Contoh Soalan dan Perbincangan Taburan Binomial
Taburan binomial merupakan salah satu taburan kebarangkalian diskret yang paling biasa digunakan. Ia berguna untuk memodelkan bilangan kejayaan merentasi beberapa percubaan bebas yang sama, yang setiap satunya menghasilkan sama ada kejayaan atau kegagalan. Dalam artikel ini, kita akan mengkaji lebih mendalam taburan binomial dengan memberikan beberapa contoh dan perbincangan terperinci.
Pengenalan kepada Taburan Binomial
Ciri-ciri utama taburan binomial:
1. n : Bilangan percubaan atau ulangan.
2. p : Kebarangkalian kejayaan dalam setiap percubaan.
3. q = 1-p : Kebarangkalian kegagalan dalam setiap percubaan.
Fungsi jisim kebarangkalian bagi taburan binomial ialah:
\[ P(X = k) = {n \pilih k} p^k (1-p)^{nk} \]
Di mana:
– \( {n \pilih k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Pembolehubah rawak yang mewakili bilangan kejayaan.
– \( k \): Bilangan kejayaan yang dicari.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Mari kita mulakan dengan beberapa contoh masalah untuk memahami konsep taburan binomial dengan lebih terperinci.
Contoh 1: Memilih daripada Sekumpulan Pelajar
Contohnya, katakan kita mempunyai sekumpulan 10 orang pelajar, dan kebarangkalian setiap pelajar dipilih untuk menyertai sesuatu pertandingan ialah 0,3. Kita ingin tahu kebarangkalian bahawa tepat 4 orang pelajar dipilih.
Langkah 1: Kenal pasti parameter taburan binomial.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Langkah 2: Gunakan taburan binomial untuk mengira kebarangkalian bagi \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \pilih 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Mengira \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \pilih 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Sekarang hitung \( (0.3)^4 \) dan \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
jadi,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
Jadi, kebarangkalian bahawa tepat 4 orang pelajar dipilih adalah lebih kurang 0.20012 atau 20.012%.
Contoh 2: Kebarangkalian Kurang Daripada atau Sama dengan 2
Sekarang, sebagai contoh, kita ditanya tentang kebarangkalian bahawa kurang daripada atau sama dengan 2 pelajar akan dipilih.
Langkah 1: Kita perlu mengira \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), dan \( P(X = 2) \).
– Untuk \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \pilih 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \pilih 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Untuk \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \pilih 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \pilih 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Untuk \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \pilih 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \pilih 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Langkah 2: Tambahkan kebarangkalian.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Jadi, kebarangkalian kurang daripada atau sama dengan 2 orang pelajar dipilih adalah lebih kurang 0.7740671 atau 77.41%.
Contoh 3: Kebarangkalian sekurang-kurangnya 8
Jika satu eksperimen dijalankan sebanyak 12 kali, dan kebarangkalian kejayaan dalam setiap percubaan ialah 0.5, apakah kebarangkalian sekurang-kurangnya 8 kejayaan berlaku?
Langkah 1: Tetapkan parameter binomial: \( n = 12, p = 0.5 \).
Langkah 2: Cari kebarangkalian untuk \( X \geq 8 \).
Ini memerlukan pengiraan beberapa kebarangkalian individu dan penambahannya:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Kira satu persatu:
– Untuk \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \pilih 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \pilih 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Untuk \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \pilih 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \pilih 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Untuk \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \pilih 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \pilih 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Untuk \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \pilih 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \pilih 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Untuk \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \pilih 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \pilih 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Langkah 3: Tambahkan semua kebarangkalian.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \lebih kurang 0.1938477 \]
Jadi, kebarangkalian sekurang-kurangnya 8 kejayaan berlaku dalam 12 percubaan adalah lebih kurang 0.1938477 atau 19.38%.
Kesimpulannya
Taburan binomial merupakan konsep asas dalam statistik yang penting dalam banyak aplikasi praktikal. Dengan memahami cara mengira kebarangkalian untuk pelbagai kes taburan binomial, seperti yang ditunjukkan dalam contoh di atas, kita boleh mengaplikasikan konsep ini dalam situasi dunia sebenar. Latihan ini juga memperkukuh pemahaman kita tentang bagaimana struktur kebarangkalian berfungsi dalam konteks yang jelas dan teratur.
