Contoh Soalan Membincangkan Vektor Lajur dan Vektor Baris
Dalam matematik, terutamanya algebra linear, vektor merupakan konsep asas yang kerap digunakan dalam pelbagai aplikasi, daripada pemodelan fizik hingga pengiraan. Vektor lajur dan vektor baris merupakan dua bentuk perwakilan vektor, setiap satunya mempunyai ciri dan kegunaannya sendiri. Artikel ini akan membincangkan contoh masalah dan penyelesaiannya yang melibatkan vektor lajur dan vektor baris.
Definisi Vektor Lajur dan Vektor Baris
Sebelum kita masuk ke soalan contoh dan perbincangannya, mari kita semak semula definisi asas vektor lajur dan vektor baris terlebih dahulu.
– Vektor lajur ialah vektor yang disusun dalam lajur, iaitu, satu dimensi menegak. Contoh:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Vektor baris ialah vektor yang disusun dalam baris, iaitu, dalam satu dimensi mendatar. Contoh:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Contoh 1: Menambah Vektor Lajur
Soalan:
Diberi dua vektor lajur berikut:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Kirakan hasil tambah dua vektor lajur.
Penyelesaian:
Penambahan dua vektor lajur dilakukan dengan menambah elemen yang sepadan.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4
2 + 1
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil tambah \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\) ialah \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Contoh Soalan 2: Menambah Vektor Baris
Soalan:
Diberi dua vektor baris berikut:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Kirakan hasil tambah dua vektor baris.
Penyelesaian:
Penambahan dua vektor baris dilakukan dengan menambah elemen yang sepadan.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil tambah bagi \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\) ialah \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Contoh 3: Pendaraban Skalar mengikut Vektor Lajur
Soalan:
Diberi vektor lajur \(\mathbf{c}\) dan skalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Kirakan hasil pendaraban skalar.
Penyelesaian:
Pendaraban skalar dengan vektor lajur dilakukan dengan mendarabkan setiap elemen vektor dengan skalar.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \darab -3 \\
2 kali 4
2 kali 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil pendaraban skalar \(2\) dengan vektor lajur \(\mathbf{c}\) ialah \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Contoh Soalan 4: Pendaraban Skalar mengikut Vektor Baris
Soalan:
Diberi vektor baris \(\mathbf{d}\) dan skalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Kirakan hasil pendaraban skalar.
Penyelesaian:
Pendaraban skalar dengan vektor baris dilakukan dengan mendarabkan setiap elemen vektor dengan skalar.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil pendaraban skalar \(-3\) dengan vektor baris \(\mathbf{d}\) ialah \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Contoh 5: Pendaraban Matriks \(1 \darab 3\) dengan \(3 \darab 1\) (Vektor Baris dengan Vektor Lajur)
Soalan:
Diberi vektor baris \(\mathbf{e}\) dan vektor lajur \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Kirakan hasil darab dua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Untuk melakukan pendaraban matriks, vektor baris \(\mathbf{e}\) dianggap sebagai matriks \(1 \times 3\), dan vektor lajur \(\mathbf{f}\) dianggap sebagai matriks \(3 \times 1\). Hasil pendaraban ini ialah skalar, iaitu jumlah hasil darab unsur-unsur yang sepadan:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Jadi, hasil pendaraban vektor baris \(\mathbf{e}\) dengan vektor lajur \(\mathbf{f}\) ialah \(-1\).
Contoh 6: Pendaraban Matriks \(3 \darab 1\) dengan \(1 \darab 3\) (Vektor Lajur mengikut Vektor Baris)
Soalan:
Diberi vektor lajur \(\mathbf{g}\) dan vektor baris \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Kirakan hasil darab dua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Pendaraban matriks vektor lajur dengan vektor baris menghasilkan matriks (\(3 \times 1\)) yang didarab dengan (\(1 \times 3\)) yang menghasilkan matriks \(3 \times 3\). Setiap elemen baharu ialah hasil darab elemen yang sepadan:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \darab 4 & 1 \darab 5 & 1 \darab 6 \\
2 \darab 4 & 2 \darab 5 & 2 \darab 6 \\
3 kali 4 & 3 kali 5 & 3 kali 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil pendaraban vektor lajur \(\mathbf{g}\) dengan vektor baris \(\mathbf{h}\) ialah matriks:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Kesimpulannya
Sepanjang artikel ini, kita telah melihat beberapa contoh yang melibatkan vektor lajur dan baris. Penambahan vektor lajur dan baris dicapai dengan menambah elemen yang sepadan. Pendaraban skalar dengan vektor juga dicapai dengan mendarabkan setiap elemen vektor dengan skalar. Akhir sekali, kita telah mempelajari cara mendarabkan vektor baris dan lajur, menghasilkan sama ada skalar atau matriks, bergantung pada tertibnya. Menguasai operasi asas ini adalah penting untuk aplikasi yang lebih kompleks dalam algebra linear dan analisis data.
