Persamaan Poiseuille

Ia dipanggil persamaan Poiseuille kerana ia ditemui oleh mendiang Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Seperti yang dijelaskan, setiap bendalir boleh dianggap sebagai bendalir ideal. Bendalir ideal tidak mempunyai kelikatan. Jika kita membayangkan bendalir ideal yang mengalir dalam paip, setiap bahagian bendalir bergerak pada kelajuan yang sama (v). Tidak seperti bendalir ideal, bendalir sebenar, atau bendalir yang kita temui dalam kehidupan seharian, mempunyai kelikatan. Oleh kerana ia mempunyai kelikatan, apabila mengalir dalam paip, sebagai contoh, kelajuan setiap bahagian bendalir berbeza-beza. Lapisan bendalir di tengah bergerak lebih pantas (v adalah besar), manakala lapisan bendalir yang melekat pada paip tidak bergerak, alias diam (v = 0). Jadi, dari tengah ke tepi paip, setiap bahagian bendalir bergerak pada kelajuan yang berbeza. Untuk memudahkan anda memahami, perhatikan imej di bawah…

Penerangan:

R = jejari paip/tiub

v₁ = kadar aliran bendalir di tengah/paksi tiub

v₂ = kadar aliran bendalir pada jarak r₂ dari tepi tiub

v₃ = kadar aliran bendalir pada jarak r₃ dari tepi tiub

v₄ = kadar aliran bendalir pada jarak r₄ dari tepi tiub

r = jarak

Untuk memastikan kadar aliran setiap bendalir adalah sama, mesti ada perbezaan tekanan di kedua-dua hujung mana-mana paip atau tiub yang melaluinya bendalir mengalir. Dengan bendalir di sini, kami bermaksud bendalir sebenar, seperti air atau minyak yang mengalir melalui paip, darah yang mengalir melalui saluran darah, dan sebagainya. Selain membantu bendalir sebenar mengalir dengan lancar, perbezaan tekanan juga boleh membolehkan bendalir mengalir dalam paip pada ketinggian yang berbeza.

Jean Louis Marie Poiseuille, seorang bekas saintis Perancis yang berminat dalam aspek fizikal peredaran darah manusia, telah menjalankan penyelidikan untuk mengkaji bagaimana faktor-faktor seperti perbezaan tekanan, luas keratan rentas tiub dan saiz tiub mempengaruhi halaju bendalir sebenar. Keputusan yang diperoleh oleh Jean Louis Marie Poiseuille dikenali sebagai persamaan Poiseuille.

Persamaan Poiseuille boleh diterbitkan menggunakan persamaan pekali kelikatan yang diterbitkan sebelum ini. Kita menggunakan persamaan kelikatan kerana kesnya serupa, walaupun tidak sama. Apabila menerbitkan persamaan pekali kelikatan, kita mempertimbangkan aliran lapisan bendalir sebenar di antara dua plat selari, dan bendalir tersebut mampu bergerak disebabkan oleh daya tegangan (F). Perbezaannya ialah persamaan Poiseuille yang akan kita terbitkan sebenarnya menyatakan faktor-faktor yang mempengaruhi aliran bendalir sebenar dalam paip/tiub, dan bendalir mengalir disebabkan oleh perbezaan tekanan. Oleh itu, persamaan pekali kelikatan perlu diselaraskan semula.

Bendalir boleh mengalir disebabkan oleh perbezaan tekanan (bendalir mengalir dari tempat bertekanan tinggi ke tempat bertekanan rendah), jadi kita menggantikan F dengan p₁ - h₂ (p₁ > hlm₂).

Apabila memperoleh persamaan untuk pekali kelikatan, kita mempertimbangkan aliran lapisan bendalir sebenar di antara dua plat selari. Setiap bahagian bendalir mengalami perubahan halaju yang tetap pada jarak l. Dalam kes ini, kadar aliran bendalir berubah secara tetap dari paksi tiub ke tepi tiub. Bendalir pada paksi tiub mengalir pada kelajuan yang lebih tinggi (v). Lebih jauh ke arah tepi, kelajuan bendalir berkurangan. Jejari tiub = jarak antara paksi tiub dan tepi tiub = R. Jarak antara setiap bahagian bendalir dan tepi tiub = r. Oleh kerana bilangan setiap bahagian bendalir adalah sangat besar dan jaraknya dari tepi tiub juga berbeza-beza, kita hanya menulisnya seperti ini:

v₁ = halaju bendalir pada jarak r1 dari tepi tiub (r1 = R)

v₂ = halaju bendalir pada jarak r2 dari tepi tiub (r2 < r1)

v₃ = halaju bendalir pada jarak r3 dari tepi tiub (r3 < r2 < r1)

v₄ = halaju bendalir pada jarak r4 dari tepi tiub (r4 < r3 < r2 < r1)

……………………………………… ..

vn = halaju bendalir pada jarak rn dari tepi tiub (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

Bilangan setiap bahagian bendalir adalah sangat besar dan kita juga tidak tahu dengan tepat berapa banyak sebenarnya, jadi cukup untuk menulisnya dengan simbol n. Setiap bahagian bendalir mengalami perubahan kadar (v) secara berkala, dari paksi tiub (r1 = R) ke tepi tiub (rn). Dari paksi tiub (r1 = R) ke tepi tiub (rn), kadar setiap bahagian bendalir menjadi lebih kecil (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

Daripada penjelasan di atas, kita boleh mendapat gambaran bahawa dari R ke rn, kadar bendalir berkurangan. Panjang paip = L. Persamaan yang diperoleh ialah:

Oleh kerana apa yang kita pertimbangkan ialah kadar (v) aliran bendalir, persamaan 2 menjadi:

Ini adalah persamaan untuk kadar aliran bendalir pada jarak r dari paip dengan jejari R. Jika anda keliru semasa melihat imej di atas.... Sila ambil perhatian bahawa bendalir mengalir dalam paip atau tiub, jadi kita perlu menyemak semula kadar aliran isipadu bendalir tersebut.

Di dalam tiub itu terdapat bendalir. Contohnya, kita membahagikan bendalir kepada kepingan yang sangat kecil, di mana setiap kepingan mempunyai luas unit dA, berjarak dari paksi tiub dan mempunyai kadar aliran v. Secara matematik, ini boleh ditulis seperti berikut:

dA1 = keratan bendalir 1, iaitu jarak 1 dari paksi tiub

dA2 = keratan bendalir 2, iaitu jarak 2 dari paksi tiub

dA3 = keratan bendalir 3, iaitu jarak 3 dari paksi tiub

..................................

dA n = keratan bendalir n, iaitu jarak dA n dari paksi tiub

Terdapat begitu banyak kepingan bendalir sehingga mudah untuk menulisnya dengan simbol n. Kadar aliran volumetrik setiap kepingan bendalir boleh ditulis secara matematik seperti berikut:

Setiap keping bendalir berada pada jarak r = 0 hingga r = R (R = jejari tiub). Dalam erti kata lain, jarak setiap keping bendalir berbeza-beza apabila diukur dari paksi tiub. Jika kita mengusik kalkulus (penggabungan), kita akan memperoleh persamaan untuk kadar aliran isipadu bendalir dalam tiub:

Penerangan:

Q = Debit

R = Jejari dalaman paip atau tiub

η = Pekali kelikatan

P₁ - h₂ = Perbezaan tekanan antara kedua-dua hujung paip

L = Panjang paip

p₁-p₂/L = Kecerunan tekanan (aliran bendalir sentiasa menuju ke arah penurunan tekanan)

Berdasarkan persamaan Poiseuille di atas, nampaknya kadar aliran isipadu bendalir, juga dikenali sebagai nyahcas (Q), adalah berkadar terus dengan kuasa keempat jejari tiub (R).₄), kecerunan tekanan (p₂ - h₁ /L) dan berkadar songsang dengan kelikatan. Jika jejari tiub ditingkatkan (pekali kelikatan dan kecerunan tekanan kekal malar), maka kadar aliran bendalir meningkat sebanyak 16 kali ganda.

Konsep asas mereka bentuk paip, picagari, dsb. menggunakan persamaan ini. Nyahcas bendalir adalah berkadar terus dengan R₄ (R = jejari tiub). Jejari picagari atau jejari paip perlu dikira dengan teliti. Contohnya, jika kita menggandakan jejari jarum (r x 2), maka luahan cecair yang menyembur = meningkatkan daya tekanan ibu jari sebanyak 16 kali ganda.

Persamaan Poiseuille juga menunjukkan bahawa kuasa keempat jejari (r⁴), adalah berkadar songsang dengan perbezaan tekanan antara kedua-dua hujung paip. Contohnya, pada mulanya darah mengalir dalam saluran darah dengan jejari dalaman r. Jika terdapat penyempitan saluran darah (contohnya, r/2 = jejari dalaman saluran darah berkurangan sebanyak 2 kali ganda), maka perbezaan tekanan sebanyak 16 kali ganda diperlukan untuk menjadikan aliran darah seperti sebelumnya (supaya kadar aliran keluar atau isipadu darah kekal malar).