Contoh Soalan Perbincangan tentang Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear (SLE) merupakan konsep asas yang kerap diajar dalam matematik di peringkat menengah dan pengajian tinggi. Penguasaan SLE adalah penting kerana aplikasinya yang meluas dalam pelbagai bidang, daripada fizik dan ekonomi hinggalah kejuruteraan. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh sistem persamaan linear dan penyelesaiannya. Kita akan menggunakan kaedah penggantian, penghapusan dan matriks untuk memudahkan pemahaman.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1: Kaedah Penggantian
Soalan:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Penyelesaian:
1. Langkah pertama ialah menyelesaikan salah satu persamaan untuk salah satu pembolehubah. Contohnya, kita boleh menyelesaikan persamaan kedua untuk \(x\):
\[ x – 2y = -3 \]
\[ x = 2y – 3 \]
2. Gantikan \(x = 2y – 3\) ke dalam persamaan pertama:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[ 7y = 14 \]
\[ y = 2 \]
3. Sekarang, gantikan \(y = 2\) ke dalam persamaan \(x = 2y – 3\):
x = 2(2) – 3
\[ x = 4 – 3 \]
\[ x = 1 \]
Jadi, penyelesaian kepada sistem persamaan ialah \( x = 1 \) dan \( y = 2 \).
Contoh Soalan 2: Kaedah Penghapusan
Soalan:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penghapusan:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Penyelesaian:
1. Langkah pertama ialah menjadikan pekali salah satu pembolehubah sama dalam kedua-dua persamaan. Kita boleh mendarabkan persamaan kedua dengan 2 untuk menjadikan pekali \(y\) sama:
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Tambahkan dua persamaan untuk menghapuskan \(y\):
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Gantikan \( x = \frac{30}{13} \) ke dalam persamaan pertama:
\[ 3\left(\frac{30}{13}\right) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
Jadi, penyelesaian kepada sistem persamaan ialah \( x = \frac{30}{13} \) dan \( y = \frac{33}{13} \).
Contoh Soalan 3: Kaedah Matriks (Penyingkiran Gaussian)
Soalan:
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah matriks:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Penyelesaian:
1. Bentuk matriks terimbuh bagi sistem persamaan:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & -1 & 3 & | & 14 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
2. Proses penghapusan Gaussian:
– Tukar baris kedua kepada hasil baris kedua tolak dua kali baris pertama:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
– Tukar baris ketiga kepada hasil baris ketiga tolak empat darab baris pertama:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & -2 & -5 & | & -22
\end{pmatrix} \]
– Tukar baris ketiga kepada hasil baris ketiga tambah dua pertiga baris kedua:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & -4 & | & -20
\end{pmatrix} \]
– Tukar baris ketiga kepada hasil baris ketiga dibahagikan dengan -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Tukarkan baris kedua kepada hasil baris kedua tambah baris ketiga:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 0 & | & -3 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Tukar baris kedua kepada hasil baris kedua dibahagikan dengan -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Tukar baris pertama kepada hasil baris pertama tolak baris kedua dan baris ketiga:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
Jadi, penyelesaian kepada sistem persamaan ialah \( x = 0 \), \( y = 1 \), dan \( z = 5 \).
Kesimpulannya
Memahami kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah penting untuk menguasai matematik. Kaedah penggantian, penghapusan dan matriks menawarkan pelbagai pendekatan untuk mencari penyelesaian yang betul. Dengan amalan yang konsisten dan pemahaman yang kukuh tentang konsep, sesiapa sahaja boleh menguasai teknik ini dan mengaplikasikannya dalam pelbagai konteks. Semoga contoh-contoh yang dibincangkan dalam artikel ini dapat membantu pembaca lebih memahami dan menguasai sistem persamaan linear.
