Contoh Soalan Membincangkan Kebarangkalian Peristiwa Majmuk
Pengenalan kepada Kebarangkalian Peristiwa Majmuk
Kebarangkalian ialah cabang matematik yang mengkaji kemungkinan sesuatu peristiwa berlaku. Kebarangkalian peristiwa majmuk ialah kebarangkalian sesuatu peristiwa yang melibatkan lebih daripada satu peristiwa. Contohnya, kebarangkalian melambungkan nombor genap pada dadu dan ace daripada setumpuk kad permainan adalah contoh peristiwa majmuk. Artikel ini akan membincangkan beberapa contoh masalah dan membincangkan kebarangkalian peristiwa majmuk.
Konsep Asas Kebarangkalian Peristiwa Majmuk
Terdapat dua jenis peristiwa majmuk:
1. Peristiwa Saling Bebas: Dua peristiwa yang tidak boleh berlaku serentak. Contohnya, apabila melambung dadu, peristiwa melambung dadu 2 dan 5 adalah peristiwa saling bebas kerana mustahil untuk melambung kedua-dua nombor secara serentak.
2. Peristiwa Tak Saling Eksklusif: Dua peristiwa yang boleh berlaku serentak. Contohnya, dalam cabutan kad permainan, peristiwa mendapat kad hati (♥) dan kad dengan nombor 10 adalah peristiwa tak saling eksklusif kerana terdapat kad hati dengan nombor 10.
Berikut adalah beberapa formula asas yang digunakan dalam mengira kebarangkalian peristiwa majmuk:
– P(A atau B) (untuk peristiwa tak saling eksklusif): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A atau B) (untuk peristiwa saling eksklusif): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A dan B) (untuk peristiwa bebas): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1: Dadu
Soalan:
Apakah kebarangkalian mendapat nombor genap atau nombor lebih besar daripada 4 pada dadu?
Perbincangan:
Pertama, mari kita tentukan peristiwa-peristiwa tersebut:
– Peristiwa A: Mendapatkan nombor genap (2, 4, 6)
– Peristiwa B: Mendapatkan nombor lebih besar daripada 4 (5, 6)
Seterusnya, kita tentukan kebarangkalian setiap peristiwa:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Oleh kerana terdapat nombor 6 yang termasuk dalam kedua-dua peristiwa A dan B, kita perlu mengira \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (kerana hanya satu nombor, iaitu 6, disertakan dalam kedua-dua A dan B)
Dengan menggunakan formula untuk peristiwa tak saling eksklusif:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Samakan penyebut bagi pecahan-pecahan ini:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Jadi, kebarangkalian mendapat nombor genap atau nombor lebih besar daripada 4 ialah \(\frac{2}{3}\).
Contoh Soalan 2: Kad Permainan
Soalan:
Apakah kebarangkalian mendapat Ace atau sekop daripada setumpuk kad permainan?
Perbincangan:
Pertama, mari kita tentukan peristiwa-peristiwa tersebut:
– Acara A: Mendapatkan kad Ace (4 kesemuanya, satu untuk setiap saman)
– Peristiwa B: Mendapatkan kad spade (jumlah 13)
Seterusnya, kita tentukan kebarangkalian setiap peristiwa:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Oleh kerana Ace of Spades termasuk dalam kedua-dua peristiwa A dan B, kita perlu mengira \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Dengan menggunakan formula untuk peristiwa tak saling eksklusif:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Samakan penyebut bagi pecahan-pecahan ini:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Jadi, kebarangkalian mendapat Ace atau spade ialah \(\frac{4}{13}\).
Contoh Masalah 3: Bola dalam Kotak
Soalan:
Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola hijau. Jika sebiji bola dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian mendapat sebiji bola merah atau sebiji bola hijau?
Perbincangan:
Pertama, mari kita tentukan peristiwa-peristiwa tersebut:
– Acara A: Mendapat bola merah (nombor 3)
– Acara B: Mendapatkan bola hijau (nombor 5)
Seterusnya, kita tentukan kebarangkalian setiap peristiwa:
– Jumlah bola = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Oleh kerana tiada bola yang boleh berwarna merah dan hijau pada masa yang sama, peristiwa-peristiwa ini saling eksklusif:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Samakan penyebut bagi pecahan-pecahan ini:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Jadi, kebarangkalian mendapat bola merah atau bola hijau ialah \(\frac{2}{3}\).
Contoh Soalan 4: Dua Syiling
Soalan:
Jika dua keping syiling dilambung serentak, apakah kebarangkalian sekurang-kurangnya satu kepala akan muncul?
Perbincangan:
Kita mentakrifkan Peristiwa A: mengalami sekurang-kurangnya satu imej.
Terdapat empat kemungkinan hasil daripada melambung dua syiling:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Acara yang mengandungi sekurang-kurangnya satu imej ialah:
– HT
– TH
– TT
Mari kita kira kebarangkalian setiap satu:
– Bilangan peristiwa yang mungkin (jumlah): 4
– Bilangan acara yang mengandungi sekurang-kurangnya satu imej: 3
\[
P(A) = \frac{Bilangan peristiwa dengan sekurang-kurangnya satu kepala}{Jumlah peristiwa} = \frac{3}{4}
\]
Jadi, kebarangkalian sekurang-kurangnya satu imej muncul ialah \(\frac{3}{4}\).
Kesimpulannya
Perbincangan tentang masalah di atas menunjukkan bagaimana kita boleh mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa majmuk, sama ada ia saling eksklusif atau tidak saling eksklusif. Dengan memahami konsep asas dan menggunakan formula yang betul, kita boleh menentukan kebarangkalian kombinasi peristiwa tertentu berlaku dalam pelbagai situasi harian. Teruskan melatih kemahiran anda dengan pelbagai masalah untuk menjadi lebih mahir dalam menentukan kebarangkalian peristiwa majmuk.
