Contoh Soalan Membincangkan Fungsi Taburan Binomial
Taburan binomial ialah taburan kebarangkalian diskret yang menggambarkan bilangan kejayaan dalam eksperimen yang terdiri daripada beberapa percubaan bebas dengan dua kemungkinan hasil: kejayaan dan kegagalan. Setiap percubaan dipanggil percubaan, dan taburan binomial sering digunakan dalam situasi di mana bilangan kejayaan merentasi beberapa percubaan bebas adalah menarik. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan konsep asas taburan binomial dan memberikan contoh dan penyelesaian.
Konsep Asas Fungsi Taburan Binomial
Sebelum kita masuk ke soalan contoh dan perbincangan, mari kita bincangkan beberapa konsep asas yang berkaitan dengan taburan binomial.
1. Definisi: Taburan binomial ditakrifkan sebagai jumlah kejayaan dalam percubaan bebas 'n', yang mana setiap percubaan mempunyai dua kemungkinan hasil: kejayaan (dengan kebarangkalian p) atau kegagalan (dengan kebarangkalian q = 1 – p).
2. Fungsi Kebarangkalian: Fungsi kebarangkalian bagi taburan binomial ialah:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Di mana:
– \( P(X = k) \) ialah kebarangkalian mencapai k kejayaan dalam n percubaan.
– \( \binom{n}{k} \) ialah gabungan n ambil k, yang ditakrifkan sebagai \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) ialah kebarangkalian kejayaan pada setiap percubaan.
– \( (1-p) \) ialah kebarangkalian kegagalan pada setiap percubaan.
3. Nilai dan Varians yang Dijangka:
– Nilai jangkaan (min) bagi taburan binomial ialah \( \mu = np \).
– Varians taburan binomial ialah \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Sekarang, mari kita gunakan konsep-konsep ini dalam contoh masalah untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam.
Contoh Soalan 1: Pengiraan Asas Taburan Binomial
Soalan:
Sebuah syarikat menghasilkan komponen elektronik dengan kebarangkalian 0.95 bahawa setiap komponen lulus ujian kualiti. Jika 10 komponen dihasilkan, hitung kebarangkalian bahawa tepat 8 komponen lulus ujian kualiti.
Perbincangan:
Kita boleh menggunakan formula taburan binomial untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, kita mengenal pasti parameter berikut:
– \( n \) (jumlah percubaan) = 10
– \( k \) (bilangan kejayaan) = 8
– \( p \) (kebarangkalian kejayaan) = 0.95
– \( q \) (kebarangkalian kegagalan) = 1 – 0.95 = 0.05
Kemudian gantikan nilai-nilai ini ke dalam formula taburan binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Pertama, kirakan kombinasi \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Kemudian, hitung kebarangkalian \( (0.95)^8 \) dan \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \lebih kurang 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Akhir sekali, darabkan semua nilai tersebut untuk mendapatkan:
\[
P(X = 8) = 45 kali 0.6634 kali 0.0025 lebih kurang 0.0744
\]
Jadi, kebarangkalian bahawa tepat 8 daripada 10 komponen lulus ujian kualiti adalah kira-kira 0.0744 atau 7.44%.
Contoh Soalan 2: Kebarangkalian Kumulatif
Soalan:
Masih dengan syarikat yang sama, hitung kebarangkalian sekurang-kurangnya 9 daripada 10 komponen lulus ujian kualiti.
Perbincangan:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mengira kebarangkalian kumulatif. Kebarangkalian sekurang-kurangnya 9 daripada 10 komponen lulus ujian bermakna kita mengira \( P(X \geq 9) \), yang boleh ditulis sebagai:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Menggunakan formula taburan binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Pertama, kirakan kombinasi untuk setiap kes:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Kemudian, hitung kebarangkalian untuk \( P(X = 9) \) dan \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 kali (0.95)^9 kali 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \lebih kurang 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 kali 0.6302 kali 0.05 lebih kurang 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 kali (0.95)^{10} kali 1
\]
\[
(0.95)^{10} \lebih kurang 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Jumlah kebarangkalian untuk \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
Jadi, kebarangkalian sekurang-kurangnya 9 daripada 10 komponen lulus ujian kualiti adalah kira-kira 0.9138 atau 91.38%.
Contoh Soalan 3: Nilai Jangkaan dan Varians
Soalan:
Kirakan nilai jangkaan dan varians bagi bilangan komponen yang lulus ujian kualiti daripada 10 komponen yang dihasilkan, dengan kebarangkalian lulus sebanyak 0.95.
Perbincangan:
Gunakan formula berikut:
– Nilai jangkaan (min) \( \mu = np \)
– Varians \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Dengan \(n = 10 \) dan \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \darab 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \kali 0.95 \kali 0.05 = 0.475
\]
Jadi, nilai jangkaan bagi bilangan komponen yang lulus ujian kualiti ialah 9.5, dan variansnya ialah 0.475.
Kesimpulannya
Melalui tiga contoh masalah di atas, kita telah membincangkan cara mengira kebarangkalian menggunakan taburan binomial untuk pelbagai situasi: mengira kebarangkalian tepat, kebarangkalian kumulatif dan mengira nilai dan varians yang dijangkakan. Pengetahuan tentang taburan binomial berguna dalam pelbagai bidang, seperti pembuatan, penyelidikan perubatan dan statistik sosial, di mana keputusan eksperimen berulang dengan dua kemungkinan hasil boleh dianalisis untuk membantu membuat keputusan. Semoga contoh masalah dan perbincangan yang diberikan akan membantu meningkatkan pemahaman anda tentang taburan binomial.
