Contoh Masalah Membincangkan Putaran Matematik
pengenalan
Putaran merupakan transformasi geometri yang kerap ditemui dalam matematik, terutamanya geometri. Putaran melibatkan putaran objek di sekitar titik tertentu (pusat putaran) melalui sudut tertentu dalam arah mengikut arah jam atau lawan arah jam. Aplikasi konsep putaran adalah penting dalam bidang seperti grafik komputer, fizik dan kejuruteraan. Artikel ini akan meneroka pelbagai contoh dan perbincangan putaran dalam matematik.
Memahami Putaran
Putaran ialah transformasi yang menggerakkan setiap titik objek dengan memutarkannya sekitar titik tetap, yang dipanggil pusat putaran, pada sudut tertentu dalam arah tertentu. Notasi umum untuk putaran dengan sudut θ dan pusat putaran (a, b) boleh ditulis sebagai R_(a, b)(θ).
Bagi titik P(x, y) yang diputarkan sebanyak θ darjah dengan pusat putaran pada asalan (0, 0), koordinat baharu P' (x', y') selepas putaran akan diperoleh menggunakan formula:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Mari kita teruskan dengan beberapa contoh masalah putaran lengkap dengan perbincangannya.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1
Soalan: Tentukan koordinat baharu bagi titik A(3, 4) selepas memutarkannya 90 darjah lawan arah jam dengan pusat putaran pada asalan (0, 0).
Perbincangan: Menggunakan formula putaran dengan sudut 90 darjah lawan arah jam:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Jadi, koordinat baharu A' selepas putaran ialah (-4, 3).
Contoh Soalan 2
Soalan: Titik B(2, -1) diputarkan 180 darjah mengikut arah jam dengan pusat putaran kekal di asalan (0, 0). Tentukan koordinat baharu bagi titik B selepas putaran.
Perbincangan: Putaran 180 darjah sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam memberikan hasil yang sama, iaitu koordinat titik berubah kepada (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Jadi, koordinat baharu bagi B' ialah (-2, 1).
Contoh Soalan 3
Soalan: Satu titik C(-3, 5) diputarkan 270 darjah lawan arah jam dengan pusat putaran berada pada asalan (0, 0). Tentukan titik C selepas putaran tersebut.
Perbincangan: Putaran 270 darjah lawan arah jam adalah bersamaan dengan putaran 90 darjah mengikut arah jam.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Jadi, koordinat baharu C' selepas putaran ialah (5, -3).
Contoh Soalan 4
Soalan: Tentukan koordinat baharu bagi titik D(5, 5) selepas memutarkannya 45 darjah dengan pusat putaran pada asalan (0, 0).
Perbincangan: Menggunakan formula putaran dengan sudut 45 darjah:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Jadi, koordinat baharu D' selepas putaran ialah (0, 5√2).
Putaran dengan Pusat Putaran Bukan di Asalan
Putaran tidak selalunya dilakukan pada titik asalan. Contohnya, katakan kita ingin memutarkan titik dengan pusat putaran (h, k). Untuk melakukan ini, kita perlu melaraskan koordinat seperti berikut:
1. Terjemahkan titik supaya (h, k) menjadi asalan.
2. Gunakan formula putaran.
3. Terjemahkan kembali ke kedudukan asal.
Contoh Soalan 5
Soalan: Titik E(5, 7) diputarkan 90 darjah lawan arah jam dengan pusat putaran pada titik (2, 3). Tentukan koordinat baharu bagi titik E selepas putaran.
Perbincangan:
1. Terjemahkan titik E kepada asalan relatif kepada pusat putaran (2, 3):
– Titik baru E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Putar 90 darjah lawan arah jam di sekitar titik baharu:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Jadi, koordinat selepas putaran ialah (-4, 3).
3. Translasi kembali ke kedudukan asal relatif kepada pusat putaran (2, 3):
– Titik akhir E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Jadi, koordinat baharu bagi titik E selepas putaran ialah (-2, 6).
Kesimpulannya
Menganalisis dan memahami putaran matematik adalah penting dalam pelbagai aplikasi. Melalui contoh dan perbincangan di atas, pembaca dijangka memahami bagaimana formula putaran berfungsi dan bagaimana ia boleh diaplikasikan kepada situasi yang berbeza. Latihan ini bukan sahaja mengukuhkan matematik asas tetapi juga berguna dalam bidang lain yang melibatkan transformasi geometri.
