Contoh soalan dan perbincangan tentang sifat-sifat fungsi terbitan
Terbitan fungsi merupakan konsep asas dalam kalkulus yang sangat berguna untuk menganalisis kelakuan fungsi tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh masalah dan membincangkan sifat-sifat terbitan fungsi.
Pengenalan kepada Terbitan Fungsi
Terbitan fungsi \( f \) dinyatakan sebagai \( f'(x) \). Terbitan pertama fungsi memberikan kadar perubahan fungsi berkenaan dengan pembolehubah bebasnya. Istilah lain yang sering digunakan ialah pembezaan. Jika \( y = f(x) \), maka terbitan \( f \) berkenaan dengan \( x \) ialah:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Sifat-sifat Terbitan Fungsi
Beberapa sifat penting bagi terbitan fungsi ialah:
1. Lineariti: Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) ialah fungsi yang boleh dibezakan, dan \( c \) ialah pemalar, maka:
\[
\frac{d}{dx} [cf(x) + g(x)] = c f'(x) + g'(x)
\]
2. Peraturan Rantai: Untuk fungsi komposit \( g(f(x)) \):
\[
g(f(x)) = g'(f(x)) \cdot f'(x)
\]
3. Hasil darab: Untuk fungsi \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
4. Hasil bahagi: Untuk fungsi \( u(x) \) dan \( v(x) \) dengan \( v(x) \neq 0 \):
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh 1: Menentukan Terbitan Fungsi Mudah
Katakan \( f(x) = 3x^2 + 5x – 4 \). Tentukan terbitan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan peraturan asas pembezaan.
\[
f(x) = 3x^2 + 5x – 4
\]
Terbitan pertama:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (4)
\]
Mengira setiap terbitan:
\[
\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx} (5x) = 5
\]
\[
\frac{d}{dx} (4) = 0
\]
Jadi:
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Contoh 2: Menggunakan Peraturan Rantai
Diberi fungsi \( y = (2x^3 – x^2 + 1)^5 \). Tentukan terbitan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan petua rantai. Katakan \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \), maka fungsi tersebut boleh ditulis semula sebagai \( y = u^5 \).
Pertama, cari terbitan bagi \( y \) terhadap \( u \):
\[
\frac{dy}{du} = 5u^4
\]
Seterusnya, cari terbitan bagi \( u \) terhadap \( x \):
\[
u = 2x^3 – x^2 + 1
\]
\[
\frac{du}{dx} = 6x^2 – 2x
\]
Gabungkan dua terbitan dengan peraturan rantai:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Gantikan sekali lagi \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \):
\[
\frac{dy}{dx} = 5(2x^3 – x^2 + 1)^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Contoh 3: Menggunakan Peraturan Produk
Diberi \( f(x) = x^2 e^x \). Tentukan terbitan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan peraturan hasil darab, iaitu, jika \( u(x) = x^2 \) dan \( v(x) = e^x \), maka:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Pertama, kirakan terbitan bagi \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 \menyiratkan u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = e^x \menyiratkan v'(x) = e^x
\]
Dengan menggunakan peraturan produk:
\[
f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2)
\]
Contoh 4: Menggunakan Peraturan Hasil Bahagi
Diberi \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \). Cari terbitan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan petua hasil bahagi, iaitu jika \( u(x) = x^2 + 1 \) dan \( v(x) = x + 2 \), maka:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Pertama, kirakan terbitan bagi \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = x + 2 \implies v'(x) = 1
\]
Dengan menggunakan peraturan hasil bahagi:
\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2) – (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x – x^2 – 1}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 4x – 1}{(x + 2)^2}
\]
Kesimpulannya
Dalam kalkulus, memahami konsep asas terbitan dan sifatnya adalah penting untuk menyelesaikan pelbagai masalah matematik. Artikel ini meringkaskan beberapa kaedah untuk memperoleh fungsi dengan menunjukkan penggunaan peraturan asas seperti kelinearan, rantai, hasil darab dan hasil bahagi melalui beberapa contoh dan perbincangan terperinci. Dengan memahami dan kerap mengamalkan terbitan, kita boleh menjadi lebih mahir dalam menganalisis perubahan fungsi dalam pelbagai konteks.
