip dengan jejari R. Jika keliru semasa melihat gambar di atas… Sila ambil perhatian bahawa bendalir mengalir dalam tiub, jadi kita perlu menyemak semula kadar aliran isipadu bendalir.

Di dalam tiub, terdapat bendalir. Contohnya, kita bahagikan bendalir kepada bahagian-bahagian kecil, di mana setiap bahagian mempunyai luas unit dA, dijarakkan dari paksi tiub dan mempunyai kelajuan aliran v. Secara matematik boleh ditulis seperti berikut:

dA ₁ = bahagian bendalir 1, iaitu jarak dr ₁ dari paksi tiub

dA ₂ = bahagian bendalir 2, iaitu jarak dr ₂ dari paksi tiub

dA ₃ = bahagian bendalir 3, iaitu jarak dr ₃ dari paksi tiub

..................................

dAn = bahagian bendalir n, iaitu jarak dn dari paksi tiub

Bahagian bendalir sangat banyak, jadi ia hanya ditulis dengan simbol n, jadi ia lebih praktikal. Kadar aliran isipadu setiap bahagian bendalir boleh ditulis secara matematik seperti berikut:

Setiap bahagian bendalir berada pada jarak r = 0 hingga r = R (R = jejari tiub). Dalam erti kata lain, jarak setiap bahagian bendalir berbeza-beza apabila diukur dari paksi tiub. Kita akan memperoleh persamaan kadar aliran isipadu bendalir dalam tiub:

Q = Nyahcas, R = jejari paip atau tiub, η = pekali kelikatan, P ₁ – p ₂ = Perbezaan tekanan antara dua hujung paip, L = panjang paip, p ₁ -p ₂ / L = Kecerunan tekanan (aliran bendalir sentiasa dalam arah penurunan tekanan)

Berdasarkan persamaan Poiseuille di atas, nampaknya kadar aliran isipadu bendalir (Q) adalah berkadar terus dengan jejari tiub (R4 ⁾ , kecerunan tekanan (p2 _– p1 _/ L) dan berkadar songsang dengan kelikatan. Jika jejari tiub ditambah (pekali kelikatan dan kecerunan tekanan tetap), maka kelajuan aliran bendalir meningkat sebanyak 16 kali ganda.

Dalam konsep asas reka bentuk paip, gunakan persamaan ini. Nyahcas bendalir adalah berkadar terus dengan R4 ⁽ R = jejari tiub). Jejari picagari atau jari paip perlu dikira dengan teliti. Contohnya, jika kita menggandakan jejari jarum (rx2), nyahcas cecair yang disembur = meningkatkan daya mampatan ibu jari sebanyak 16 kali ganda.

Persamaan Poiseuille juga menunjukkan bahawa jejari (r ⁴ ) adalah berkadar songsang dengan perbezaan tekanan antara kedua-dua hujung paip. Contohnya, darah mula-mula mengalir dalam saluran darah yang mempunyai jejari dalam r. Jika terdapat penyempitan arteri (contohnya, r/2 = jejari saluran darah berkurangan dua kali),

maka perbezaan tekanan sebanyak 16 kali diperlukan untuk mengalirkan darah seperti sebelumnya (supaya kelajuan aliran adalah malar).